微分幾何

前言

　　本書要討論的內(nèi)容是歐幾里得微分幾何學(xué)，即歐幾里得空間中曲線和曲面的幾何性質(zhì)，并研究它們的內(nèi)蘊幾何性質(zhì).人們自然要問，什么是歐幾里得幾何？所謂的幾何性質(zhì)又是什么？讀者也許從初等幾何中對這些問題已有了大概的了解，但由于這些問題帶有本質(zhì)性，因此，仍有必要多說幾句。　　幾何的觀念最初來源于人們對自然空間的直觀感受和經(jīng)驗.古希臘時期的幾何學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前2757）首先給出了直觀幾何的條理化結(jié)構(gòu)，他所編寫的《幾何原本》對幾何學(xué)原理作了系統(tǒng)的闡述，并開創(chuàng)了公理化的數(shù)學(xué)研究方法.長期以來，關(guān)于歐幾里得幾何公理體系的完備性、無矛盾性引起了很多數(shù)學(xué)家的興趣，特別是關(guān)于平行公理的研究更導(dǎo)致了非歐幾何學(xué)的誕生，其中決定性的工作應(yīng)歸功于J.Bolyai（匈牙利）和N.I.Lobachevsky（俄國）.Hilbert.在其名著《幾何基礎(chǔ)》中所規(guī)定的公理體系也許是最嚴(yán)密和最精練的。

內(nèi)容概要

本書共10章，第1章～第5章為第一部分，系統(tǒng)講述了三維歐氏空間中曲線、曲面的局部幾何理論和曲面的內(nèi)蘊幾何學(xué)，這部分內(nèi)容可作為數(shù)學(xué)專業(yè)本科生微分幾何必修課教材；第6章～第10章為第一部分，介紹有關(guān)曲面整體理論的一些基本結(jié)果，是整體微分幾何一些經(jīng)典問題選講，它涉及數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域，可作為高年級本科生的專業(yè)課教材或課外閱讀材料。

書籍目錄

第一部分　曲線與曲面的局部微分幾何　第一章　歐氏空間　　§1.1　向量空間　　§1.2　歐氏空間　第二章　曲線的局部理論　　§2.1　曲線的概念　　§2.2　平面曲線　　§2.3　E3的曲線　　§2.4　曲線論基本定理　第三章　曲面的局部理論　　§3.1　曲面的概念　　§3.2　曲面的第一基本形式　　§3.3　曲面的第二基本形式　　§3.4　法曲率與weingarten變換　　§3.5　主曲率與GausS曲率　　§3.6　曲面的一些例子　第四章　標(biāo)架與曲面論基本定理　　§4.1　活動標(biāo)架　　§4.2　自然標(biāo)架的運動方程　　§4.3　曲面的結(jié)構(gòu)方程　　§4.4　曲面的存在惟一性定理　　§4.5　正交活動標(biāo)架　　§4.6　曲面的結(jié)構(gòu)方程（外微分法）　第五章　曲面的內(nèi)蘊幾何學(xué)　　§5.1　曲面的等距變換　　§5.2　曲面的協(xié)變微分　　§5.3　測地曲率與測地線　　§5.4　測地坐標(biāo)系　　§5.5　Gauss—Bonnet公式　　§5.6　曲面的Laplace算子　　§5.7　Riemann度量第二部分　整體微分幾何選講　第六章　平面曲線的整體性質(zhì)　　§6.1　平面的閉曲線　　§6.2　平面的凸曲線　第七章　曲面的若干整體性質(zhì)　　§7.1　曲面的整體描述　　§7.2　整體的Gauss—Bonnet公式　　§7.3　緊致曲面的Gauss映射　　§7.4　凸曲面　　§7.5　曲面的完備性　第八章　常Gauss曲率曲面　　§8.1　常正GauSS曲率曲面　　　§8.2　常負(fù)Gauss曲率曲面與Sine-Gordon方程　　§8.3　IIilbert定理　　§8.4　Bgcklund變換　第九章　常平均曲率曲面　　§9.1　Hopf微分與Hopf定理　　§9.2　Alexsandrov惟一性定理　　§9.3　附錄：常平均曲率環(huán)面　第十章　極小曲面　　§10.1　極小圖　　§10.2　極小曲面的Weierstrass表示　　§10.3　極小曲面的Gauss映射　　§10.4　面積的變分與穩(wěn)定極小曲面索引　

章節(jié)摘錄

　　上一章我們研究了曲面標(biāo)架的運動方程和曲面的結(jié)構(gòu)方程.曲面的結(jié)構(gòu)方程又稱Gauss方程和Codazzi方程，它們是標(biāo)架運動方程的可積性條件.其中Gauss方程有一個重要的推論，即熟知的Guass“絕妙定理”：曲面的Gauss曲率可以由曲面的第一基本形式?jīng)Q定.　　從定義我們知道，曲面的Gauss曲率可以由曲面的第二基本形式定義，它反映曲面的彎曲.因此Gauss曲率由曲面的第一基本形式?jīng)Q定”這個事實是至關(guān)重要的，它預(yù)示著曲面的度量蘊含著曲面的幾何.　　這一章我們正是從這一角度出發(fā)，研究曲面由第一基本形式所決定的幾阿，即所謂的曲面內(nèi)蘊幾何學(xué).事實上，平面的歐氏幾何學(xué)就是相應(yīng)于平面歐氏度量的幾何學(xué)，它研究圖形在歐氏變換下的不變的幾何性質(zhì).同樣，由于曲面的第一基本形式就是曲面的度量，保持曲面度量不變的變換稱為曲面的等距變換，曲面的內(nèi)蘊幾何學(xué)是研究等距變換下不變的幾何量和幾何性質(zhì).　　本章內(nèi)容包括：曲面協(xié)變微分的概念；平面歐氏幾何的基本概念如直線、平移等在曲面的推廣；曲面上函數(shù)的Laplace算子及相應(yīng)的Green公式；等等.　　由于第一基本形式實質(zhì)上是定義在參數(shù)區(qū)域上的一個正定二次微分式，我們可以忽略曲面是“放在”E0這一現(xiàn)象，直接把定義在參數(shù)區(qū)域上的一個正定二次微分式視為度量，由此出發(fā)研究它的幾何學(xué)，這正是Riemann幾何的基本點.我們也將簡要介紹這一內(nèi)容?！　　?/pre>








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