狹義相對(duì)論和量子理論一元化表述

內(nèi)容概要

《狹義相對(duì)論和量子理論一元化表述》論述狹義相對(duì)論和量子理論的一元化問(wèn)題。由雙曲復(fù)數(shù)建立起一類Minkowski復(fù)空間，分析雙曲復(fù)空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)，賦予四維復(fù)空間度量公理和泛函分析結(jié)構(gòu)，抽象出一類廣域Hilbert相空間。以廣域Hilbert相空間作為狹義相對(duì)論和量子力學(xué)的共同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以討論狹義相對(duì)論、經(jīng)典量子力學(xué)、相對(duì)論量子力學(xué)以及場(chǎng)論的物理內(nèi)容。
《狹義相對(duì)論和量子理論一元化表述》可作為數(shù)學(xué)、物理以及相關(guān)專業(yè)本科生選修課教科書(shū)以及研究生專業(yè)基礎(chǔ)課教材，也可作為數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域科研人員的參考書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

于學(xué)剛，天津商學(xué)院理學(xué)院教授。從1986年開(kāi)始研究Clifford（幾何）代數(shù)及其在理論物理中的應(yīng)用，在雙曲復(fù)函、多拓?fù)?、非歐幾何、相對(duì)論及量子力學(xué)等學(xué)科作了一些探索性的工作。現(xiàn)已在國(guó)內(nèi)、外專業(yè)刊物上發(fā)表學(xué)術(shù)論文近30篇。三次獲得吉林省教委科學(xué)基金資助。在天津商學(xué)院得到引進(jìn)人才科研啟動(dòng)基金資助。

書(shū)籍目錄

前言第一部分 狹義相對(duì)論和量子理論的基礎(chǔ)關(guān)聯(lián)第一章 多復(fù)變函數(shù)1.1 雙曲復(fù)數(shù)與二維坐標(biāo)變換1.2 橢圓復(fù)數(shù)與二維坐標(biāo)變換1.3 兩類復(fù)時(shí)平面的幾何關(guān)聯(lián)1.4 圓錐復(fù)數(shù)及其性質(zhì)1.5 建立圓錐復(fù)數(shù)的意義第二章 四維坐標(biāo)變換的普遍形式2.1 兩類四維復(fù)矢量2.2 雙曲復(fù)時(shí)空變換的普遍形式2.3 橢圓復(fù)時(shí)空變換的普遍形式2.4 四維時(shí)空性質(zhì)的討論第三章 相對(duì)論效應(yīng)的幾何詮釋3.1 Minkowski復(fù)時(shí)空中的物理事件3.2 時(shí)間箭頭的正定性3.3 同時(shí)的相對(duì)性和類空區(qū)的物理性3.4 時(shí)脹、尺縮及時(shí)序問(wèn)題3.5 光的Doppler效應(yīng)第四章 運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)4.1 四維雙曲速度4.2 速度的合成4.3 慣性系中的加速度4.4 非慣性系中的加速度4.5 四維雙曲動(dòng)量4.6 四維橢圓動(dòng)量4.7 Minkowski空間的橢圓四元數(shù)4.8 四維力與運(yùn)動(dòng)方程第五章 分析力學(xué)和連續(xù)體力學(xué)5.1 第一類雙曲型Lagrangian函數(shù)5.2 第二類雙曲型Lagrangian函數(shù)5.3 質(zhì)點(diǎn)組中Poisson括號(hào)與Liouville定理5.4 雙曲連續(xù)方程5.5 連續(xù)運(yùn)動(dòng)方程與能量張量第六章 Minkowski時(shí)空性質(zhì)分析6.1 客體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與時(shí)空性質(zhì)關(guān)聯(lián)6.2 Minkowski復(fù)空間的經(jīng)典近似6.3 Minkowski復(fù)空間的分立結(jié)構(gòu)6.4 四維時(shí)空的物態(tài)關(guān)系6.5 物態(tài)變換的哲學(xué)詮釋第七章 量子力學(xué)基本原理的幾何詮釋7.1 量子特征與時(shí)空格式化的對(duì)應(yīng)關(guān)系7.2 Compton效應(yīng)的幾何解釋7.3 對(duì)de Broglie關(guān)系的質(zhì)疑7.4 對(duì)Einstein-de Broglie關(guān)系的修正7.5 微觀客體能量、動(dòng)量的幾何關(guān)聯(lián)7.6 量子干涉的幾何背景7.7 不確定關(guān)系的因果表述第八章 態(tài)函數(shù)的幾何表述8.1 Hilbert空間中微觀客體的因果表述8.2 四維間隔不變量和不確定關(guān)系8.3 間隔不變量與本征函數(shù)的幾何關(guān)聯(lián)8.4 態(tài)函數(shù)的個(gè)體決定性和整體統(tǒng)計(jì)性8.5 電子雙縫衍射的因果性和統(tǒng)計(jì)性8.6 態(tài)函數(shù)的物理詮釋8.7 對(duì)態(tài)疊加原理的質(zhì)疑8.8 量子統(tǒng)計(jì)與經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的區(qū)別與聯(lián)系8.9 雙曲態(tài)函數(shù)的表述形式第九章 量子詮釋的統(tǒng)計(jì)性和因果性9.1 量子詮釋的傳統(tǒng)理論9.2 對(duì)量子詮釋的思考9.3 也論Schr?dinger貓9.4 態(tài)函數(shù)中的隱變量9.5 態(tài)函數(shù)的幾率詮釋和因果詮釋9.6 找回Einstein不擲色子的“上帝”第十章 四維時(shí)空理論的和諧性與完備性10.1 時(shí)空相格間的不變量10.2 時(shí)間量子化10.3 時(shí)間算符和能量算符10.4 四維時(shí)空理論的和諧性與完備性10.5 狹義相對(duì)論與量子力學(xué)基礎(chǔ)關(guān)聯(lián)的哲學(xué)解釋第十一章 經(jīng)典量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述11.1 Minkowski空間的Schr?dinger粒子11.2 雙曲型Schr?dinger方程11.3 Dirac算符與幺正變換11.4 非交換代數(shù)與對(duì)易關(guān)系11.5 角動(dòng)量的共同本征態(tài)11.6 中心力場(chǎng)與氫原子11.7 磁場(chǎng)中的粒子與正常Zeeman效應(yīng)第十二章 雙曲型Dirac波動(dòng)方程12.1 二維復(fù)平面中的Dirac波動(dòng)方程12.2 四維雙曲型Dirac波動(dòng)方程12.3 雙曲Dirac方程的遍歷性12.4 雙曲型Dirac方程與傳統(tǒng)Dirac方程的對(duì)比分析12.5 雙曲Dirac方程的協(xié)變性12.6 對(duì)Dirac方程協(xié)變性的討論12.7 四維橢圓復(fù)矢量的坐標(biāo)變換12.8 Dirac方程的二維雙曲平面波解第十三章 反粒子和反物質(zhì)13.1 電流與電荷的共軛變換13.2 Minkowski復(fù)空間中的正、反粒子13.3 Klein-Gordon方程的復(fù)合性質(zhì)13.4 再論正、反粒子態(tài)函數(shù)的幾何詮釋13.5 Dirac負(fù)能“?！钡奶接?3.6 橢圓復(fù)數(shù)和正、反粒子13.7 論反物質(zhì)第十四章 四維動(dòng)量空間的物質(zhì)性14.1 Dirac正、反粒子的本征方程14.2 質(zhì)量間隙、中微子以及Higgs粒子14.3 四維空間中厄米算符本征函數(shù)的正交性14.4 質(zhì)量重整化14.5 能量和質(zhì)量轉(zhuǎn)換關(guān)系14.6 質(zhì)能關(guān)系和結(jié)合能的幾何解釋第十五章 粒子的作用量原理15.1 粒子的作用量方程15.2 質(zhì)量積分的幾何詮釋15.3 類光粒子的作用量方程15.4 Dirac旋量方程與Lagrangian函數(shù)15.5 電磁場(chǎng)中Dirac粒子的作用量方程15.6 標(biāo)量粒子的作用量方程第十六章 Yang-Mills方程和Maxwell方程的幾何表述16.1 帶質(zhì)量項(xiàng)的Yang-Mills方程16.2 強(qiáng)相互作用和電磁相互作用的統(tǒng)一方程16.3 Maxwell方程組16.4 Minkowski復(fù)空間的Feynman圖16.5 對(duì)Maxwell方程性質(zhì)的分析16.6 橢圓型Yang-Mills方程和Maxwell方程第十七章 強(qiáng)相互作用方程17.1 強(qiáng)電統(tǒng)一方程的矩陣形式17.2 強(qiáng)相互作用方程17.3 強(qiáng)相互作用方程的性質(zhì)分析17.4 橢圓型強(qiáng)相互作用方程17.5 四維作用力第二部分 Minkowski幾何的基本原理第十八章 高維超復(fù)數(shù)18.1 數(shù)學(xué)家W.K.Clifford和Clifford幾何代數(shù)簡(jiǎn)介18.2 Clifford矢量算法18.3 平面矢量的分解和映射18.4 三維空間矢量的性質(zhì)18.5 Hamilton四元數(shù)和雙曲四元數(shù)18.6 Cayley八元數(shù)和Dirac十六元數(shù)第十九章 群表示和四維單位球19.1 雙曲復(fù)空間坐標(biāo)變換的群表示19.2 橢圓復(fù)空間坐標(biāo)變換的群表示19.3 γμ旋量代數(shù)與群表示19.4 三維時(shí)空的單位球19.5 四維球諧函數(shù)和單位球19.6 四維球的面積和體積第二十章 Minkowski復(fù)空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)20.1 Minkowski復(fù)平面的對(duì)稱性與半線性空間20.2 Minkowski復(fù)平面的奇異性20.3 Minkowski幾何代數(shù)第二十一章 擬、虛度量與廣域Hilbert空間21.1 廣域內(nèi)積空間21.2 擬、虛度量和線性賦范空間21.3 擬、虛度量空間的相互關(guān)聯(lián)21.4 擬、虛度量空間的完備性和連續(xù)性21.5 廣域Hilbert空間21.6 Hilbert空間的對(duì)比分析第二十二章 廣域空間的多拓樸22.1 廣域空間的鄰近關(guān)系與局部性質(zhì)22.2 廣域開(kāi)集22.3 多拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)22.4 廣域拓?fù)涞姆诸惡蛻?yīng)用第二十三章 四維復(fù)空間的微積分及特殊函數(shù)23.1 雙曲復(fù)函數(shù)的極限和連續(xù)23.2 廣域函數(shù)的微積分23.3 雙曲廣域的Cauchy-Riemann方程23.4 Euclidean復(fù)空間的Cauchy-Riemann方程23.5 Minkowski復(fù)空間的Fourier變換23.6 Euclidean復(fù)空間的Fourier變換23.7 廣域Hilbert相空間的δ函數(shù)第二十四章 張量分析與算符表示24.1 逆變張量和協(xié)變張量24.2 四維矢量的梯度、散度和旋度24.3 逆(協(xié))變張量的性質(zhì)24.4 雙曲函數(shù)的算符表示24.5 橢圓函數(shù)的算符表示第二十五章 四維數(shù)學(xué)物理方程25.1 Minkowski空間的Laplace方程25.2 四維Laplace方程的解25.3 四維雙曲型Legendre方程和Bessel方程25.4 四維雙曲Legendre方程的解25.5 橢圓型Legendre方程和Bessel方程參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：第一章 多復(fù)變函數(shù)虛單位i（i2＝-1，i≠±1，i*＝-i）的引入，解決了-1開(kāi)方的問(wèn)題，同時(shí)它也是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充。虛單位i現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理及工程等各個(gè)領(lǐng)域，在現(xiàn)代物理特別是量子力學(xué)中，粒子態(tài)函數(shù)的相位以及用非質(zhì)點(diǎn)相格表示的微觀粒子間的干涉、衍射等都與復(fù)數(shù)的性質(zhì)密不可分。但是，英國(guó)數(shù)學(xué)家WilliamK。Clifford（1845～1879）和德國(guó)數(shù)學(xué)家E．Study（1862～1930）又分別引進(jìn)了兩種虛單位j（j2＝1，j≠±1，j*＝-j）和k（k2＝0，k≠0，k*＝-k），它們同樣是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充。值得關(guān)注的是，并列的三套復(fù)數(shù)具有何種性質(zhì)，怎樣的相互關(guān)聯(lián)，應(yīng)用于哪些領(lǐng)域，是否可替代現(xiàn)有的數(shù)學(xué)框架和物理基礎(chǔ)，是需要討論和解決的問(wèn)題。1.1 雙曲復(fù)數(shù)與二維坐標(biāo)變換19世紀(jì)70年代英國(guó)數(shù)學(xué)家Clifford引入一種新的虛單位j，有性質(zhì)：j2＝1，j≠±1，j*＝-j（1.1.1）其中，j*為j的復(fù)共軛，j可命名為雙曲虛單位。取H（x，jy）為二維雙曲復(fù)平面，線性關(guān)系式a＝x+jy（1.1.2）式（1.1.2）命名為雙曲復(fù)數(shù)，其中實(shí)數(shù)x和y分別為復(fù)數(shù)a的實(shí)部和虛部。為了使雙曲復(fù)平面與物理時(shí)空相聯(lián)系，取x＝ct，y＝r。若c表示光速，t為時(shí)間，r為一維空間坐標(biāo)，則H（ct，jr）構(gòu)成二維復(fù)平面。與傳統(tǒng)復(fù)數(shù)不同的是，雙曲復(fù)數(shù)的實(shí)部為時(shí)間軸，虛部為空間軸。取時(shí)間為正定的，虛坐標(biāo)空間可以有正、負(fù)之分，這種形式在狹義相對(duì)論和量子力學(xué)中有重要的幾何意義和物理意義，在后續(xù)章節(jié)中會(huì)陸續(xù)討論。式（1.1.2）和其復(fù)共軛可寫(xiě)為a＝ct+jra*＝ct-jr（1.1.3a）（1.1.3b）雙曲復(fù)數(shù)的模R＝am＝a*?a＝c2t2-r2（1.1.4）取c2t2-r2＝±1（1.1.5）式（1.1.5）在圖1.1中給出兩對(duì)雙曲線。由于復(fù)數(shù)的單位模為雙曲線，所以將式（1.1.2）稱為雙曲復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)復(fù)平面稱為雙曲復(fù)平面。當(dāng)R＝0，曲線為式（1.1.5）的漸近線，構(gòu)成的Minkowski空間類光區(qū)或零因子區(qū)將雙曲復(fù)平面分割成四個(gè)區(qū)域。當(dāng)r＜ct時(shí)，為亞光速區(qū)或類時(shí)區(qū)，單位模對(duì)應(yīng)式（1.1.5）中的正號(hào)，是以實(shí)軸ct為對(duì)稱軸的一對(duì)雙曲線。與傳統(tǒng)理論不同的是，類時(shí)區(qū)的上、下光錐由左、右光錐所取代，如時(shí)間是正定的，整個(gè)類時(shí)區(qū)均為未來(lái)時(shí)的定義區(qū)域。當(dāng)r＞ct時(shí)，為超光速區(qū)或類空區(qū)，單位模對(duì)應(yīng)式（1.1.5）中的負(fù)號(hào)，是以虛軸jr為對(duì)稱軸的一對(duì)雙曲線。當(dāng)r＝ct時(shí)，零模點(diǎn)R＝0，是光速區(qū)或類光區(qū)，在數(shù)學(xué)中也稱為迷向區(qū)。顯然二維雙曲復(fù)平面與Minkowski空間相吻合，命名為雙曲Minkowski空間，簡(jiǎn)稱Minkows唱ki復(fù)空間，它與雙曲復(fù)數(shù)的性質(zhì)具有邏輯上的關(guān)聯(lián)。在雙曲復(fù)平面的類時(shí)區(qū)，設(shè)雙曲復(fù)數(shù)a相對(duì)于實(shí)軸ct的輻角為φ＝arcthrct（1.1.6）其中，r＝Rshφct＝Rchφ（1.1.7）雙曲復(fù)數(shù)式（1.1.2）可寫(xiě)成雙曲函數(shù)和雙曲指數(shù)形式a＝R（chφ+jshφ）＝Rejφ（1.1.8）其中，ejφ＝Σ￥n＝0（jφ）nn！＝chφ+jshφ（1.1.9）而chφ＝ejφ+e-jφ2＝1+φ22！+φ44！+…（1.1.10a）shφ＝ejφ-e-jφ2j＝φ+φ33！+…（1.1.10b）式（1.1.9）和（1.1.10）稱為雙曲Euler方程。當(dāng)R＝1時(shí)有關(guān)系：ch2φ-sh2φ＝c2t2-r2＝1（1.1.11）是與式（1.1.5）中的正號(hào)相對(duì)應(yīng)的雙曲線方程。規(guī)定雙曲復(fù)數(shù)的加法為實(shí)部與虛部分別相加，構(gòu)成新的雙曲復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：a1+a2＝（ct1+jr1）+（ct2+jr2）＝c（t1+t2）+j（r1+r2）（1.1.12）同理，規(guī)定雙曲復(fù)數(shù)的乘法規(guī)則是按多項(xiàng)式的交叉積運(yùn)算：a1?a2＝（ct1+jr1）?（ct2+jr2）＝（c2t1t2+r1r2）+jc（t1r2+t2r1）（1.1.13）由式（1.1.6），令r＝vt，滿足v＜c，有thφ＝shφchφ＝vc（1.1.14）取兩坐標(biāo)系H（ct′，jr′）與H（ct，jr）相互間作映射變換。令H（ct，jr）中的單位雙曲復(fù)數(shù)am＝chφ+jshφ（1.1.15）作為式（1.1.13）的特例，滿足映射關(guān)系式a′＝am?a（1.1.16）將a′和a分別代入式（1.1.3a），得ct′＝ctchφ+rshφr′＝ctshφ+rchφ（1.1.17）由式（1.1.11）和（1.1.14）導(dǎo)出chφ＝1-v2c2-12＝1α（1.1.18）其中α＝1-v2c212稱為相對(duì)論因子，代入式（1.1.17），給出Lorentz變換r′＝1α（r+vt）t′＝1αt+vc2r（1.1.19）將-v替換v，給出Lorentz逆變換r＝1α（r′-vt′）t＝1αt′-vc2r′（1.1.20）在超光速區(qū)或類空區(qū)設(shè)雙曲復(fù)數(shù)a相對(duì)于虛軸jr的輻角為＝arcthctr（1.1.21）取r＝Rchct＝Rsh（1.1.22）雙曲復(fù)數(shù)式（1.1.2）可寫(xiě)成雙曲函數(shù)和雙曲指數(shù)形式a＝R（sh+jch）＝j(luò)Rej（1.1.23）將式（1.1.9）和（1.1.10）中的φ換成，雙曲Euler方程同樣成立。當(dāng)R＝1時(shí)，有關(guān)系sh2-ch2＝c2t2-r2＝-1（1.1.24）是與式（1.1.5）中的負(fù)號(hào)相對(duì)應(yīng)的雙曲線方程。類空區(qū)的乘積運(yùn)算同樣滿足式（1.1.13）和（1.1.16）。由式（1.1.21），令th＝shch＝cv（1.1.25）其中，v＞c，取H（ct，jr）中的單位雙曲復(fù)數(shù)am＝sh+jch（1.1.26）有時(shí)空變換關(guān)系r′＝ctch+rshct′＝ctsh+rch（1.1.27）由式（1.1.21）和（1.1.24）導(dǎo)出sh＝v2c2-1-12＝1α-（1.1.28）其中，α＝v2c2-112，將式（1.1.28）代入式（1.1.27）給出雙曲復(fù)平面超光速區(qū)的時(shí)空變換關(guān)系式r′＝1α（r+vt）t′＝1αt+vrc2（1.1.29）

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