數(shù)學(xué)物理方程

前言

本書是在1979年出版的《數(shù)學(xué)物理方程》第一版（高等教育出版社出版）的基礎(chǔ)上，經(jīng)對(duì)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)都作了較大改動(dòng)后修訂而成的，可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程基礎(chǔ)課的教材。本書第一版自出版以來已作為數(shù)學(xué)物理方程基礎(chǔ)課的教材被許多學(xué)校使用。多年的教學(xué)實(shí)踐說明，本書第一版的取材深度、主要內(nèi)容以及結(jié)構(gòu)安排還是比較合適的，為了進(jìn)一步突出重點(diǎn)，便于讀者學(xué)習(xí)與掌握數(shù)學(xué)物理方程的基本內(nèi)容和精神實(shí)質(zhì)，在這次修訂中著重注意以下的幾個(gè)方面：1.更加突出三類典型的二階線性偏微分方程的基本內(nèi)容。波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程反映了三類不同的自然現(xiàn)象，最具典型意義，處理方法上也最具代表性。學(xué)好這三類典型方程，理解、掌握其基本性質(zhì)與求解方法是學(xué)好本課程的關(guān)鍵。這一點(diǎn)在教材內(nèi)容的取舍與安排上都再次得到了強(qiáng)調(diào)，從而使重點(diǎn)更加突出。2.在講解基本理論與求解方法的同時(shí)，注意突出處理問題的思想方法。為了使讀者能更快地理解方法的實(shí)質(zhì)，在分解教材內(nèi)容的難點(diǎn)，改進(jìn)敘述方面也作了努力。此外，我們還增加了波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程解的衰減性、先驗(yàn)估計(jì)方法介紹等內(nèi)容，以便讀者對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的基本內(nèi)容有一個(gè)較全面的了解。3.對(duì)于廣義解與數(shù)值解這兩部分內(nèi)容的介紹將有利于讀者開闊視野，更深入地理解數(shù)學(xué)物理方程的基本內(nèi)容。對(duì)它們的處理，更注意與基本內(nèi)容的配合與呼應(yīng)，同時(shí)，也適當(dāng)精簡(jiǎn)了篇幅，使讀者能以主要精力集中于三類典型方程的學(xué)習(xí)。本書共分七章，第一、二、三章分別介紹波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和調(diào)和方程的基本定解問題的適定性、求解方法及解的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，在第四章 中對(duì)二階線性偏微分方程作了分析和總結(jié)。第五章 主要介紹一階雙曲型偏微分方程組。第六章 介紹廣義解與廣義函數(shù)解。第七章 介紹偏微分方程的數(shù)值方法。為了便于掌握這些內(nèi)容，在每一節(jié)后都安排了一定數(shù)量的習(xí)題，供讀者進(jìn)行練習(xí)。書中小部分內(nèi)容以小字排印，供有較充裕時(shí)間的讀者選學(xué)，跳過這些段落將不影響以下內(nèi)容的學(xué)習(xí)。本書中主要用到數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和常微分方程的知識(shí)，有些段落也用到復(fù)變函數(shù)的知識(shí)，在第一章 6、第六章 及第七章 還用到一些泛函分析的知識(shí)。因此，本課程以安排在第三學(xué)年為宜。本書前四章為數(shù)學(xué)物理方程課程的最基本內(nèi)容，可以用約五十學(xué)時(shí)的教學(xué)時(shí)間完成。全書的內(nèi)容（不包括小字與附錄）也可以在約七十學(xué)時(shí)的教學(xué)時(shí)間內(nèi)完成，在選用本書作為教材時(shí)可根據(jù)具體情況加以取舍。限于編者的水平，不妥及疏漏之處在所難免，懇請(qǐng)專家和廣大讀者提出寶貴的意見。

內(nèi)容概要

　　本書是作者在1979年第一版的基礎(chǔ)上，根據(jù)多年來的教學(xué)實(shí)踐修訂而成的。本書大體保持了第一版中取材的范圍、結(jié)構(gòu)和深度。同時(shí)，在修訂中更加突出了三類典型的二階線性偏微分方程的基本內(nèi)容；在講解基本理論與求解方法的同時(shí)注意突出處理問題的思想方法；為開闊讀者的視野，也適當(dāng)介紹了偏微分方程的廣義解與數(shù)值解，但比第一版精簡(jiǎn)了篇幅。全書共7章，其中1～3章為三類典型方程；4～7章分別為二階線性偏微分方程的分類和總結(jié)、一階雙曲型偏微分方程組、廣義解與廣義函數(shù)解、偏微分方程的數(shù)值方法。 　　本書可作為數(shù)學(xué)專業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科的教材。

書籍目錄

引言第一章　波動(dòng)方程　1　方程的導(dǎo)出、定解條件　　1.弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出　　2.定解條件）　　3.定解問題適定性概念）　習(xí)題　2　達(dá)朗貝爾（d'Alembert）公式、波的傳播　　1.疊加原理）　　2.弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法）　　3.傳播波　　4.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域　　5.齊次化原理　習(xí)題　3　初邊值問題的分離變量法　　1.分離變量法　　2.解的物理意義　　3.非齊次方程的情形　　4.非齊次邊界條件的情形　習(xí)題　4　高維波動(dòng)方程的柯西問題　　1.膜振動(dòng)方程的導(dǎo)出　　2.定解條件的提法　　3.球平均法　　4.降維法　　5.非齊次波動(dòng)方程柯西問題的解　習(xí)題　5　波的傳播與衰減　　1.依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域　　2.惠更斯（Huygens）原理、波的彌散　　3.波動(dòng)方程解的衰減　習(xí)題　6　能量不等式、波動(dòng)方程解的唯一性和穩(wěn)定性　　1.振動(dòng)的動(dòng)能和位能　　2.初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性　　3.柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性　習(xí)題第二章　熱傳導(dǎo)方程　1　熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出　　1.熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出　　2.定解問題的提法　　3.擴(kuò)散方程　習(xí)題　2　初邊值問題的分離變量法　　1.一個(gè)空間變量的情形　　2.圓形區(qū)域上的熱傳導(dǎo)問題　習(xí)題　3　柯西問題　　1.傅里葉變換及其基本性質(zhì)　　2.熱傳導(dǎo)方程柯西問題的求解　　3.解的存在性　習(xí)題　4　極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性　　1.極值原理　　2.初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性　　3.柯西問題解的唯一性和穩(wěn)定性　習(xí)題　5　解的漸近性態(tài)　　1.初邊值問題解的漸近性態(tài)　　2.柯西問題解的漸近性態(tài)　習(xí)題第三章　調(diào)和方程　1　建立方程、定解條件　　1.方程的導(dǎo)出　　2.定解條件和定解問題　　3.變分原理　習(xí)題　2　格林公式及其應(yīng)用　　1.格林（Green）公式　　2.平均值定理　　3.極值原理　　4.第一邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性　習(xí)題　3　格林函數(shù)　　1.格林函數(shù)及其性質(zhì)　　2.靜電源像法　　3.解的驗(yàn)證　　4.單連通區(qū)域的格林函數(shù)　　5.調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)　習(xí)題　4　強(qiáng)極值原理、第二邊值問題解的唯一性　　1.強(qiáng)極值原理　　2.第二邊值問題解的唯一性　　3.用能量積分法證明邊值問題的解的唯一性　習(xí)題第四章　二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)　1　二階線性方程的分類　　1.兩個(gè)自變量的方程　　2.兩個(gè)自變量的二階線性方程的化簡(jiǎn)　　3.方程的分類　　4.例　　5.多個(gè)自變量的方程的分類　習(xí)題　2　二階線性方程的特征理論　　1.特征概念　　2.特征方程　　3.例　習(xí)題　3　三類方程的比較　　1.線性方程的疊加原理　　2.解的性質(zhì)的比較　　3.定解問題提法的比較　習(xí)題　4　先驗(yàn)估計(jì)　　1.橢圓型方程解的最大模估計(jì)　　2.熱傳導(dǎo)方程解的最大模估計(jì)　　3.雙曲型方程解的能量估計(jì)　　4.拋物型方程解的能量估計(jì)　　5.橢圓型方程解的能量估計(jì)　習(xí)題第五章　一階偏微分方程組　1　引言　　1.一階偏微分方程組的例子　　2.一階方程組與高階方程的關(guān)系　習(xí)題　2　兩個(gè)自變量的一階線性偏微分方程組的特征理論　　1.特征方程、特征線　　2.兩個(gè)自變量的一階線性偏微分方程組的分類　　3.將嚴(yán)格雙曲型方程組化為對(duì)角型　習(xí)題　3　兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題　　1.化為積分方程組　　2.柯西問題解的存在性與唯一性　　3.對(duì)初始條件的連續(xù)依賴性　　4.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域　　5.關(guān)于柯西問題提法正確性的附注　習(xí)題　4　兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的其他定解問題　　1.廣義柯西問題　　2.古爾沙（Goursat）問題　　3.一般角狀區(qū)域上的邊值問題　習(xí)題　5　冪級(jí)數(shù)解法、柯西—柯瓦列夫斯卡婭（Cauchy-KoBaJIeBcKa）定理　　1.冪級(jí)數(shù)解法　　2.柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理　習(xí)題第六章　廣義解與廣義函數(shù)解　1　廣義解　　1.研究廣義解的必要性　　2.強(qiáng)解　　3.弱解　習(xí)題　2　廣義函數(shù)的概念　……第七章　偏微分方程的數(shù)值解附錄Ⅰ　傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)附錄Ⅱ　張緊薄膜的張力為常值的證明附錄Ⅲ　特殊函數(shù)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：本章介紹最典型的雙曲型方程——波動(dòng)方程，它在研究波的傳播及彈性體振動(dòng)時(shí)常會(huì)遇到。在§1中導(dǎo)出了一維波動(dòng)方程（弦振動(dòng)方程）和定解條件（初始條件、邊界條件），引進(jìn)了定解問題適定性的概念?！?中利用達(dá)朗貝爾解法，導(dǎo)出了弦振動(dòng)方程柯西問題解的表達(dá)式（達(dá)朗貝爾公式），而對(duì)于非齊次方程則運(yùn)用齊次化原理得到了解的表達(dá)式。在§3中用分離變量法討論了弦振動(dòng)方程的初邊值問題。在這兩節(jié)中也利用解的表達(dá)式對(duì)弦振動(dòng)方程解的一些重要性質(zhì)及相應(yīng)的物理意義作了說明?！?中首先用球平均函數(shù)法導(dǎo)出了三維波動(dòng)方程柯西問題解的表達(dá)式（泊松公式），然后用降維法導(dǎo)出了二維波動(dòng)方程相應(yīng)的解的表達(dá)式。§5中進(jìn)一步討論由波動(dòng)方程的解所反映的波的傳播與衰減等性質(zhì)，從中可以看到，不同維數(shù)的波動(dòng)動(dòng)方程的解的性質(zhì)是有著很大區(qū)別的。§6中采用能量積分的方法討論了波動(dòng)方程柯西問題及初邊值問題解的唯一性及穩(wěn)定性，這個(gè)方法是從能量守恒原理出發(fā)而得到的。

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