大學(xué)文科數(shù)學(xué)

前言

近年來，大學(xué)正在興起文科（包括文史哲方面的專業(yè)）開設(shè)數(shù)學(xué)課的潮流，這是為中華民族振興、進(jìn)行現(xiàn)代化的一件重要事業(yè)，值得慶賀，應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)。以往文科大學(xué)生一般是不學(xué)數(shù)學(xué)的，為什么現(xiàn)在要學(xué)習(xí)它而且如此地重視呢？總的說來，我國(guó)偉大的現(xiàn)代化進(jìn)程對(duì)數(shù)學(xué)的需求與以往有本質(zhì)的不同。數(shù)學(xué)及其應(yīng)用和數(shù)學(xué)教育的正確發(fā)展將使我國(guó)的綜合國(guó)力強(qiáng)盛，人民素質(zhì)普遍達(dá)到高水平；我國(guó)現(xiàn)代化的目標(biāo)將更快達(dá)到。具體點(diǎn)說，我以為大致有以下兩方面的理由：首先是20世紀(jì)的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的發(fā)展，使得文科大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)顯得特別需要。由于以集合論和公理法為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)在進(jìn)入20世紀(jì)以后，向更加抽象的方向發(fā)展，各個(gè)學(xué)科更加系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)化。人們對(duì)各個(gè)分支之間復(fù)雜的相互影響及作用有了日益增長(zhǎng)的理解，從而導(dǎo)致許多重大而長(zhǎng)期沒有解決的問題（例如費(fèi)馬大定理、四色問題）終于得到了解決。那些相互關(guān)聯(lián)不斷擴(kuò)大和深化，使得數(shù)學(xué)開始跨越自我來探索與其他科學(xué)領(lǐng)域之間的相互作用。這些涉及數(shù)學(xué)各種領(lǐng)域之間的以及數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域之間的相互作用，既使數(shù)學(xué)領(lǐng)域在廣度和深度上進(jìn)一步擴(kuò)大，又導(dǎo)致了一些偉大深刻見解的產(chǎn)生，并且產(chǎn)生了眾多新的學(xué)科，其中包括一些新的獨(dú)立的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，例如計(jì)算科學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論等。數(shù)學(xué)的應(yīng)用幾乎無處不在。在20世紀(jì)的后期，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)技術(shù)，使得數(shù)學(xué)從幕后走到臺(tái)前，可以直接形成高技術(shù)或核心技術(shù)，而且迅速向一般技術(shù)拓展，對(duì)于社會(huì)的現(xiàn)代化起著極大的推動(dòng)作用。但是數(shù)學(xué)的這種新特點(diǎn)，人們還普遍地缺乏認(rèn)識(shí)。作為未來從事意識(shí)形態(tài)、文化、文秘、管理以至領(lǐng)導(dǎo)等工作的大學(xué)文科學(xué)生應(yīng)該對(duì)此有所了解。這對(duì)于貫徹科教興國(guó)的戰(zhàn)略，加速我國(guó)的現(xiàn)代化無疑將起重大的作用。這是大學(xué)文科應(yīng)該開設(shè)數(shù)學(xué)課程的理由之一。另外一個(gè)理由是數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)人的正確思維，我們的文科教育需要在這方面加強(qiáng)。數(shù)學(xué)是按照邏輯演繹嚴(yán)格表述的，所以以往人們經(jīng)常說數(shù)學(xué)是思維的體操，通過學(xué)習(xí)它能夠發(fā)展學(xué)習(xí)者的邏輯思維。這無疑是正確的和重要的，但是不僅如此。數(shù)學(xué)還有一個(gè)特點(diǎn)是按公理體系建立，即追求從不證自明的少數(shù)幾個(gè)前提（公理）出發(fā)，邏輯地演繹出整個(gè)系統(tǒng)，在陳述上更具有理性的說服力。

內(nèi)容概要

　　《面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)文科數(shù)學(xué)》是教育部“高等師范教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃”的研究成果，是面向21世紀(jì)課程教材。全書內(nèi)容分三部分，其中必修課程包括實(shí)數(shù)、極限、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分、概率統(tǒng)計(jì)初步，限修課程包括線性代數(shù)、微分方程、多元微積分，選修課程包括線性規(guī)劃、數(shù)學(xué)方法論簡(jiǎn)介，讀者可根據(jù)教學(xué)實(shí)際靈活選擇教學(xué)內(nèi)容?！　　睹嫦?1世紀(jì)課程教材：大學(xué)文科數(shù)學(xué)》從各個(gè)角度比較自然地引入數(shù)學(xué)的基本概念，既展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，又示范性地保持了數(shù)學(xué)所特有的形式化本質(zhì)特征：列舉了不少有應(yīng)用價(jià)值的實(shí)例，也扼要地闡明了具有啟發(fā)意義的數(shù)學(xué)思想方法；通過對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證分析、典型數(shù)學(xué)史料的穿插融會(huì)，以及章末附設(shè)“數(shù)學(xué)家啟示錄”等形式，介紹了數(shù)學(xué)與邏輯、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與教育、數(shù)學(xué)與文化、數(shù)學(xué)家品質(zhì)與業(yè)績(jī)等內(nèi)容，滲透了數(shù)學(xué)的人文精神，突出了師范教育的特點(diǎn)?！睹嫦?1世紀(jì)課程教材：大學(xué)文科數(shù)學(xué)》在數(shù)學(xué)內(nèi)容的選擇與組織上，由于文科數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)的限制，在必須精簡(jiǎn)的條件下，注意了學(xué)科的系統(tǒng)性?！　　睹嫦?1世紀(jì)課程教材：大學(xué)文科數(shù)學(xué)》可作為高等院校文科各專業(yè)教材。

書籍目錄

序言前言第一篇 必修課程第一章 微積分的基礎(chǔ)問題——集合、實(shí)數(shù)、極限1 極限、實(shí)數(shù)與集合在微積分中的作用2 實(shí)數(shù)系的建立及鄰域概念2.1 實(shí)數(shù)系的演變及性質(zhì)2.2 刻畫極限的鄰域概念3 變量無限變化的數(shù)學(xué)模型——極限3.1 從分形幾何中Koch雪花的周長(zhǎng)談起——數(shù)列極限3.2 函數(shù)極限3.3 無窮小量3.4 極限的四則運(yùn)算數(shù)學(xué)家啟示錄（1）（一）數(shù)學(xué)之神——阿基米德（二）我國(guó)古代偉大數(shù)學(xué)家——祖沖之習(xí)題第二章 微積分的研究對(duì)象——函數(shù)、連續(xù)函數(shù)1 微積分的主要研究對(duì)象——初等函數(shù)1.1 變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型——函數(shù)1.2 逆向思維一例——反函數(shù)1.3 基本初等函數(shù)1.4 復(fù)合函數(shù)1.5 初等函數(shù)的含義2 MM能力培養(yǎng)——構(gòu)建函數(shù)模型的步驟和方法2.1 構(gòu)建函數(shù)模型的步驟和方法2.2 函數(shù)模型舉例3 變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型——連續(xù)函數(shù)3.1 連續(xù)函數(shù)的概念和連續(xù)函數(shù)求極限的法則3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)學(xué)家啟示錄（2）雙目失明的數(shù)學(xué)家——?dú)W拉習(xí)題二第三章 變量變化速度與局部改變量估值問題——導(dǎo)數(shù)與微分1 函數(shù)的局部變化率——導(dǎo)數(shù)1.1 抽象導(dǎo)數(shù)概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型1.2 導(dǎo)數(shù)概念1.3 求導(dǎo)過程的哲學(xué)分析1.4 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)1.5 函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性之間的關(guān)系1.6 高階導(dǎo)數(shù)的概念2 求導(dǎo)數(shù)的方法——法則與公式2.1 求導(dǎo)法則2.2 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式3 局部改變量的估值問題——微分及其運(yùn)算3.1 微分3.2 微分公式和法則’3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。4 早期微積分的邏輯矛盾——牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)家啟示錄（3）科學(xué)巨擘——牛頓習(xí)題三第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題——洛必達(dá)法則、函數(shù)的性質(zhì)和圖像1 聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶——中值定理1.1 費(fèi)馬定理1.2 中值定理（拉格朗日）2 計(jì)算不定式極限的一般方法——洛必達(dá)法則2.1 兩個(gè)基本類型不定式2.2 其他類型的不定式3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、極值和最大最小值3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.2 函數(shù)的極值3.3 函數(shù)的最大值和最小值4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像——曲線的繪制4.1 曲線的彎曲方向——凹凸性4.2 利用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)的圖像數(shù)學(xué)家啟示錄（4）業(yè)余數(shù)學(xué)家之王——費(fèi)馬習(xí)題四第五章 微分的逆運(yùn)算問題——不定積分1 逆向思維又一例——原函數(shù)與不定積分1.1 原函數(shù)與不定積分的概念1.2 基本積分公式1.3 不定積分的線性運(yùn)算法則2 矛盾轉(zhuǎn)化法——換元積分法與分部積分法2.1 換元積分法2.2 分部積分法數(shù)學(xué)家啟示錄（5）符號(hào)大師——萊布尼茨習(xí)題五第六章 求總量的問題——定積分1 特殊和式的極限——定積分的概念1.1 抽象定積分概念的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)原型1.2 定積分的概念1.3 求定積分過程中的辯證思維1.4 可積條件1.5 定積分的性質(zhì)2 計(jì)算定積分的一般方法——微積分基本定理2.1 微積分基本定理2.2 定積分的換元積分法和分部積分法3 定積分的拓展——非正常積分4 定積分魅力的顯示——在若干學(xué)科中的應(yīng)用4.1 微元法4.2 在幾何學(xué)中的應(yīng)用4.3 在物理學(xué)中的應(yīng)用——變力作功數(shù)學(xué)家啟示錄（6）微積分學(xué)在中國(guó)的最早傳播人——李善蘭習(xí)題六第七章 偶然中蘊(yùn)含必然的問題——概率統(tǒng)計(jì)初步1 研究偶然現(xiàn)象的基本元素——隨機(jī)事件1.1 隨機(jī)現(xiàn)象及其描述1.2 事件的關(guān)系及運(yùn)算2 偶然中的必然——概率2.1 概率的定義2.2 條件概率2.3 全概率公式和貝葉斯公式3 隨機(jī)現(xiàn)象的函數(shù)化——隨機(jī)變量3.1 隨機(jī)變量的概念3.2 離散型隨機(jī)變量3.3 連續(xù)型隨機(jī)變量4 隨機(jī)現(xiàn)象整體特征的描述——期望值4.1 加權(quán)平均數(shù)4.2 期望值5 隨機(jī)現(xiàn)象離散程度的描述——方差5.1 方差和標(biāo)準(zhǔn)差5.2 方差的性質(zhì)6 由部分刻畫整體的基礎(chǔ)——統(tǒng)計(jì)6.1 總體和樣本6.2 統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量的分布7 由部分刻畫整體的方法——統(tǒng)計(jì)推斷7.1 參數(shù)估計(jì)7.2 假設(shè)檢驗(yàn)8 建立線性函數(shù)的實(shí)驗(yàn)方法——一元線性回歸分析8.1 一元線性回歸方程的建立8.2 回歸方程的相關(guān)性檢驗(yàn)數(shù)學(xué)家啟示錄（7）早期研究平均值的科學(xué)家——帕斯卡習(xí)題七第二篇 限修課程第八章 處理線性關(guān)系的數(shù)學(xué)問題——線性代數(shù)概述1 一種特殊數(shù)——行列式1.1 行列式的定義1.2 行列式的性質(zhì)2 線性方程組的解法2.1 克拉默法則2.2 消元法……第三篇 選修課程附錄參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：從此，牛頓拋棄了“世俗的冠冕”，去摘取“光榮的桂冠”，以至于終生未娶。1661年，牛頓如愿以償，以優(yōu)異的成績(jī)考入久負(fù)盛名的劍橋大學(xué)三一學(xué)院，開始了苦讀生涯。臨近畢業(yè)時(shí)，不幸鼠疫蔓延，大學(xué)關(guān)門，牛頓負(fù)芨返里，一住兩年。這兩年是牛頓嘔心瀝血的兩年，也是他輝煌一生躊躇崢嶸的兩年。他研究了流數(shù)法和反流數(shù)法，用三棱鏡分解出七色彩虹，由蘋果落地發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律；他進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究到了如癡如狂的地步，廢寢忘餐，夜以繼日。有人說：“科學(xué)史上沒有別的成功的例子可以和牛頓這兩年黃金歲月相比”。1667年他返回劍橋大學(xué)，相繼獲得學(xué)士學(xué)位和碩士學(xué)位，并留校任教，他艱苦奮爭(zhēng)，三十多歲就白發(fā)滿頭。牛頓矢志科學(xué)的故事膾炙人口，廣為流傳。比如有一次煮雞蛋，撈出的卻是懷表。1685年寫傳世之作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》的那些日子里，他很少在深夜兩三點(diǎn)鐘以前睡覺，一天只睡五六個(gè)小時(shí)。有時(shí)夢(mèng)醒后，披上衣服就伏案疾書。有一次朋友來訪，擺好飯菜，等不到牛頓就餐，客人只好獨(dú)酌獨(dú)飲，待牛頓饑餓去用餐時(shí)，發(fā)現(xiàn)飯菜已經(jīng)用完，才頓時(shí)“醒悟”過來，自言自語道：“我還以為我沒有吃飯，原來是我搞錯(cuò)了”。說完又轉(zhuǎn)身回到實(shí)驗(yàn)室。牛頓并不只是苦行僧式的刻苦，更重要的是具有敏銳的悟性，深邃的思考，創(chuàng)造性的才能以及“一切不憑臆造”、反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的務(wù)實(shí)精神。他曾說：“我的成功當(dāng)歸于精心的思索”，“沒有大膽的猜想就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。牛頓一生功績(jī)卓著，成績(jī)斐然，但他自己卻很謙虛，臨終時(shí)留下了這樣一段遺言：“我不知道，世上人會(huì)怎樣看我；不過，我自己覺得，我只像一個(gè)在海濱玩耍的孩子，一會(huì)兒揀起塊比較光滑的卵石，一會(huì)兒找到個(gè)美麗些的貝殼；而在我面前，真理的大海還完全沒有發(fā)現(xiàn)”。牛頓有名師指引和提攜，這是他成功的第三個(gè)因素。在大學(xué)期間，由于學(xué)業(yè)出類拔萃，博得導(dǎo)師巴羅的厚愛。1664年，經(jīng)過考試，被選拔為巴羅的助手。1667年3月從鄉(xiāng)下被巴羅召回劍橋，翌年留校任教。由于成就突出，39歲的巴羅欣然把數(shù)學(xué)講座的職位讓給年僅27歲的牛頓。巴羅識(shí)才育人的高尚品質(zhì)在科學(xué)界傳為佳話。

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《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》是由高等教育出版社出版發(fā)行的。

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