變分方法的理論及應用

內容概要

《變分方法的理論及應用》由宋叔尼和張國偉編著，本書第1～5章是變分方法所需要的泛函分析基礎內容；第6章主要介紹了相互等價的Ekelancl變分原理Caristi不動點定理，側重于變分原理與不動點理論之間的關系；第7～8章是Sobolev空間和Banach空間中微分學的基本知識，同時討論了Poisson方程與泛函極值問題的互相轉化；第9～10章的重點是臨界點理論和泛函極值問題，分別用Ekelanal變分原理和下降流線方法給出了著名的山路定理，應用山路定理和最小作用原理研究二階半線性橢圓方程邊值問題，同時包括與單調梯度映射相關的變分方法；最后第11章致力于變分方法在具體工程問題中的應用。
《變分方法的理論及應用》的內容適用于數學類相關研究人員、研究生和高年級本科生閱讀，也可供相應的工程類研究人員參考。

書籍目錄

前言
第1章 度量空間的完備性與緊性
 1.1 完備的度量空間與壓縮映射原理
 1.2 空間的完備化
 1.3 緊性與可分性
第2章 賦范線性空間
 2.1 Banach空間
 2.2 Hilbert空間
第3章 線性算子與線性泛函
 3.1 有界線性算子
 3.2 Baire綱定理和Banach逆算子定理
 3.3 閉圖像定理與共鳴定理
 3.4 Hahn_Banach定理和Riesz表示定理
第4章 自反空間、共軛算子和弱收斂
 4.1 自反空間
 4.2 共軛算子
 4.3 弱收斂和弱*收斂
第5章 Fredholm理論和譜論初步
 5.1 緊線性算子
 5.2 Fredholm定理
 5.3 有界線性算子的譜
 5.4 實Hilbert空間中對稱緊線性算子的譜
第6章 Ekeland變分原理與不動點定理
 6.1 Ekeland變分原理與Caristi不動點定理
 6.2 緊算子的不動點
第7章 Sobolev空間與Poisson方程的變分方法
 7.1 弱導數與Sobolev空間
 7.2 Poisson方程的變分方法
 7.3 Laplace算子的特征值
 7.4 一維Laplace算子
第8章 Banach空間中的微分
 8.1 G微分與F微分
 8.2 高階微分
 8.3 隱函數定理和反函數定理
 8.4 Riemann積分
 8.5 Banach空間中的微分方程
第9章 臨界點理論及應用
 9.1 能量泛函與臨界點
 9.2 山路定理及其應用
 9.3 最小作用定理及其應用
 9.4 下降流線與Minimax定理
第10章 泛函的極值與單調梯度映射
 10.1 梯度映射
 10.2 弱下半連續(xù)泛函
 10.3 泛函的極值與臨界點
 10.4 單調梯度映射
第11章 變分方法在工程中的應用
 11.1 剛塑性可壓縮材料模型
 11.2 總能耗率泛函
 11.3 熱軋過程總能耗率泛函極值點的存在與唯一性
 11.4 熱軋問題的逼近可解性
參考文獻

編輯推薦

　　《變分方法的理論及應用》變分方法是非線性分析的重要部分之一，起源于J.BernotJlli提出的最速下降線問題，目前已經成為解決某些數學物理和工程問題的基本方法。它的主要內容包含著兩個相反的方面，一方面是研究泛函的極值或極值點，轉化為求解微分方程（即相應的Euler方程）問題；另一方面是研究具有變分結構的微分方程，轉化為求泛函的極值點或臨界點（即可微泛函導數值為零的點）。

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