實(shí)變函數(shù)

前言

　　由Newton，Leibniz等人開創(chuàng)、后經(jīng)Cauchy，Riemann等人改進(jìn)的經(jīng)典微積分，在19世紀(jì)后期已經(jīng)成熟，并成為普遍應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。然而，就在人們歡慶之際，出現(xiàn)了不祥的信號(hào)：經(jīng)典微積分的一些重大缺陷開始為人們所注意。為革除這些缺陷所作的最初嘗試，給創(chuàng)立新的微積分理論揭開了序幕。　　人們注意的重點(diǎn)是積分學(xué)，經(jīng)典積分即Riemann積分在許多方面不能令人滿意。首先，Riemann積分基本上只適用于連續(xù)函數(shù)（參看本書3．4．1），因而其應(yīng)用大受局限。其次，Riemann積分與極限互換及兩次積分互換均要求很強(qiáng)的條件，這使人們深感不便，還有其他一些結(jié)果（如Newton-Leibniz公式）所需條件過強(qiáng)，在Riemann積分的框架內(nèi)，改進(jìn)上述結(jié)果的努力要么收效甚微，要么導(dǎo)致更復(fù)雜的理論．于是出路在于創(chuàng)立新的積分?！　⌒碌姆e分也就應(yīng)運(yùn)而生，它就是出現(xiàn)于20世紀(jì)初的Lebesgue積分。Lebesgue首先開創(chuàng)了測(cè)度論，然后以測(cè)度論為基礎(chǔ)，引入了一種全新的積分。經(jīng)過短暫的沉寂之后，數(shù)學(xué)家們不無驚喜地接受了Lebesgue積分，且最終確信它已消除Riemann積分的主要缺陷，新的積分很快在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域顯示出強(qiáng)大的威力，它的應(yīng)用到處導(dǎo)致深刻的結(jié)果。而且，在以測(cè)度論為基礎(chǔ)的新方法的推動(dòng)下，經(jīng)典微分學(xué)的面貌也為之改觀。這樣，以Lebesgue積分為中心的新的微積分理論終于形成,由于歷史的原因，這一理論被稱作“實(shí)變函數(shù)論”或“實(shí)分析”，實(shí)際上，它并非僅限于考慮“實(shí)變量函數(shù)”。

內(nèi)容概要

　　全書共五章。其中前二章（集與點(diǎn)集、測(cè)度與可測(cè)函數(shù)）以較小的篇幅緊湊地介紹了學(xué)習(xí)全書所需的集合論和測(cè)度論基礎(chǔ)，第三章Lebesgue積分，第四章Lp空間是全書的中心內(nèi)容，系統(tǒng)地介紹了Lebesgue積分論，并給出了較多的應(yīng)用例子，第五章徽分論與Stieltjes積分，包括廣義測(cè)度的一個(gè)梗概。本書在每一章后增加了評(píng)注，習(xí)題依要求的不同分為A、B兩類，在本書的最后還附有對(duì)每一道習(xí)題的解答與提示?！　∨c傳統(tǒng)教材相比，本書適當(dāng)增加了應(yīng)用實(shí)例，增加習(xí)題數(shù)量并將基本題與難題分開；加強(qiáng)背景與主要思路的說明；與前后課程的銜接處添加了引導(dǎo)性說明?！　”緯谜Z準(zhǔn)確，表述清晰?？勺鳛槔砉た拼髮W(xué)、高等師范院校數(shù)學(xué)及相近專業(yè)的教材或參考書，也可供有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者自學(xué)之用。

書籍目錄

記號(hào)與約定幾點(diǎn)說明關(guān)于習(xí)題的說明第一章 集與點(diǎn)集  1.1 集及其運(yùn)算  1.2 映射  1.3 基數(shù)與可數(shù)性  1.4  Rn中的點(diǎn)集  1.5 開集的結(jié)構(gòu)·連續(xù)性  1.6 關(guān)于n維點(diǎn)集的基本定理  評(píng)注  習(xí)題第二章 測(cè)度與可測(cè)函數(shù)  2.1 Lebesgue測(cè)度  2.2 測(cè)度空間  2.3 可測(cè)函數(shù)  2.4 可測(cè)函數(shù)列的收斂性  2.5 某些結(jié)論的證明及補(bǔ)充  評(píng)注  習(xí)題第三章 Lebesgue積分  3.1 Lebesgue積分的引入  3.2 Lebesgue積分的初等性質(zhì)  3.3 積分收斂定理  3.4 與Riemann積分的聯(lián)系  3.5 Fubini定理  3.6 某些基本結(jié)論的證明  評(píng)注  習(xí)題第四章 Lp空間  4.1 Lp范數(shù)與p收斂  4.2 Lp逼近  4.3 L2空間  4.4 對(duì)Fourier分析的若干應(yīng)用  評(píng)注  習(xí)題第五章 微分論·Stieltjes積分  5.1 單調(diào)函數(shù)  5.2 有界變差函數(shù)  5.3 絕對(duì)連續(xù)函數(shù)  5.4 凸函數(shù)  5.5 Riemann—Stieltjes積分  5.6 廣義測(cè)度  5.7 Lebesgue—Stieltjes積分  5.8 某些基本結(jié)論的證明  評(píng)注  習(xí)題參考書目習(xí)題答案與提示名詞索引

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無

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