線性算子譜理論及其應用

內(nèi)容概要

《線性算子譜理論及其應用》介紹線性算子及其譜的基本概念，無界對稱算子、J-對稱算子和C-對稱算子的擴張理論；主要討論幾類特殊算子（有界對稱算子、有界正常算子、有界C-對稱算子、Hilbert-Schmidt型算子、無界自伴算子、無界正常算子、無界C-自伴算子）的譜理論及其在相關(guān)攝動下的譜分析；重點將上述相關(guān)的理論具體應用到微分方程邊值問題形成的微分算子理論，特別地，關(guān)于自伴、非自伴微分算子的譜理論和譜分析，有效地解決了相應的微分方程邊值問題。 
《線性算子譜理論及其應用》適合于基礎(chǔ)數(shù)學、應用數(shù)學以及相關(guān)專業(yè)的理工科研究生閱讀，可供專門從事泛函分析、線性算子譜理論、微分算子理論研究的數(shù)學研究人員使用，也可供微分方程、非線性科學和量子力學等領(lǐng)域的科研及教學人員參考。

書籍目錄

第1章線性算子及其譜 1.1線性算子的定義 1.2預解算子 1.3線性算子的譜 1.4譜的其他分類 第2章正常算子與自伴算子的譜分解 2.1投影算子 2.2譜族（譜測度）和譜積分（算子積分） 2.2.1定義在實軸上的譜族 2.2.2定義在Borel集上的譜族 2.2.2□是Borel可測函數(shù)時的算子表示 2.3正常算子的譜分解 2.3.1有界正常算子的譜分解 2.3.2無界正常算子的譜分解 2.4正常算子的譜 2.5自伴算子的譜分解 2.5.1對稱算子 2.5.2自伴算子的譜分解 2.5.3自伴算子的譜 2.5.4緊自伴算子 第3章對稱算子的自伴擴張及其譜 3.1對稱算子的擴張 3.1.1問題的提出 3.1.2對稱算子的虧子空間和虧指數(shù) 3.1.3Cayley變換 3.1.4共軛算子的定義域 3.1.5Neumann公式 3.1.6對稱算子的對稱擴張的描述 3.1.7舉例 3.2對稱算子的擴張算子的譜 …… 第4章C—對稱算子和C—自伴算子 第5章J—對稱算子和J—自伴算子 第6章非自伴算子的譜分解 第7章二階非自伴微分算子 參考文獻 索引

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   算子的譜理論和譜分析是算子理論的重要研究內(nèi)容，也是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)理論。Hilbert空間中的有界對稱算子理論，以及無界對稱算子的理論已有完備的理論體系，并已將這些理論成果很好地應用到了其他分支，如微分方程和積分方程等理論，很好地解決了現(xiàn)代數(shù)學與現(xiàn)代物理學中的許多重要問題。我們也經(jīng)常碰到一些非對稱問題，最典型的就是J—自伴微分算子。 常微分算子譜理論主要研究自伴和非自伴微分算子的譜及其特征狀態(tài)，也就是研究線性微分算式分別賦予線性邊條件后所生成的算子的譜及其特征狀態(tài)。 當微分算式是對稱算式時，賦予適當?shù)木€性邊條件可以生成對稱微分算子和自伴微分算子，那么，研究這類邊值問題就歸結(jié)為研究對稱和自伴微分算子的譜及其特征，許多線性微分方程邊值問題也可轉(zhuǎn)化為常微分算子理論的研究，從而，產(chǎn)生了經(jīng)典常微分算子理論研究的幾個領(lǐng)域：自伴域（對稱擴張）的描述，對稱微分算子虧指數(shù)理論，微分算子的譜理論。 在研究線性微分方程邊值問題時，人們碰到大量的非自伴和非對稱問題，如對稱微分算式賦予非對稱和非自伴的線性邊條件所產(chǎn)生的算子問題，或者非對稱微分算式賦予適當?shù)木€性邊條件所產(chǎn)生的算子問題，不論是哪種情形，都沒有類似自伴算子的完善理論框架來應用到這些算子上，對于對稱微分算式賦予非對稱和非自伴的線性邊條件所產(chǎn)生的特殊算子，第6章將研究幾類特殊情形，而非對稱微分方程賦予適當?shù)木€性邊條件所產(chǎn)生問題非常廣泛，但我們發(fā)現(xiàn)了一類“類似”對稱和自伴的微分邊值問題，即J—對稱和J—自伴（復對稱和復自伴或稱為C—對稱和C—自伴）微分邊值問題，針對這類型微分邊值問題所生成的J—對稱和J—自伴微分算子，也有對應的J—自伴域（J—對稱擴張）的描述、虧指數(shù)理論和譜理論。 經(jīng)典常微分算子理論采用算子方法和分析方法相結(jié)合的手段進行研究，算子方法是建立在完善的對稱算子擴張理論和自伴算子譜理論的基礎(chǔ)上，研究J—對稱和J—自伴微分算子也需要相應的J—對稱算子的擴張理論和J—自伴算子譜理論，在此前提下，人們自然要研究更一般的且具有類似性質(zhì)的算子的特性。 本章重點研究非對稱算子中的和對稱算子在某些方面具有類似特點的一類算子C—對稱算子和C—自伴算子，這類算子在實際問題中存在。

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《線性算子譜理論及其應用》適合于基礎(chǔ)數(shù)學、應用數(shù)學以及相關(guān)專業(yè)的理工科研究生閱讀，可供專門從事泛函分析、線性算子譜理論、微分算子理論研究的數(shù)學研究人員使用，也可供微分方程、非線性科學和量子力學等領(lǐng)域的科研及教學人員參考。

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