抽象代數(shù)基礎(chǔ)

前言

　　抽象代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它主要研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)（即，具有代數(shù)運(yùn)算的集合），以及在這些結(jié)構(gòu)中保持運(yùn)算的映射（稱(chēng)為態(tài)射）。抽象代數(shù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理學(xué)、現(xiàn)代化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、現(xiàn)代通信、以及密碼學(xué)等提供了語(yǔ)言、重要結(jié)論和研究方法。當(dāng)今信息時(shí)代，抽象代數(shù)有了越來(lái)越多的重要應(yīng)用。抽象代數(shù)課程已經(jīng)成為大學(xué)數(shù)學(xué)系的主干基礎(chǔ)課之一。如何教好這門(mén)課程？作者根據(jù)自己80年代以來(lái)在北京大學(xué)數(shù)學(xué)系講授抽象代數(shù)課的體會(huì)，把2002年秋季學(xué)期給數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院210名學(xué)生講授抽象代數(shù)課的講稿整理成本書(shū)，并著重在以下幾方面做了一些嘗試。　　精選內(nèi)容，抓住主線。我們從信息時(shí)代的要求出發(fā)，精選抽象代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容。著重講那些最基本和應(yīng)用最廣泛的內(nèi)容，講那些有信息時(shí)代氣息的內(nèi)容。全書(shū)分成三章：第一章群，第二章環(huán)，第三章域擴(kuò)張及其自同構(gòu)，對(duì)于每一章的內(nèi)容都抓住主線：第一章的主線是群同態(tài)，第二章的主線是理想，第三章的主線是域擴(kuò)張及其自同構(gòu)。

內(nèi)容概要

　　《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》是大學(xué)數(shù)學(xué)系必修課“抽象代數(shù)”（或“近世代數(shù)”）課程的教材，全書(shū)分三章：第一章群，包括群的典型例子、子群和陪集、群的同構(gòu)、群的直積、群的同態(tài)、正規(guī)子群、商群、群在集合上的作用、Sylow定理、有限abel群的結(jié)構(gòu)、自由群等；第二章環(huán)，包括理想、商環(huán)、環(huán)的同態(tài)、環(huán)的直和、素理想和極大理想、有限域的構(gòu)造、唯一因子分解整環(huán)境污染理想整環(huán)、歐幾里得整Galois環(huán)的構(gòu)造、分式域等；第三章域擴(kuò)張及其自同構(gòu)，包括分裂域、有限域的結(jié)構(gòu)、域擴(kuò)張的自同構(gòu)、伽羅瓦擴(kuò)張、本原元素、跡與范數(shù)等?！冻橄蟠鷶?shù)基礎(chǔ)》按節(jié)配置習(xí)題，書(shū)末附有習(xí)題的提示或答案。 《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》根據(jù)信息時(shí)代的需要精選內(nèi)容，抓住主線；重視實(shí)例和應(yīng)用，整合知識(shí)點(diǎn)；通俗易懂，講清楚背景和想法；全盤(pán)考慮高等代數(shù)課和抽象代數(shù)課的教學(xué)內(nèi)容，使之成為一個(gè)有機(jī)整體；注重培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式。　　《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》可作為綜合大學(xué)，理工科大學(xué)和師范院校數(shù)學(xué)系的抽象代數(shù)（或近世代數(shù)）課程的教材，也可作為數(shù)學(xué)工作才和科技工作才進(jìn)行科研工作的參考書(shū)，還可供學(xué)過(guò)高等代數(shù)課程的讀者自學(xué)。

書(shū)籍目錄

引言第一章 群§1 群的典型例子：循環(huán)群，二面體群，矩陣群，對(duì)稱(chēng)群§2 子群，陪集，Lagrange定理，循環(huán)群的子群§3 群的同構(gòu)，群的直積§4 群的同態(tài)，正規(guī)子群，商群，可解群§5 群在集合上的作用，群的自同構(gòu)，軌道一穩(wěn)定子定理§6 Sylow定理§7 有限abel群的結(jié)構(gòu)§8 自由群，群的表現(xiàn)第二章環(huán)§1 環(huán)的類(lèi)型和性質(zhì)，理想§2 商環(huán)，環(huán)的同態(tài)，環(huán)的直和§3 素理想和極大理想，有限域的構(gòu)造§4 代數(shù)數(shù)域和Galois環(huán)的構(gòu)造*§5 分式域§6 唯一因子分解整環(huán)，主理想整環(huán)，歐幾里得整環(huán)第三章 域擴(kuò)張及其自同構(gòu)§1 域擴(kuò)張，分裂域，有限域的結(jié)構(gòu)，正規(guī)擴(kuò)張§2 域擴(kuò)張的自同構(gòu)，伽羅瓦群，伽羅瓦擴(kuò)張§3 本原元素，跡與范數(shù)習(xí)題的提示或答案參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

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