常微分方程

前言

本書是為貫徹“面向2l世紀(jì)教育振興行動計劃”，實施“跨世紀(jì)園丁工程”，“保證中學(xué)教師提高學(xué)歷培訓(xùn)質(zhì)量”而編寫。材料的取舍是按照教育部師范教育司1999年組織制訂的《中學(xué)教師進修高等師范本科（?？破瘘c）教學(xué)計劃》中的常微分方程部分進行的。在編寫過程中我們借鑒了近年來日校本科和函授本科的教學(xué)中的實踐，同時也參照了國內(nèi)流行的常微分方程教材的一些內(nèi)容和寫法，盡量做到既介紹經(jīng)典的常微分方程基本內(nèi)容，又兼顧到常微分方程的某些應(yīng)用和近代理論，使學(xué)員通過該課程的學(xué)習(xí)能了解到古老而又極具生命力的常微分方程的基本概貌，從而有助于提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，加深對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。考慮到讀者對象主要是非在校生的特點，我們力求做到通俗易懂，便于自學(xué)。標(biāo)打*號的內(nèi)容，學(xué)員可做一般性的了解。我們要特別感謝北京大學(xué)丁同仁教授，他認真地審閱了全書，且提出了非常寶貴的修改意見。由于我們水平有限，錯誤與不妥之處在所難免，敬請廣大讀者給予批評指正。

內(nèi)容概要

　　在編寫過程中我們借鑒了近年來日校本科和函授本科的教學(xué)中的實踐，同時也參照了國內(nèi)流行的常微分方程教材的一些內(nèi)容和寫法，盡量做到既介紹經(jīng)典的常微分方程基本內(nèi)容，又兼顧到常微分方程的某些應(yīng)用和近代理論，使學(xué)員通過該課程的學(xué)習(xí)能了解到古老而又極具生命力的常微分方程的基本概貌，從而有助于提高自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，加深對中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解?？紤]到讀者對象主要是非在校生的特點，我們力求做到通俗易懂，便于自學(xué)。標(biāo)打*號的內(nèi)容，學(xué)員可做一般性的了解。

書籍目錄

第一章 初等積分法§1.1 基本概念(微分方程與解)§1.2 變量可分離方程§1.3 齊次方程(可化為變量可分離方程)§1.4 一階線性方程與常數(shù)變易法§1.5 全微分方程及積分因子§1.6 一階隱式微分方程與參數(shù)表示§1.7 幾種可降階的高階方程§1.8 一階微分方程應(yīng)用舉例綜合練習(xí)題l本章學(xué)習(xí)要點第二章 基本定理§2.1 解的存在性與唯一性定理§2.2 解的延展§2.3 線素場§2.4 奇解與包絡(luò)線§2.5 解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理綜合練習(xí)題2本章學(xué)習(xí)要點第三章 一階線性微分方程組§3.1 一階微分方程組§3.2 一階線性微分方程組的一般概念§3.3 一階線性齊次方程組的一般理論§3.4 一階線性非齊次方程組的一般理論§3.5 常系數(shù)線性微分方程組的解法綜合練習(xí)題3本章學(xué)習(xí)要點第四章 聆階線性微分方程§4.1 ”階線性微分方程的一般理論§4.2 n階常系數(shù)線性齊次方程解法§4.3 n階常系數(shù)線性非齊次方程解法§4.4 可以化為常系數(shù)的變系數(shù)線性方程§4.5 二階常系數(shù)線性方程與振動現(xiàn)象§4.6 冪級數(shù)解法大意綜合練習(xí)題4本章學(xué)習(xí)要點第五章 穩(wěn)定性與定性理論初步§5.1 解的穩(wěn)定性§5.2 平面動力系統(tǒng)，相平面與軌線§5.3 平面動力系統(tǒng)的奇點附近的軌線分布§5.4 極限環(huán)綜合練習(xí)題5本章學(xué)習(xí)要點參考文獻習(xí)題參考答案

章節(jié)摘錄

插圖：本章重點在于介紹和證明解的存在唯一性定理及解的一些基本性質(zhì)，它們是定性理論和穩(wěn)定理論的基礎(chǔ)，在微分方程的研究中是不可缺少的。關(guān)于解的存在唯一性定理，這是微分方程中最常用的定理．在后面的高階線性方程和線性微分方程組中，都介紹了這個定理的推廣形式．另外在求近似解之前，都必須從理論上作解的存在唯一性判定．逐步逼近法是一個重要的方法，讀者一定要熟悉和掌握這一證明方法．關(guān)于解的延展定理，它把由解的存在唯一性定理所得到的具有局部性結(jié)果，擴展到全局上去．這一定理無論在微分方程的理論研究和實際應(yīng)用中，都是很有意義的。關(guān)于解對初值的連續(xù)依賴性定理，它刻畫了微分方程的解之間的關(guān)系．它說明在一定條件下，當(dāng)初始值變化不大時，相應(yīng)的初值問題的解，在一定范圍內(nèi)變化也不大．在微分方程定性理論中，這個定理是研究軌線分布的基礎(chǔ)．讀者對解關(guān)于初值的連續(xù)依賴性和可微性這一節(jié)只作一般了解即可。另外，本章還介紹了線素場及一階微分方程奇解的概念及求法，奇解無論在理論上或?qū)嶋H上都很有意義．線素場只要求一般了解就夠了。

編輯推薦

《常微分方程》由高等教育出版社出版。

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