大學文科數(shù)學

前言

近年來，大學正在興起文科（包括文史哲方面的專業(yè)）開設數(shù)學課的潮流，這是為中華民族振興、進行現(xiàn)代化的一件重要事業(yè)，值得慶賀，應該堅持和發(fā)揚。以往文科大學生一般是不學數(shù)學的，為什么現(xiàn)在要學習它而且如此地重視呢？總的說來，我國偉大的現(xiàn)代化進程對數(shù)學的需求與以往有本質的不同。數(shù)學及其應用和數(shù)學教育的正確發(fā)展將使我國的綜合國力強盛，人民素質普遍達到高水平；我國現(xiàn)代化的目標將更快達到。具體點說，我以為大致有以下兩方面的理由：首先是20世紀的數(shù)學及其應用的發(fā)展，使得文科大學生學習數(shù)學顯得特別需要。由于以集合論和公理法為基礎，數(shù)學在進入20世紀以后，向更加抽象的方向發(fā)展，各個學科更加系統(tǒng)和結構化。人們對各個分支之間復雜的相互影響及作用有了日益增長的理解，從而導致許多重大而長期沒有解決的問題（例如費馬大定理、四色問題）終于得到了解決。那些相互關聯(lián)不斷擴大和深化，使得數(shù)學開始跨越自我來探索與其他科學領域之間的相互作用。這些涉及數(shù)學各種領域之間的以及數(shù)學與其他科學領域之間的相互作用，既使數(shù)學領域在廣度和深度上進一步擴大，又導致了一些偉大深刻見解的產(chǎn)生，并且產(chǎn)生了眾多新的學科，其中包括一些新的獨立的應用數(shù)學學科，例如計算科學、數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、信息論、控制論等。數(shù)學的應用幾乎無處不在。在20世紀的后期，數(shù)學與計算機技術的結合，產(chǎn)生了數(shù)學技術，使得數(shù)學從幕后走到臺前，可以直接形成高技術或核心技術，而且迅速向一般技術拓展，對于社會的現(xiàn)代化起著極大的推動作用。但是數(shù)學的這種新特點，人們還普遍地缺乏認識。作為未來從事意識形態(tài)、文化、文秘、管理以至領導等工作的大學文科學生應該對此有所了解。這對于貫徹科教興國的戰(zhàn)略，加速我國的現(xiàn)代化無疑將起重大的作用。這是大學文科應該開設數(shù)學課程的理由之一。另外一個理由是數(shù)學能夠培養(yǎng)人的正確思維，我們的文科教育需要在這方面加強。數(shù)學是按照邏輯演繹嚴格表述的，所以以往人們經(jīng)常說數(shù)學是思維的體操，通過學習它能夠發(fā)展學習者的邏輯思維。這無疑是正確的和重要的，但是不僅如此。數(shù)學還有一個特點是按公理體系建立，即追求從不證自明的少數(shù)幾個前提（公理）出發(fā)，邏輯地演繹出整個系統(tǒng)，在陳述上更具有理性的說服力。

內容概要

　　《面向21世紀課程教材：大學文科數(shù)學》是教育部“高等師范教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀課程教材。全書內容分三部分，其中必修課程包括實數(shù)、極限、函數(shù)、導數(shù)、不定積分、定積分、概率統(tǒng)計初步，限修課程包括線性代數(shù)、微分方程、多元微積分，選修課程包括線性規(guī)劃、數(shù)學方法論簡介，讀者可根據(jù)教學實際靈活選擇教學內容。　　《面向21世紀課程教材：大學文科數(shù)學》從各個角度比較自然地引入數(shù)學的基本概念，既展現(xiàn)了數(shù)學知識的來龍去脈，又示范性地保持了數(shù)學所特有的形式化本質特征：列舉了不少有應用價值的實例，也扼要地闡明了具有啟發(fā)意義的數(shù)學思想方法；通過對數(shù)學內容的辯證分析、典型數(shù)學史料的穿插融會，以及章末附設“數(shù)學家啟示錄”等形式，介紹了數(shù)學與邏輯、數(shù)學與哲學、數(shù)學與教育、數(shù)學與文化、數(shù)學家品質與業(yè)績等內容，滲透了數(shù)學的人文精神，突出了師范教育的特點?！睹嫦?1世紀課程教材：大學文科數(shù)學》在數(shù)學內容的選擇與組織上，由于文科數(shù)學學時的限制，在必須精簡的條件下，注意了學科的系統(tǒng)性。　　《面向21世紀課程教材：大學文科數(shù)學》可作為高等院校文科各專業(yè)教材。

書籍目錄

序言前言第一篇 必修課程第一章 微積分的基礎問題——集合、實數(shù)、極限1 極限、實數(shù)與集合在微積分中的作用2 實數(shù)系的建立及鄰域概念2.1 實數(shù)系的演變及性質2.2 刻畫極限的鄰域概念3 變量無限變化的數(shù)學模型——極限3.1 從分形幾何中Koch雪花的周長談起——數(shù)列極限3.2 函數(shù)極限3.3 無窮小量3.4 極限的四則運算數(shù)學家啟示錄（1）（一）數(shù)學之神——阿基米德（二）我國古代偉大數(shù)學家——祖沖之習題第二章 微積分的研究對象——函數(shù)、連續(xù)函數(shù)1 微積分的主要研究對象——初等函數(shù)1.1 變量相依關系的數(shù)學模型——函數(shù)1.2 逆向思維一例——反函數(shù)1.3 基本初等函數(shù)1.4 復合函數(shù)1.5 初等函數(shù)的含義2 MM能力培養(yǎng)——構建函數(shù)模型的步驟和方法2.1 構建函數(shù)模型的步驟和方法2.2 函數(shù)模型舉例3 變量連續(xù)變化的數(shù)學模型——連續(xù)函數(shù)3.1 連續(xù)函數(shù)的概念和連續(xù)函數(shù)求極限的法則3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質數(shù)學家啟示錄（2）雙目失明的數(shù)學家——歐拉習題二第三章 變量變化速度與局部改變量估值問題——導數(shù)與微分1 函數(shù)的局部變化率——導數(shù)1.1 抽象導數(shù)概念的兩個現(xiàn)實原型1.2 導數(shù)概念1.3 求導過程的哲學分析1.4 左導數(shù)和右導數(shù)1.5 函數(shù)的連續(xù)性與可導性之間的關系1.6 高階導數(shù)的概念2 求導數(shù)的方法——法則與公式2.1 求導法則2.2 基本初等函數(shù)的求導公式3 局部改變量的估值問題——微分及其運算3.1 微分3.2 微分公式和法則’3.3 微分在近似計算中的應用。4 早期微積分的邏輯矛盾——牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學危機數(shù)學家啟示錄（3）科學巨擘——牛頓習題三第四章 導數(shù)的應用問題——洛必達法則、函數(shù)的性質和圖像1 聯(lián)結局部與整體的紐帶——中值定理1.1 費馬定理1.2 中值定理（拉格朗日）2 計算不定式極限的一般方法——洛必達法則2.1 兩個基本類型不定式2.2 其他類型的不定式3 用導數(shù)研究函數(shù)的性質——單調性、極值和最大最小值3.1 函數(shù)的單調性3.2 函數(shù)的極值3.3 函數(shù)的最大值和最小值4利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像——曲線的繪制4.1 曲線的彎曲方向——凹凸性4.2 利用導數(shù)繪制函數(shù)的圖像數(shù)學家啟示錄（4）業(yè)余數(shù)學家之王——費馬習題四第五章 微分的逆運算問題——不定積分1 逆向思維又一例——原函數(shù)與不定積分1.1 原函數(shù)與不定積分的概念1.2 基本積分公式1.3 不定積分的線性運算法則2 矛盾轉化法——換元積分法與分部積分法2.1 換元積分法2.2 分部積分法數(shù)學家啟示錄（5）符號大師——萊布尼茨習題五第六章 求總量的問題——定積分1 特殊和式的極限——定積分的概念1.1 抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型1.2 定積分的概念1.3 求定積分過程中的辯證思維1.4 可積條件1.5 定積分的性質2 計算定積分的一般方法——微積分基本定理2.1 微積分基本定理2.2 定積分的換元積分法和分部積分法3 定積分的拓展——非正常積分4 定積分魅力的顯示——在若干學科中的應用4.1 微元法4.2 在幾何學中的應用4.3 在物理學中的應用——變力作功數(shù)學家啟示錄（6）微積分學在中國的最早傳播人——李善蘭習題六第七章 偶然中蘊含必然的問題——概率統(tǒng)計初步1 研究偶然現(xiàn)象的基本元素——隨機事件1.1 隨機現(xiàn)象及其描述1.2 事件的關系及運算2 偶然中的必然——概率2.1 概率的定義2.2 條件概率2.3 全概率公式和貝葉斯公式3 隨機現(xiàn)象的函數(shù)化——隨機變量3.1 隨機變量的概念3.2 離散型隨機變量3.3 連續(xù)型隨機變量4 隨機現(xiàn)象整體特征的描述——期望值4.1 加權平均數(shù)4.2 期望值5 隨機現(xiàn)象離散程度的描述——方差5.1 方差和標準差5.2 方差的性質6 由部分刻畫整體的基礎——統(tǒng)計6.1 總體和樣本6.2 統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布7 由部分刻畫整體的方法——統(tǒng)計推斷7.1 參數(shù)估計7.2 假設檢驗8 建立線性函數(shù)的實驗方法——一元線性回歸分析8.1 一元線性回歸方程的建立8.2 回歸方程的相關性檢驗數(shù)學家啟示錄（7）早期研究平均值的科學家——帕斯卡習題七第二篇 限修課程第八章 處理線性關系的數(shù)學問題——線性代數(shù)概述1 一種特殊數(shù)——行列式1.1 行列式的定義1.2 行列式的性質2 線性方程組的解法2.1 克拉默法則2.2 消元法……第三篇 選修課程附錄參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：從此，牛頓拋棄了“世俗的冠冕”，去摘取“光榮的桂冠”，以至于終生未娶。1661年，牛頓如愿以償，以優(yōu)異的成績考入久負盛名的劍橋大學三一學院，開始了苦讀生涯。臨近畢業(yè)時，不幸鼠疫蔓延，大學關門，牛頓負芨返里，一住兩年。這兩年是牛頓嘔心瀝血的兩年，也是他輝煌一生躊躇崢嶸的兩年。他研究了流數(shù)法和反流數(shù)法，用三棱鏡分解出七色彩虹，由蘋果落地發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律；他進行科學實驗和研究到了如癡如狂的地步，廢寢忘餐，夜以繼日。有人說：“科學史上沒有別的成功的例子可以和牛頓這兩年黃金歲月相比”。1667年他返回劍橋大學，相繼獲得學士學位和碩士學位，并留校任教，他艱苦奮爭，三十多歲就白發(fā)滿頭。牛頓矢志科學的故事膾炙人口，廣為流傳。比如有一次煮雞蛋，撈出的卻是懷表。1685年寫傳世之作《自然哲學的數(shù)學原理》的那些日子里，他很少在深夜兩三點鐘以前睡覺，一天只睡五六個小時。有時夢醒后，披上衣服就伏案疾書。有一次朋友來訪，擺好飯菜，等不到牛頓就餐，客人只好獨酌獨飲，待牛頓饑餓去用餐時，發(fā)現(xiàn)飯菜已經(jīng)用完，才頓時“醒悟”過來，自言自語道：“我還以為我沒有吃飯，原來是我搞錯了”。說完又轉身回到實驗室。牛頓并不只是苦行僧式的刻苦，更重要的是具有敏銳的悟性，深邃的思考，創(chuàng)造性的才能以及“一切不憑臆造”、反復進行實驗的務實精神。他曾說：“我的成功當歸于精心的思索”，“沒有大膽的猜想就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。牛頓一生功績卓著，成績斐然，但他自己卻很謙虛，臨終時留下了這樣一段遺言：“我不知道，世上人會怎樣看我；不過，我自己覺得，我只像一個在海濱玩耍的孩子，一會兒揀起塊比較光滑的卵石，一會兒找到個美麗些的貝殼；而在我面前，真理的大海還完全沒有發(fā)現(xiàn)”。牛頓有名師指引和提攜，這是他成功的第三個因素。在大學期間，由于學業(yè)出類拔萃，博得導師巴羅的厚愛。1664年，經(jīng)過考試，被選拔為巴羅的助手。1667年3月從鄉(xiāng)下被巴羅召回劍橋，翌年留校任教。由于成就突出，39歲的巴羅欣然把數(shù)學講座的職位讓給年僅27歲的牛頓。巴羅識才育人的高尚品質在科學界傳為佳話。

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《大學文科數(shù)學》是由高等教育出版社出版發(fā)行的。

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