高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）

內(nèi)容概要

《高等數(shù)學(xué) 上冊(cè)》是依據(jù)教育部《經(jīng)濟(jì)管理類數(shù)學(xué)課程教學(xué)基本要求》，針對(duì)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)類、管理類各專業(yè)的教學(xué)實(shí)際編寫的高等數(shù)學(xué)或微積分課程教材。本教材分上、下兩冊(cè)?！陡叩葦?shù)學(xué) 上冊(cè)》是上冊(cè)，內(nèi)容包括函數(shù)、極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分及應(yīng)用。每節(jié)后面配有（A）、（B）兩組習(xí)題及每一章的總習(xí)題，（B）組習(xí)題為滿足有較高要求的讀者配備。題型豐富，梯度難度恰到好處。各章都專設(shè)一節(jié)編入了MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作為講授內(nèi)容。
《高等數(shù)學(xué) 上冊(cè)》適合經(jīng)濟(jì)、管理、部分理工科（非數(shù)學(xué)）、社科、人文等各專業(yè)學(xué)生。

作者簡(jiǎn)介

嚴(yán)培勝、陶前功

書籍目錄

前言第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)1.1 函數(shù)1.1.1 常量與變量 區(qū)間與鄰域1.1.2 函數(shù)的概念1.1.3 函數(shù)的性質(zhì)1.1.4 初等函數(shù)1.1.5 常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)習(xí)題1.11.2 數(shù)列的極限1.2.1 數(shù)列極限的定義1.2.2 數(shù)列極限的性質(zhì)習(xí)題1.21.3 函數(shù)的極限1.3.1 自變量絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)函數(shù)的極限1.3.2 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.3.3 函數(shù)極限的性質(zhì)習(xí)題1.31.4 無(wú)窮小與無(wú)窮大1.4.1 無(wú)窮小1.4.2 無(wú)窮大習(xí)題1.41.5 極限的運(yùn)算法則1.5.1 極限的四則運(yùn)算法則1.5.2 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則習(xí)題1.51.6 極限存在的準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限1.6.1 極限存在的準(zhǔn)則1.6.2 兩個(gè)重要極限習(xí)題1.61.7 無(wú)窮小的比較習(xí)題1.71.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.8.1 函數(shù)連續(xù)性的概念1.8.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)1.8.3 初等函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題1.81.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.9.1 最大、最小值定理與有界性1.9.2 零點(diǎn)定理與介值定理習(xí)題1.9*1.10 MATLAB軟件簡(jiǎn)介與極限計(jì)算1.10.1 MATLAB的窗口環(huán)境1.10.2 基本數(shù)學(xué)運(yùn)算1.10.3 MATLAB符號(hào)運(yùn)算1.10.4 計(jì)算函數(shù)極限習(xí)題1.10小結(jié)總習(xí)題1第2章 導(dǎo)數(shù)與微分2.1 導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1 引例2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.4 左、右導(dǎo)數(shù)2.1.5 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系習(xí)題2.12.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則2.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2.3 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式2.2.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則習(xí)題2.22.3 隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法2.3.3 參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)習(xí)題2.32.4 高階導(dǎo)數(shù)習(xí)題2.42.5 函數(shù)的微分2.5.1 引例2.5.2 微分的概念2.5.3 函數(shù)可微的充要條件2.5.4 微分的幾何意義2.5.5 微分的運(yùn)算法則2.5.6 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用習(xí)題2.52.6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用2.6.1 邊際分析2.6.2 彈性分析習(xí)題2.6*2.7 MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)與利用MATLAB計(jì)算導(dǎo)數(shù)2.7.1 MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)2.7.2 MATLAB計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)習(xí)題2.7小結(jié)總習(xí)題2第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 微分中值定理3.1.1 羅爾中值定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理習(xí)題3.13.2 洛必達(dá)法則3.2.1 0/0型未定式3.2.2 ∞/∞型未定式3.2.3 其他類型的未定式(0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0)習(xí)題3.23.3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性3.3.2 函數(shù)的極值3.3.3 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3.3.4 曲線的漸近線3.3.5 函數(shù)圖形的描繪習(xí)題3.33.4 函數(shù)的最值及其應(yīng)用3.4.1 函數(shù)的最值3.4.2 最值在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例習(xí)題3.4*3.5 MATLAB畫圖與利用MATLAB計(jì)算極值3.5.1 MATLAB作圖3.5.2 MATLAB計(jì)算函數(shù)極值習(xí)題3.5小結(jié)總習(xí)題3第4章 不定積分4.1 不定積分的概念與性質(zhì)4.1.1 原函數(shù)4.1.2 不定積分4.1.3 不定積分的幾何意義4.1.4 不定積分的性質(zhì)4.1.5 基本積分表4.1.6 直接積分法習(xí)題4.14.2 換元積分法4.2.1 第一類換元積分法4.2.2 第二類換元積分法習(xí)題4.24.3 分部積分法習(xí)題4.34.4 有理函數(shù)的積分習(xí)題4.4*4.5 積分表的使用習(xí)題4.5*4.6 利用MATLAB計(jì)算原函數(shù)習(xí)題4.6小結(jié)總習(xí)題4第5章 定積分及應(yīng)用5.1 定積分的概念5.1.1 引例5.1.2 定積分的定義5.1.3 定積分的幾何意義習(xí)題5.15.2 定積分的性質(zhì)習(xí)題5.25.3 微積分基本公式5.3.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)5.3.2 微積分基本公式(牛頓-萊布尼茨公式)習(xí)題5.35.4 定積分的計(jì)算5.4.1 定積分的換元積分法5.4.2 定積分的分部積分法習(xí)題5.4*5.5 定積分的近似計(jì)算5.5.1 梯形法5.5.2 拋物線法習(xí)題5.55.6 廣義積分5.6.1 無(wú)限區(qū)間上的廣義積分5.6.2 無(wú)界函數(shù)的廣義積分5.6.3 Γ函數(shù)習(xí)題5.65.7 定積分的應(yīng)用5.7.1 微元法5.7.2 平面圖形的面積5.7.3 體積5.7.4 平面曲線的弧長(zhǎng)5.7.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用習(xí)題5.7*5.8 利用MATLAB計(jì)算定積分習(xí)題5.8小結(jié)總習(xí)題5參考答案附錄A 初等數(shù)學(xué)中的常用公式附錄B 積分表

章節(jié)摘錄

第1章  函數(shù)、極限與連續(xù)由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了2000 多年的發(fā)展之后進(jìn)入了從形的研究向數(shù)的研究的新時(shí)代，由常量數(shù)學(xué)發(fā)展為變量數(shù)學(xué)，微積分的創(chuàng)立是這一時(shí)期最突出的成就之一。微積分研究的基本對(duì)象是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)。極限是研究函數(shù)的基本方法，連續(xù)函數(shù)則是函數(shù)的一種重要屬性，因而本章是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)。本章主要介紹函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)、數(shù)列與函數(shù)的極限及其基本性質(zhì)、連續(xù)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，為進(jìn)一步學(xué)好函數(shù)的微積分打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。1.1　 函數(shù)1.1.1　 常量與變量  區(qū)間與鄰域1.常量與變量在自然現(xiàn)象或工程技術(shù)中，常常會(huì)遇到各種各樣的量。有一種量，在考察的過(guò)程中始終保持不變，我們把這一類量稱為常量；另一種量，在考察的過(guò)程中是不斷變化的，可以取不同的數(shù)值，我們把這一類量稱為變量。例如，圓周率π 是永遠(yuǎn)不變的量，它是一個(gè)常量；某商品的價(jià)格在一定的時(shí)間段內(nèi)是不變的，所以，在這段時(shí)間內(nèi)它也是常量。又如，一天中的氣溫，工廠在生產(chǎn)過(guò)程中的產(chǎn)量都是不斷變化的量，這些量都是變量。一個(gè)量是常量還是變量，因討論問(wèn)題的不同，可能會(huì)有變化。例如，重力加速度一般情況下可以看做常量，實(shí)際上在不同的地方，重力加速度是不同的，這與所討論問(wèn)題的精確度要求有關(guān)。如果精確度要求不高，把它看做常量；如果精確度要求比較高，就不能把它看做常量了。一般地，常量對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的定點(diǎn)，變量對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)。2.區(qū)間與鄰域集合是表示具有同一種屬性事物的全體。有關(guān)集合的運(yùn)算、集合的表示等方面的基本知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)已有介紹，這里就不一一贅述了。下面介紹高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集及其簡(jiǎn)明表示符號(hào)。任何一個(gè)變量，都有確定的變化范圍，如果變量的變化范圍是連續(xù)的，常用一種特殊的數(shù)集―― 區(qū)間來(lái)表示變量的變化范圍。設(shè)a，b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a ＜ b ，那么（1） 數(shù)集｛ x | a ＜ x ＜ b｝ 稱為開(kāi)區(qū)間，記為（ a，b） ，如圖1。1 1（a）所示；（2） 數(shù)集｛ x | a ≤ x ≤ b｝ 稱為閉區(qū)間，記為［ a，b］ ，如圖1。1 1（b）所示；（3） 數(shù)集｛ x | a ≤ x ＜ b｝ 和｛ x | a ＜ x ≤ b｝ 稱為半開(kāi)區(qū)間，分別記為［ a，b）和（ a，b］ ，如圖1。1 1（c） 、圖1。1 1（d）所示。上述4 個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度都是有限長(zhǎng)的，因此把它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間，a，b 稱為區(qū)間端點(diǎn)， b-a 稱為區(qū)間長(zhǎng)度。除了上述有限區(qū)間外，還有一類區(qū)間稱為無(wú)限區(qū)間，表示為（1） （ a，+ ∞ ） ＝ ｛ x | x ＞ a｝ ，如圖1。1 1（e）所示；［ a，+ ∞ ） ＝ ｛ x | x ≥ a｝ ；（2） （-∞，b） ＝ ｛ x | x ＜ b｝ ，如圖1。1 1（f）所示；（-∞，b］ ＝ ｛ x | x ≤ b｝。（3） （-∞，+ ∞ ）表示全體實(shí)數(shù)集合R。注  - ∞ 和+ ∞ 分別讀作“負(fù)無(wú)窮大” 和“正無(wú)窮大” ，它們不是數(shù)，僅僅是記號(hào)。鄰域是微積分學(xué)中經(jīng)常用到的一個(gè)概念。設(shè)a 和δ 是兩個(gè)實(shí)數(shù)且δ ＞ 0 （δ 通常是指很小的正數(shù)） ，將數(shù)軸上到點(diǎn)a 的距離小于δ 的點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)a 的δ 鄰域，記為U（ a，δ）。即U（ a，δ） ＝ （ a-δ，a + δ） ＝ ｛ x | | x-a | ＜ δ｝圖1。1 2其中，a 稱為鄰域的中心；δ 稱鄰域的半徑，它在數(shù)軸上表示以a 為中心，長(zhǎng)度為2δ 的對(duì)稱開(kāi)區(qū)間，如圖1。1 2 所示。數(shù)集｛ x | 0 ＜ | x-a | ＜ δ｝ 稱為點(diǎn)a 的去心δ 鄰域。記為U。（ a，δ）。1.1.2　 函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義定義1　 設(shè)x 和y 是兩個(gè)變量，D 是R 上的非空數(shù)集，D 到R 的映射f ： D →R 稱為定義在D 上的函數(shù)。即對(duì)任意的x ∈ D ，按照一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f ，在實(shí)數(shù)集R 上有唯一的一個(gè)y 與之對(duì)應(yīng)。通常簡(jiǎn)記作y ＝ f（ x）。x 稱為自變量，y 稱為因變量，x 的取值范圍稱為函數(shù)的定義域（就是本定義中的D）。一般情況下，用Df 表示函數(shù)的定義域。當(dāng)取x ＝ x0 時(shí)，按照對(duì)應(yīng)法則f 有y0 ＝ f（ x0 ） 與之相對(duì)應(yīng)，并稱其為函數(shù)在點(diǎn)x0 處的函數(shù)值；當(dāng)x 在區(qū)域D 上取遍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域，記為Rf。即Rf ＝ ｛ y | y ＝ f（ x），x ∈ Df ｝圖1.1.3表示函數(shù)的方法有三種，即表格法、圖示法、解析法，這在中學(xué)里已經(jīng)學(xué)過(guò)。其中用圖示法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念，即坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集｛ P（ x，y） |y ＝ f（ x），x ∈ Df ｝ 稱為函數(shù)y ＝ f（ x） 的圖形，如圖1。1 3 所示。圖中Rf 表示函數(shù)y ＝ f（ x） 的值域。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。例如，由關(guān)系式x2 + y2 ＝ 1 能確定兩個(gè)變量x 與y 之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如x ＝ 0 時(shí)，相應(yīng)的y 可以等于1 ，也可以等于- 1。其實(shí)它們是y ＝ + 1-x2 ，y ＝-1-x2 這樣兩段函數(shù)，因此該函數(shù)為多值函數(shù)，本教材部分章節(jié)也會(huì)涉及這類函數(shù)。這類函數(shù)只需附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支。例如，本例附加y ＞ 0 ，就可以得到單值分支y ＝ + 1-x2 ，附加y ＜ 0 ，就可以得到單值分支y ＝-1-x2。因而本書中沒(méi)有特別說(shuō)明的函數(shù)，都是指單值函數(shù)。定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系f 是確定函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)要素，如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 和定義域都相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是相同的。例1　 下列各對(duì)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？ 為什么？（1） f（ x） ＝ ln x2，g（ x） ＝ 2ln x ；　?。?） f（ x） ＝ x2，g（ x） ＝ x。解  （1） f（ x）的定義域是Df ＝ （-∞ ，0） ∪ （0，+ ∞ ） ，g（ x） 的定義域Df ＝（0，+ ∞ ） ，兩函數(shù)定義域不同，所以f（ x）與g（ x）不是相同的函數(shù)。（2） f （ x）與g（ x）的定義域都是（-∞，+ ∞ ） ，但當(dāng)x ＜ 0 時(shí)，f（ x） ＞ 0 ，g（ x） ＜ 0 ，即兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以f（ x）與g（ x）不是相同函數(shù)。……

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