數(shù)論講義

前言

初等數(shù)論是主要用算術(shù)方法研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)論分支，它是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一。我們知道，公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid）證明了素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮的，并給出了求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)的算法。我國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》中給出了解一次同余式組的算法，即著名的孫子剩余定理，國(guó)外把它叫做中國(guó)剩余定理，這是初等數(shù)論中一個(gè)重要的定理。從17世紀(jì)到19世紀(jì)，費(fèi)馬（Fermat）、歐拉（Euler）、勒讓德（Legendre）、高斯（Gauss）等人的工作大大發(fā)展和豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容。特別是1801年，高斯出版了著名的《算術(shù)研究》（Disquisitiones Arithmeticae）。在這本書中，高斯證明了二次互反律、原根存在的充分必要條件等重要結(jié)果。以上這些工作大體上構(gòu)成了通常初等數(shù)論教科書的基本內(nèi)容。當(dāng)然，初等數(shù)論所包含的內(nèi)容遠(yuǎn)不止這些。隨著初等數(shù)論的不斷發(fā)展，它的內(nèi)容也越來越豐富。在本書中，我們只是選取一些較重要的課題。

內(nèi)容概要

　　《普通高等教育“九五”國(guó)家教委重點(diǎn)教材：數(shù)論講義（上）（第2版）》是根據(jù)作者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和科研成果寫成的，內(nèi)容除通常的初等數(shù)論教材中所包括的基本內(nèi)容外，還包括三次、四次互反律，代數(shù)數(shù)論初步，有限域上某些不定方程的基礎(chǔ)知識(shí)，第二版中還增加了素性判別和整數(shù)分解等內(nèi)容，作者在介紹熟知的經(jīng)典結(jié)果時(shí)，也注意介紹新的證明方法和近代進(jìn)展，并盡可能介紹它們的應(yīng)用?！镀胀ǜ叩冉逃?ldquo;九五”國(guó)家教委重點(diǎn)教材：數(shù)論講義（上）（第2版）》第二版仍分上、下兩冊(cè)出版，上冊(cè)前五章可作為初等數(shù)論課教學(xué)內(nèi)容，上冊(cè)第六章及下冊(cè)可作為選修課教學(xué)內(nèi)容。

書籍目錄

第二版前言前言第一章 整數(shù)的惟一分解定理1 整除性2 最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法3 最小公倍數(shù)4 素?cái)?shù)、整數(shù)的惟一分解定理5 厄拉多塞篩法6 麥?zhǔn)材鶖?shù)、費(fèi)馬數(shù)7 完全數(shù)8 一次不定方程9 抽屜原理第一章習(xí)題第二章 同余式1 同余的定義和基本性質(zhì)2 剩余類和完全剩余系3 縮系4 一次同余式5 模數(shù)是素?cái)?shù)的同余式6 孫子剩余定理及其應(yīng)用舉例7 模數(shù)是素?cái)?shù)冪的同余式8 整數(shù)的剩余表示9 逐步淘汰原則10 Wolstenholme定理的推廣11 覆蓋同余式組第二章習(xí)題第三章 數(shù)論函數(shù)1 數(shù)論函數(shù)potpn2 麥比烏斯函數(shù)μ（n）3 歐拉函數(shù)伊φ（n）4 數(shù)論函數(shù)的狄利克雷乘積5 麥比烏斯反演公式6 積性函數(shù)7 數(shù)論函數(shù)π（n）8 盧卡斯序列9 陷門單向函數(shù)與公開密鑰碼第三章習(xí)題第四章 二次剩余1 二次剩余2 勒讓德符號(hào)3 高斯引理4 二次互反律5 二次剩余理論應(yīng)用舉例6 二次同余式的解法和解數(shù)7 雅可比符號(hào)8 表素?cái)?shù)為平方和9 表正整數(shù)為平方和第四章習(xí)題第五章 原根1 整數(shù)的次數(shù)2 原根3 計(jì)算次數(shù)的方法4 計(jì)算原根的方法5 原根的一個(gè)性質(zhì)6 指數(shù)7 一般縮系的構(gòu)造8原根的一個(gè)應(yīng)用9基于離散對(duì)數(shù)的公鑰密碼體制10 k次剩余11 k次剩余符號(hào)第五章習(xí)題第六章 素性判別和整數(shù)分解1關(guān)于算法及其計(jì)算量2偽素?cái)?shù)和素性判別3一些初等的素性判別方法4分解整數(shù)的費(fèi)馬方法和Kraitchik方法5連分?jǐn)?shù)法和二次篩法6 P－l法第六章習(xí)題名詞索引參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：上面從理論上證明了任意一個(gè)大于1的整數(shù)，可以寫成它的標(biāo)準(zhǔn)分解式，而且這樣一個(gè)分解式可以通過有限步的計(jì)算求出，但是，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，特別當(dāng)a很大時(shí)，仍然由于計(jì)算量太大，常常難以辦到，因此，用正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式來求最大公因數(shù)并不簡(jiǎn)單，而用輾轉(zhuǎn)相除法來求的優(yōu)點(diǎn)在于不必把正整數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)分解式.至于大整數(shù)的分解仍然是近代數(shù)論研究的重要課題之一，它不僅具有理論價(jià)值，而且有實(shí)際應(yīng)用，我們將在第三章和第六章中介紹。

編輯推薦

《數(shù)論講義(上冊(cè))(第2版)》第一版榮獲第二屆國(guó)家教委高等學(xué)校優(yōu)秀教材二等獎(jiǎng)。

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