常微分方程

前言

本書是為貫徹“面向2l世紀(jì)教育振興行動計(jì)劃”，實(shí)施“跨世紀(jì)園丁工程”，“保證中學(xué)教師提高學(xué)歷培訓(xùn)質(zhì)量”而編寫。材料的取舍是按照教育部師范教育司1999年組織制訂的《中學(xué)教師進(jìn)修高等師范本科（專科起點(diǎn)）教學(xué)計(jì)劃》中的常微分方程部分進(jìn)行的。在編寫過程中我們借鑒了近年來日校本科和函授本科的教學(xué)中的實(shí)踐，同時(shí)也參照了國內(nèi)流行的常微分方程教材的一些內(nèi)容和寫法，盡量做到既介紹經(jīng)典的常微分方程基本內(nèi)容，又兼顧到常微分方程的某些應(yīng)用和近代理論，使學(xué)員通過該課程的學(xué)習(xí)能了解到古老而又極具生命力的常微分方程的基本概貌，從而有助于提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，加深對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解?？紤]到讀者對象主要是非在校生的特點(diǎn)，我們力求做到通俗易懂，便于自學(xué)。標(biāo)打*號的內(nèi)容，學(xué)員可做一般性的了解。我們要特別感謝北京大學(xué)丁同仁教授，他認(rèn)真地審閱了全書，且提出了非常寶貴的修改意見。由于我們水平有限，錯(cuò)誤與不妥之處在所難免，敬請廣大讀者給予批評指正。

內(nèi)容概要

　　在編寫過程中我們借鑒了近年來日校本科和函授本科的教學(xué)中的實(shí)踐，同時(shí)也參照了國內(nèi)流行的常微分方程教材的一些內(nèi)容和寫法，盡量做到既介紹經(jīng)典的常微分方程基本內(nèi)容，又兼顧到常微分方程的某些應(yīng)用和近代理論，使學(xué)員通過該課程的學(xué)習(xí)能了解到古老而又極具生命力的常微分方程的基本概貌，從而有助于提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，加深對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。考慮到讀者對象主要是非在校生的特點(diǎn)，我們力求做到通俗易懂，便于自學(xué)。標(biāo)打*號的內(nèi)容，學(xué)員可做一般性的了解。

書籍目錄

第一章 初等積分法§1.1 基本概念(微分方程與解)§1.2 變量可分離方程§1.3 齊次方程(可化為變量可分離方程)§1.4 一階線性方程與常數(shù)變易法§1.5 全微分方程及積分因子§1.6 一階隱式微分方程與參數(shù)表示§1.7 幾種可降階的高階方程§1.8 一階微分方程應(yīng)用舉例綜合練習(xí)題l本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)第二章 基本定理§2.1 解的存在性與唯一性定理§2.2 解的延展§2.3 線素場§2.4 奇解與包絡(luò)線§2.5 解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理綜合練習(xí)題2本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)第三章 一階線性微分方程組§3.1 一階微分方程組§3.2 一階線性微分方程組的一般概念§3.3 一階線性齊次方程組的一般理論§3.4 一階線性非齊次方程組的一般理論§3.5 常系數(shù)線性微分方程組的解法綜合練習(xí)題3本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)第四章 聆階線性微分方程§4.1 ”階線性微分方程的一般理論§4.2 n階常系數(shù)線性齊次方程解法§4.3 n階常系數(shù)線性非齊次方程解法§4.4 可以化為常系數(shù)的變系數(shù)線性方程§4.5 二階常系數(shù)線性方程與振動現(xiàn)象§4.6 冪級數(shù)解法大意綜合練習(xí)題4本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)第五章 穩(wěn)定性與定性理論初步§5.1 解的穩(wěn)定性§5.2 平面動力系統(tǒng)，相平面與軌線§5.3 平面動力系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近的軌線分布§5.4 極限環(huán)綜合練習(xí)題5本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)參考文獻(xiàn)習(xí)題參考答案

章節(jié)摘錄

插圖：本章重點(diǎn)在于介紹和證明解的存在唯一性定理及解的一些基本性質(zhì)，它們是定性理論和穩(wěn)定理論的基礎(chǔ)，在微分方程的研究中是不可缺少的。關(guān)于解的存在唯一性定理，這是微分方程中最常用的定理．在后面的高階線性方程和線性微分方程組中，都介紹了這個(gè)定理的推廣形式．另外在求近似解之前，都必須從理論上作解的存在唯一性判定．逐步逼近法是一個(gè)重要的方法，讀者一定要熟悉和掌握這一證明方法．關(guān)于解的延展定理，它把由解的存在唯一性定理所得到的具有局部性結(jié)果，擴(kuò)展到全局上去．這一定理無論在微分方程的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，都是很有意義的。關(guān)于解對初值的連續(xù)依賴性定理，它刻畫了微分方程的解之間的關(guān)系．它說明在一定條件下，當(dāng)初始值變化不大時(shí)，相應(yīng)的初值問題的解，在一定范圍內(nèi)變化也不大．在微分方程定性理論中，這個(gè)定理是研究軌線分布的基礎(chǔ)．讀者對解關(guān)于初值的連續(xù)依賴性和可微性這一節(jié)只作一般了解即可。另外，本章還介紹了線素場及一階微分方程奇解的概念及求法，奇解無論在理論上或?qū)嶋H上都很有意義．線素場只要求一般了解就夠了。

編輯推薦

《常微分方程》由高等教育出版社出版。

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