醫(yī)用高等數學

內容概要

本教材包含一元函數微積分、多元函數微積分、概率論基礎、線性代數初步等幾個部分。一元函數微積分部分以極限、連續(xù)、微分、積分為主線展開討論，（常）微分方程本質上也是一元函數的積分；多元函數微積分部分在簡單介紹空間解析幾何知識的基礎上，以二元函數為對象，介紹極限與連續(xù)、偏導數與全微分、極值、二重積分等知識；概率論部分，在介紹了事件與概率等基本概念之后，以古典概型為基礎，講述概率的加法與乘法公式，進而討論了常見隨機變量的概率分布及其數字特征；線性代數部分，主要講述行列式的性質與運算、矩陣的初等變換、線性方程組的解等內容。
本教材可供基礎、臨床、預防、口腔等醫(yī)學類專業(yè)及藥學各專業(yè)使用，也可供相關教學及研究人員參考。

作者簡介

熊安明、葛琳、劉智、劉濤、洪俊田

書籍目錄

第一章 函數與極限第一節(jié) 函數第二節(jié) 極限第三節(jié) 函數的連續(xù)性習題一第二章 導數與微分第一節(jié) 導數的概念第二節(jié) 函數的求導法則第三節(jié) 高階導數第四節(jié) 隱函數及由參數方程所確定的函數的導數第五節(jié) 微分習題二第三章 導數的應用第一節(jié) 微分中值定理 洛必達法則第二節(jié) 函數的單調性與極值第三節(jié) 函數曲線的凹凸性與拐點第四節(jié) 函數圖形的描繪習題三第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理函數的積分習題四第五章 定積分的概念與性質第一節(jié) 定積分的概念和性質第二節(jié) 微積分基本公式第三節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法第四節(jié) 定積分的應用第五節(jié) 反常積分習題五第六章 微分方程基礎第一節(jié) 微分方程的基本概念第二節(jié) 一階微分方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程第四節(jié) 二階常系數線性齊次微分方程第五節(jié) 微分方程在醫(yī)學上的應用習題六第七章 多元函數微積分第一節(jié) 極限與連續(xù)第二節(jié) 偏導數與全微分第三節(jié) 多元復合函數與隱函數的偏導數第四節(jié) 多元函數的極值第五節(jié) 二重積分習題七第八章 概率論基礎第一節(jié) 隨機事件與概率第二節(jié) 概率基本公式第三節(jié) 隨機變量及其概率分布第四節(jié) 隨機變量的數字特征習題八第九章 線性代數初步第一節(jié) 行列式第二節(jié) 矩陣第三節(jié) 矩陣的初等變換第四節(jié) 線性方程組解的結構第五節(jié) 特征值與特征向量習題九習題參考答案附錄1 泊松分布P(ξ=m)=λm/m!e-λ的數值表附錄2 正態(tài)分布函數Φ(x)=1/2π∫x-∞e-t2/2dt的數值表

章節(jié)摘錄

第一章 函數與極限函數描述變量之間的關系，它是對運動變化的客觀事物間數量關系的抽象概括．極限刻畫變量的變化趨勢，采用極限方法研究函數是高等數學與初等數學的本質區(qū)別．本章主要內容包括函數、極限和函數連續(xù)性等基本概念，以及它們的主要性質．第一節(jié)  函　  數一、函數的概念1．常量與變量在某一變化過程中可能會遇到各種不同的量，其中有的量始終保持同一數值，稱為常量；有的量可以取不同的數值，稱為變量．一個量是常量還是變量是相對的，即它取決于具體的變化過程．例如，重力加速度這個物理量，如果研究的是某地自由落體的運動屬性，則視它為常量；如果研究的是這個物理量本身（與地球位置的關系），則視它為變量．2．函數的概念設x，y是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量x的每一個允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量y總有一個確定的值與之對應，則稱y為x的函數．記為y＝f（x）．變量x稱為自變量，變量y稱為因變量．自變量x允許值的集合稱為函數的定義域，如果x0是函數定義域中的一點，也說成函數f（x）在x0有定義，且把它對應的因變量的值稱為函數值，記為f（x0）或y|x＝x0，即y|x＝x0＝f（x0），所有函數值的集合稱為函數的值域．對應法則和定義域是函數概念中的兩大要素，只有當二者完全相同時才認為兩個函數是相同的函數．根據具體的情況，對應法則即函數關系，可以使用解析式、圖像、表格等表示．二、初等函數  分段函數1．基本初等函數冪函數 y＝xa （a∈R）；指數函數　  y＝ax （a＞0，a≠1）；對數函數　  y＝logax（a＞0，a≠1）；三角函數　  y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx等；反三角函數  y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx，y＝arccotx等．這五種基本初等函數再加上常數函數y＝C（C為常數）統(tǒng)稱為基本初等函數．2． 復合函數設y＝f（u）是變量u的基本初等函數，而u＝φ（x）是變量x的基本初等函數，如果變量x取某些值時，相應地u使y有定義，則稱y是x的復合函數，記為y＝f［φ（x）］．變量u稱為中間變量．例1  設y＝lgu，u＝arccosv，v＝x+1，寫出y關于x的復合函數．解  通過對u，v依次進行變量代換知，y關于x的復合函數是y＝lgarccos（x+1），其定義域為［-2，0）．例2  設f（x）＝x2 ，  g（x）＝x 1+1 ，試求f［f（x）］，f［g（x）］，g［f（x）］，g［g（x）］．解  f［f（x）］＝［f（x）］2 ＝ x4；f［g（x）］＝［g（x）］2 ＝ x 1+1 2；g［f（x）］＝1+1 f （x）＝ x21+1 ；1 x +1 g［g （x）］＝g（x）+1＝ x +2 ． 注意：如果兩個函數復合而成的函數的定義域為空集，則此復合函數無意義（或稱它們不能復合）．例如，y＝lnu，u＝sinx-1，因任意x都使得u＝sinx-1≤0，lnu無意義，它們不能復合．例3  將下列復合函數分解為簡單函數．（1）y＝lnsin（x2 -1）；（2）y＝asin（bx+c）+1+ b eax ．解  （1）函數由y＝lnu，u＝sinv，v＝x2 -1復合而成，由sinv＞0知，2kπ＜x2 -1＜（2k+1）π，即2kπ+1＜x＜（2k+1）π+1，  （k＝0，1，2，3，.）．（2）整體上不是一個復合函數，它是y＝y(tǒng)1+y2兩個復合函數的和．函數y1＝asin（bx+c），由y1＝asinu1，u1＝bx+c復合而成．函數y2＝1+ b eax ，由y2＝ub 2，u2＝1+ev ，v ＝ ax 復合而成．3． 初等函數由基本初等函數經過有限次四則運算或復合所得到的僅用一個解析式表達的函數，稱為初等函數．例如，y＝x3+ ln x +x2+1，y＝xtanx+sin（ex + 1） 等都是初等函數．4．分段函數有些函數，自變量x在定義域的不同區(qū)間段內取值時，需要用到不同的解析式，這種需要由幾個初等函數才能表達的函數稱為分段函數．例如，絕對值函數xx≥0，y ＝ | x| ＝-xx＜0；符號函數1 x ＞ 0， y ＝ sgn x ＝0x＝0，-1x＜0；它們都不能用一個解析式描述．分段函數一般不屬于初等函數．求值時要注意根據自變量的值選擇相應的解析式．例4  設函數|sinx||x|＜π，3φ（x）＝0 | x| ≥ π．3求φ 6π ，φ -4π ，φ（-2）．1sin π解  φ6π＝＝；62π2sin -π＝；φ-4 ＝42φ（-2）＝0．三、函數的幾種特性1． 有界性設I是函數f（x）的某個定義區(qū)間，如果存在一個正數M，使對所有的x∈I，恒有|f（x）|≤M，則稱函數f（x）在區(qū)間I內有界，否則稱函數f（x）在I內無界（注：定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間）．例如，tanx在-4π ，+ 4π 內有界，但在-2π ，+ 2π 內無界．2． 單調性設x1，x2是函數f（x）的某定義區(qū)間（a，b）內的任意兩點，且x1＜x2．若f（x1）＜f（x2），則稱f（x）在（a，b）內是單調遞增的；若f（x1）＞f（x2），則稱f（x）在（a2，xb）內是單調遞減的．2例如，在（-∞，+∞）內是單調遞增的；x在（-∞，0）內是單調遞減的，在（0，+∞）內是單調遞增的．3． 奇偶性設函數f（x）的定義域關于原點對稱．對于定義域內的任意x，如果f（-x）＝f（x）恒成立，則稱f（x）為偶函數；如果f（-x）＝-f（x）恒成立，則稱f（x）為奇函數．奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱．例如，x2-x4 ，2x +2-x ，cosx都是偶函數；x3-x5 ，2x -2 -x ，sinx都是奇函數；但x3-x4 ，2x + x2，arccosx都是非奇非偶函數．4． 周期性設x是函數f（x）定義域內的任意一點，如果存在一個正數l，使得f（x+l）也有定義，且等式f（x+l）＝f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數，滿足這個等式的最小正數l稱為函數的最小正周期．例如，sinx，cos2x都是周期函數，它們的最小正周期為2π，π．注意：有界性與單調性是函數的局部特性，而奇偶性與周期性是其整體特性．思考與討論1．下面各組函數是否為相同的函數，為什么？（1）f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx；（2）f（x）＝1，g（x）＝sec2 x-tan2 x ；（3）f（x）＝eln x ，g（x）＝x；（4）f（x）＝arcsinx，g（x）＝π-arccosx．22．下列函數哪些是奇函數？哪些是偶函數？哪些是非奇非偶函數？（1）f（x）＝arctan（sinx）；（2）f（x）＝lg2 x ；（3）f（x）＝lncosx．3．下列函數哪些是周期函數，對于周期函數，指出其周期．（1）y＝arctan（tanx）；（2）y＝xcosx；（3）y＝sin1 ；（4）y＝sin2 x ．x第二節(jié)  極　  限一、極限的概念實際問題會出現這種情況：函數在某點不一定有定義，但自變量無限靠近該點時，函數的變化趨勢卻存在一定規(guī)律性，這種函數變化趨勢的問題，就是極限概念所要描述和解答的問題．對于函數y＝f（x），自變量x的變化趨勢包括其絕對值無限增大（記為x→∞）和其值無限靠近某個常數（記為x→x0）兩種情形，下面分別討論這兩種情況下函數y＝f（x）的變化趨勢．并且討論數列｛an｝當n趨向正無窮大（n→∞）時，an的變化趨勢．1．x →∞ 時函數的極限考察函數f（x）＝1 x 當x→∞時的變化趨勢，如下表．x±1±10±100±1000±10000±100000.→∞±1±0．1±0．01±0．001±0．0001±0．00001.→0f（x）可以看出，當|x|無限增大（即x→±∞）時，函數f（x）＝1 x 無限趨向0．如圖11，觀察｜x｜無限增大時曲線的走向，也說明了這點．定義1  設函數f（x）當｜x｜大于某一正數時有定義，如果｜x｜無限增大時，函數f（x）無限趨向某一常數A，就稱當x趨向無窮大時，函數f（x）以A為極限（或收斂于A），記為lim f（x）＝A  或  f（x）→A（x→∞）．x →∞上述變化趨勢用極限表示就是lim 1 ＝0．如果|x|無限增大時，函數x →∞ xf（x）不趨向某個常數，就稱x→∞時，f（x）的極限不存在（或稱發(fā)散）．極限不存在通常有兩種情形：一是函數值在某個范圍內波動，如函數y＝sin x，當x→∞時，函數值在-1與+1之間波動；一是函數值趨向無窮大，如函數y＝x2，當x→∞時，y無限增大．這種情況我們通常記為lim x2＝∞  或  x2 →∞（x→∞）．x →∞｜x｜無限增大即x→∞，包含x→±∞兩種情形，某些函數不可以籠統(tǒng)地討論．例如，觀察函數arctan x的變化情況，我們發(fā)現lim arctan x ＝ π，  lim arctan x＝-π ．x →+ ∞ 2 x →-∞ 2僅當自變量x沿x軸正方向無限增大（或沿x軸負方向絕對值無限增大）時，函數f（x）無限趨向某常數A，則稱A為函數f（x）的單側極限，……

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