小波數(shù)值方法及應(yīng)用

內(nèi)容概要

《小波數(shù)值方法及應(yīng)用》系統(tǒng)地描述了求解偏微分方程的一種高效數(shù)值計算方法——小波數(shù)值解法，分別介紹了求解偏微分方程的單尺度小波方法和自適應(yīng)小波配置法及其在工程上的應(yīng)用?！缎〔〝?shù)值方法及應(yīng)用》總結(jié)了作者近年來應(yīng)用小波數(shù)值方法求解土壤坡面侵蝕模型、Black-Scholes模型、圖像處理模型等方面的科研成果，突出了數(shù)值求解方法自適應(yīng)性的鮮明特色?！缎〔〝?shù)值方法及應(yīng)用》內(nèi)容上力求做到深入淺出、通俗易懂,不僅具有一定的廣度和深度，而且也反映了工程中偏微分方程模型求解的新問題，介紹了學(xué)科前沿的新應(yīng)用成果。
《小波數(shù)值方法及應(yīng)用》第1章系統(tǒng)地描述了“偏微分方程數(shù)值求解方法”的理論體系及工程中應(yīng)用的偏微分方程模型；第2～4章分別介紹了三種區(qū)間插值小波的構(gòu)造方法、基于精細積分技術(shù)的同倫攝動法、求解偏微分方程的小波精細積分法；第5～6章給出其在諸多非線性問題上的應(yīng)用，涉及細溝侵蝕過程模型、圖像降噪模型、圖像分割模型等問題。
《小波數(shù)值方法及應(yīng)用》可供研究領(lǐng)域涉及非線性問題的科學(xué)家、工程師以及應(yīng)用數(shù)學(xué)、圖像處理領(lǐng)域的教師和研究生參考。

書籍目錄

前言第1章 緒論1.1 偏微分方程的小波數(shù)值解法發(fā)展概況1.1.1 偏微分方程的單層小波數(shù)值方法1.1.2 偏微分方程的自適應(yīng)小波方法1.1.3 小波數(shù)值方法中邊界條件的處理1.2 精細積分法的發(fā)展及應(yīng)用1.2.1 指數(shù)矩陣精細算法1.2.2 精細積分法在非線性動力方程求解中的應(yīng)用1.2.3 精細積分法在偏微分方程求解中的應(yīng)用1.2.4 精細積分法在結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)分析中的應(yīng)用1.3 非線性隨機有限元法的發(fā)展概況1.3.1 隨機有限元法1.3.2 非線性方程的線性化1.4 工程中的偏微分方程模型1.4.1 土壤坡面侵蝕模型研究概述1.4.2 Black-Scholes模型1.4.3 圖像處理的偏微分方程方法參考文獻第2章 區(qū)間插值小波的構(gòu)造2.1 插值小波變換的定義2.1.1 小波變換2.1.2 插值小波變換的定義2.2 基于廣義變分原理的擬Shannon區(qū)間小波構(gòu)造2.2.1 擬Shannon區(qū)間小波的構(gòu)造2.2.2 擬Shannon區(qū)間小波中參數(shù)的選擇2.3 基于牛頓插值的動態(tài)區(qū)間小波構(gòu)造2.3.1 區(qū)間插值小波的數(shù)值逼近誤差分析2.3.2 動態(tài)區(qū)間小波的構(gòu)造2.3.3 數(shù)值結(jié)果分析與討論2.4 基于差分的區(qū)間插值小波構(gòu)造2.4.1 區(qū)間插值小波的構(gòu)造原理2.4.2 基于差分的區(qū)間插值小波構(gòu)造2.4.3 數(shù)值實驗結(jié)果分析參考文獻第3章 基于精細積分技術(shù)的同倫攝動法3.1 結(jié)構(gòu)非線性動力方程的精細積分計算3.2 同倫算法的基本原理3.3 基于精細積分的同倫攝動方法3.3.1 基本原理3.3.2 和其他方法的對比3.3.3 改進的漸近數(shù)值方法3.4 數(shù)值算例及討論3.5 小結(jié)參考文獻第4章 求解偏微分方程的小波精細積分法4.1 偏微分方程的區(qū)間小波自適應(yīng)精細積分法4.1.1 非線性偏微分方程的區(qū)間擬Shannon小波空間離散4.1.2 非線性常微分方程組的自適應(yīng)精細時程積分法求解4.1.3 數(shù)值結(jié)果及討論4.1.4 小結(jié)4.2 基于同倫攝動技術(shù)的Burgers方程的小波精細積分算法4.2.1 算法基本原理4.2.2 數(shù)值結(jié)果及討論4.2.3 小結(jié)4.3 求解非線性偏微分方程的自適應(yīng)小波精細積分法4.3.1 基于擬Shannon小波的自適應(yīng)插值基函數(shù)的構(gòu)造4.3.2 偏微分方程的空間自適應(yīng)離散格式4.3.3 數(shù)值結(jié)果和討論4.4 求解非線性Black-Scholes模型的自適應(yīng)小波精細積分法4.4.1 非線性Black-Scholes方程4.4.2 非線性模型的分析及參數(shù)變換4.4.3 基于quasi-Shannon小波的自適應(yīng)插值基函數(shù)的構(gòu)造4.4.4 數(shù)值結(jié)果及討論4.4.5 結(jié)論參考文獻第5章 細溝侵蝕隨機水力模型的小波攝動法分析5.1 細溝侵蝕過程仿真模型5.1.1 基本方程5.1.2 泥沙運移方程5.1.3 不考慮寬度變化時的細溝侵蝕數(shù)學(xué)模型5.1.4 邊界條件和初始條件5.2 細溝侵蝕過程仿真模型小波離散格式5.3 細溝侵蝕過程仿真模型的小波隨機攝動法分析5.3.1 細溝水流深度h5.3.2 細溝水流速度u5.3.3 細溝水流中泥沙濃度c5.3.4 數(shù)值結(jié)果分析參考文獻第6章 二維多尺度小波插值算子的構(gòu)造及應(yīng)用6.1 二元張量積小波分析6.2 二維偏微分方程的小波配置法6.3 任意多邊形區(qū)域上二維偏微分方程的小波配置法6.3.1 虛擬區(qū)域法基本原理6.3.2 數(shù)值實驗6.4 用于隨機振動分析的小波數(shù)值方法6.4.1 FPK方程的離散6.4.2 FPK方程離散形式的求解6.4.3 數(shù)值算例6.5 圖像降噪的小波精細積分方法6.5.1 基于熱傳導(dǎo)方程的圖像降噪6.5.2 精度和效率分析6.6 遙感影像降噪的自適應(yīng)小波精細積分方法6.6.1 quasi-Shannon多層插值小波算法6.6.2 數(shù)值實驗結(jié)果和討論6.6.3 結(jié)束語6.7 改進的CV模型及其在高分辨率遙感影像分割中的應(yīng)用6.7.1 CV模型6.7.2 改進的CV模型6.7.3 實驗結(jié)果與分析6.7.4 結(jié)束語6.8 洋蔥圖像分割小波精細積分法及其對比研究6.8.1 圖像分割的小波精細積分法6.8.2 洋蔥感染區(qū)域分割實驗及討論6.8.3 結(jié)束語參考文獻附錄

章節(jié)摘錄

　　第1章 緒論 1.1 偏微分方程的小波數(shù)值解法發(fā)展概況 偏微分方程數(shù)值解是計算數(shù)學(xué)最活躍的分支之一，應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法是有限元方法（。niteelementmethod，F(xiàn)EM）、有限差分法等[1，2]。在處理非奇異偏微分方程（尤其是橢圓型和拋物型方程）方面，有限元方法可以說是盡善盡美了。但是對奇異情形卻有許多不盡人意之處。例如，在處理奇異情形的最常用方法――局部加密網(wǎng)格法，一般要預(yù)先知道解的奇異程度。小波逼近作為一種求解偏微分方程的潛在的高效數(shù)值計算技術(shù)，已引起人們的廣泛關(guān)注[3～49]。由于小波同時在空域和頻域具有局部化特性，所以當求解在空間域和時間域具有劇烈變化甚至奇異性的問題時，采用小波方法似乎是理想選擇。從已有的文獻來看，用于偏微分方程求解的小波方法可以分為兩大類，一類不具有自適應(yīng)性質(zhì)，可稱之為單尺度或單層小波方法；另一類是自適應(yīng)小波配置法。1.1.1 偏微分方程的單層小波數(shù)值方法 采用小波逼近法求解偏微分方程時，較簡單的方法是直接將小波函數(shù)或小波函數(shù)對應(yīng)的尺度函數(shù)作為試函數(shù)應(yīng)用于傳統(tǒng)的有限元方法中[50～54]。由于小波函數(shù)具有緊支撐性，所以得到的有限元剛度矩陣是帶狀矩陣；如果采用的小波函數(shù)是正交小波（如Daubechies小波），則偏微分方程的小波有限元離散格式中的剛度矩陣是稀疏矩陣，從而使計算速度大大提高。對這種方法來說，小波的選擇非常重要。在20世紀90年代初期，大多數(shù)求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies小波的，Daubechies小波最大的優(yōu)點是同時具有正交性和緊支撐性；其缺點是沒有解析表達式，其導(dǎo)函數(shù)同樣沒有解析表達式，并且求解過程非常復(fù)雜[53～57]，這就使小波方法很難應(yīng)用于高階微分方程的求解中。因此，只有找到一種具有解析表達式同時又具有緊支撐特性的正交小波，這種方法才有意義。由Wei提出的擬Shannon小波[58]雖然不是一種純粹意義上的小波，但它符合插值小波的定義，同時具備緊支撐性和正交性。文獻[59]用這種擬小波求解了方程的解具有很大梯度的一般Burgers方程和修正Burgers方程，計算結(jié)果顯示該小波對數(shù)值求解有局部急劇變化解的非線性偏微分方程問題有巨大潛力。1.1.2 偏微分方程的自適應(yīng)小波方法 自適應(yīng)小波方法能充分發(fā)揮小波變換對信號突變識別的特性，在用自適應(yīng)小波有限元求解偏微分方程時，可大大縮減有限元格式中剛度矩陣的規(guī)模，從而提高計算效率。因此，這種方法是目前研究的熱點。在用小波數(shù)值方法求解偏微分方程時，無法直接使用信號處理中的小波快速變換方法。因此，設(shè)計自適應(yīng)小波數(shù)值方法的關(guān)鍵是構(gòu)造一離散小波變換（DWT），DWT將函數(shù)值映射到小波系數(shù)空間中去，以便通過最終的小波展開式插值得到函數(shù)值。此外，如何在不同大小的網(wǎng)格交界處找到一個穩(wěn)定、精確的插值算子也是構(gòu)造自適應(yīng)算法的難點之一。有關(guān)這方面的論文有很多，其中比較有特色的是Cai[60]和Vasilyev[61]的工作。Cai構(gòu)造的小波變換是基于以下空間H02（I）中的三次樣條區(qū)間小波基[14]：4 φ（x）=N4（x）=61..4j.（.1）j（x.j）3（1.1.1） +，j=0 φb（x）=3x211x3+3（x.1）33（x.2）3（1.1.2） ++，2+.122+.4 其中φ（x）為尺度函數(shù)，φb（x）為邊界尺度函數(shù)。由于該尺度函數(shù)對應(yīng)的小波具有以下點消失矩性質(zhì)：ψj，k（x（kj））=1，ψj，k（x（i））=0，.1.l.ni.2，i.0；1.l.L.1，i=.1，（1.1.3）　l 所以該DWT的計算時間復(fù)雜度僅為O（NlogN），其中N為未知變量的總數(shù)。偏微分方程中的非線性項在物理空間很容易被處理，而這些非線性項的導(dǎo)數(shù)在小波空間非常容易得到。因此，基于此變換構(gòu)造的樣條小波配置法可以處理非線性問題和各種邊界條件。Vasilyev[61]幾乎和Cai同時研究了另外一種求解偏微分方程的自適應(yīng)小波配置方法，提出了處理一般邊界條件的兩種不同方法，這兩種方法都是基于目前研究的小波插值技術(shù)。第一種方法將小波用作基，從而產(chǎn)生了一個差分 代數(shù)方程組，其中部分代數(shù)方程是由邊界條件得出的；第二種方法則利用能夠精確滿足邊界條件的擴展小波，由該方法導(dǎo)出了一組二階差分方程，利用具有小黏滯系數(shù)的一維Burgers方程對該方法進行了驗證，并和由其他數(shù)值代數(shù)方法得到的數(shù)值結(jié)果進行了對比，結(jié)果表明該方法可和最好的數(shù)值代數(shù)方法相媲美。其小波變換是按以下方式定義的：jj，ssj c=.C，0.j.s.J，k∈ZΩ，（1.1.4） kk，mum m∈Zs　Ω 1.1偏微分方程的小波數(shù)值解法發(fā)展概況3 …… 其中 j，s j （Ai，j）.1Δj，s，0.j.s.J，k∈Z k，pp，m （1.1.5），m∈Zs Ω Δj，ssj，jj .i，mum=.Ai，kck，0.j.s.J，m∈Zs Ω C，Ω k，m j p∈Z Ω jΩ （1.1.6） i∈Z，j k∈Z Ω l，jjjΩ l l..0l，jJ，iZ，kZ∈∈Ω （x），（1.1.7） A =ψ，ii，kk .j..1sjJ，iZZ∈∈s，mΩ Ω Aj，j為由（1.1.7）和算子Δj，s定義的（2L.j+Nl+Nr+1）.（2L+j+Nl+Nr+1） i，ki，m 維矩陣，算子Δj，s定義為 i，m ..Rj，sPj，j.1i，m..i，p j.1 Ω Rj.1，sp，m，，Δj，si，m （1.1.8） = p∈Z.0，s .R ..0=00sjJ，iZZ∈∈s，m，Ω Ω l，j 式（1.1.8）中的限制算子Ri，m定義為 lj l，j.1，xi=xm，Ri，m=0，其他.（1.1.9） Vasilyev的工作是針對所有小波函數(shù)的，其通用性好。但從以上變換過程不難看出，這種方法的計算工作量是很大的，如何簡化計算是該方法需要考慮的問題。1.1.3 小波數(shù)值方法中邊界條件的處理 在20世紀90年代初期，大多數(shù)求解偏微分方程的小波逼近算法都是基于Daubechies正交小波在整個實數(shù)域上對平方可積空間L2（R）的小波分解的。在求解有限區(qū)間上的初邊值問題時，其實采用的是零延拓的方法，這必然會帶來可怕的“邊緣效應(yīng)”[36]，如端點的不連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)不連續(xù)性等，使得在端點處，即使用了很精細的尺度，也會有較大的小波系數(shù)。因此，這種方法在解有限區(qū)間上的初邊值問題時帶來了不必要的大量計算，降低了計算效率。周期小波法是將定義在整個實軸上的緊支撐Daubechies型小波或樣條型小波以閉區(qū)間長度為周期將它們周期化而得到一組周期小波。例如，Liandrat等[37]、Lazaar等[38]、Joly等[39]、Qian等[40]構(gòu)造的小波算法都屬于這種情況。這種方法僅能處理周期邊界條件問題，對于更一般的任意邊界條件則無能為力。區(qū)間小波法。1992年，Chui等[41]提出了樣條型區(qū)間小波的概念及其構(gòu)造方法。同年，Meyer提出了Meyer型區(qū)間小波。1994年，Anderson等[42]引入了“WaveletProbing”的概念，從而構(gòu)造出區(qū)間小波。同年，Daubechies[36]提出了Daubechies型i，m，區(qū)間小波的構(gòu)造方法。這些小波在構(gòu)造時必須滿足一定的邊界條件（邊界條件往往由相應(yīng)的偏微分方程實際問題給出），其大致構(gòu)造思路如下：從定義在整個實軸上的Daubechies型緊支集（或樣條型緊支集）小波函數(shù)ψ（x）及相應(yīng)的尺度函數(shù)φ（x）出發(fā)，先保留那些支集本身就在閉區(qū)間內(nèi)部的ψjk和φjk，然后補充閉區(qū)間兩端點處的尺度函數(shù)與小波函數(shù)（這些函數(shù)應(yīng)仍具有伸縮結(jié)構(gòu)，但不再具有平移結(jié)構(gòu)），使得對于每個j.0，保留與補充的尺度函數(shù)共同生成的空間Vj應(yīng)具有遞增性，因而 仍能構(gòu)成一個多分辨分析（MRA）。同時使得保留與補充的尺度函數(shù)能生成一定階的多項式，從而使得相應(yīng)的小波函數(shù)具有同樣階的消失矩，于是這樣定義在閉區(qū)間上的小波仍能刻畫函數(shù)的正則性（或奇異性）。這種區(qū)間小波盡管能精確地滿足邊界條件，但是它的一個致命的缺點是真正從數(shù)值上實現(xiàn)起來非常困難，并且補充的邊界小波依賴于邊界條件，即不同的問題就要重新構(gòu)造一遍；另一個缺點是邊界小波函數(shù)的個數(shù)隨著內(nèi)小波消失矩階數(shù)而變化。例如，若選取消失矩階數(shù)為N的Daubechies型內(nèi)小波，則左、右邊界小波的個數(shù)分別為N和2N。2，所以構(gòu)造起來非常麻煩。因此，在構(gòu)造實際的解偏微分方程的小波逼近格式時，上述區(qū)間小波構(gòu)造方法很少被采納。1.2 精細積分法的發(fā)展及應(yīng)用[62～87] 1.2.1 指數(shù)矩陣精細算法[62～65] 精細積分法（preciseintegrationmethod，PIM）是為了解決結(jié)構(gòu)動力學(xué)計算問題而提出的。當前熟知的結(jié)構(gòu)動力學(xué)時程積分算法包括Newmark法、Wilson-θ法、中心差分法等，都是差分類的算法。精細時程積分法是一種逐步時程積分的精細算法，其核心是對于指數(shù)函數(shù)exp（HΔt）的計算，其中H為給定矩陣。矩陣指數(shù)函?數(shù)應(yīng)用廣泛，其計算被認為是計算數(shù)學(xué)中的一個較難的課題。精細積分算法放棄了通常的差分格式，通過2N運算的思想達到對指數(shù)矩陣的求解，算法簡單且計算精度很高，對于線性定常系統(tǒng)的解答達到了計算機字長范圍內(nèi)幾乎是精確的數(shù)值解。近年來，該算法在計算動力學(xué)問題、最優(yōu)控制問題以及偏微分方程中得到廣泛應(yīng)用。盡管指數(shù)矩陣的精細積分方法簡單實用，但效率和計算精度很高，文獻[64]，[65]還是先后對其作了進一步的完善和發(fā)展。文獻[64]從Shannon采樣定理出發(fā)，對該方法的參數(shù)選擇進行了優(yōu)化，給出了N的簡單選擇公式，并指出實際誤差隨時 間線性增長。文獻[65]則通過改進PSSA（pade-scalingandsquaring-approxmiation） 方法，使之和PIM方法統(tǒng)一起來，在此基礎(chǔ)上改進了PIM方法，從而使用者在應(yīng)用該方法進行實際問題分析時，可不必考慮時間步長的大小，同時還給定了其他參數(shù)的選取數(shù)表。1.2 精細積分法的發(fā)展及應(yīng)用5 …… 1.2.2 精細積分法在非線性動力方程求解中的應(yīng)用[68～72] 精細積分法在非線性問題中的應(yīng)用已有了很大的發(fā)展。在非線性動力學(xué)問題的計算研究中，一直是解析法占主導(dǎo)地位，而直接的數(shù)值積分技術(shù)發(fā)展相對滯后。已有的一些數(shù)值計算方法（如攝動法、多尺度法等）的計算精度一直不能令人滿意，影響其計算精度的主要原因除了非線性方程的線性化精度外，還有線性化方程本身的計算精度問題。文獻[86]率先提出了一種非線性系統(tǒng)精細積分的方法，但未涉及時變參數(shù)系統(tǒng)的計算，其實質(zhì)是將非線性項作非齊次項處理，即假定非齊次項在時間步（tk，tk+1）內(nèi)是線性的，然后就可直接使用文獻[79]給出的非齊次結(jié)構(gòu)動力方程的精細時程積分法求解。文獻[69]，[70]則在此基礎(chǔ)上向前推進了一步，考慮了H中含有時變參數(shù)的情況，敘述如下：針對以下結(jié)構(gòu)動力方程：Mx¨+Gx +Kx=r（t），x（0）=α，x （0）=β，（1.2.1） 其中x為n維向量，M為質(zhì)量矩陣（正定、對稱），G為阻尼矩陣（半正定、對稱） 和陀螺矩陣（反對稱）之和，K為剛度矩陣（半正定、對稱），r（t）為隨時間變化的載荷向量，α和β為已知的初始條件。在哈密頓體系下，根據(jù)哈密頓正則方程，可以將方程（1。2。1）化成如下一階常微分方程組：ν =Hν+f，ν（0）=ν0，（1.2.2） 其中矩陣H為時間t和變量ν的函數(shù)。為了能使用精細積分法，對矩陣H作如下 分解：H（t，ν）=H0+H1（t，ν），（1.2.3） 其中H0為常矩陣。將式（1.2.3）代入方程（1.2.2）有 ν =[H0+H1（t，ν）]ν+f≡H0ν+f.（t，ν）.（1.2.4） …… 以上過程的實質(zhì)就是將方程的非線性部分轉(zhuǎn)化到載荷向量中。顯然，式（1.2.4）可以直接使用文獻[62]中的公式（20）～（24）求解。文獻[72]給出的方法沒有轉(zhuǎn)移非線性部分，而是在[tk。1，tk]區(qū)間內(nèi)認為H （t，ν）=H（tk.1，νk.1）。該近似引起的誤差通過迭代法來校正，增大了計算工作量。1.2.3 精細積分法在偏微分方程求解中的應(yīng)用[78～87] 偏微分方程數(shù)值求解通常用有限差分法、有限元法和邊界元法等。對于拋物型或雙曲型方程的時間坐標，大多采用差分類方法求解。差分法的優(yōu)點是在一個時間步長內(nèi)，對于一個給定點來說，其相關(guān)的空間點只是與該點相鄰的幾點，而不是全部的空間點。也就是說，其對應(yīng)的矩陣具有窄帶寬。有限元方法有同樣的優(yōu)點。精細積分法則走向了另一個極端。求解偏微分方程不必對全部坐標都離散化，對于有時間坐標的定域問題，可以先對空間域用有限元或差分法離散，建立起對時間的常微分方程組，然后對常微分方程組采用精細積分法求解，這是一種半解析法。當空間離散后未知數(shù)非常多時，其計算工作量及存儲占用大量增加，這成為半解析法使用的障礙。差分法具有帶寬小的優(yōu)點，但存在穩(wěn)定性和計算精度方面的問題。為此，鐘萬勰提出了子域精細積分法[79，80]，對不太大的時間步長Δt精度損失不大。因此，子域精細積分法既可以利用精細積分的數(shù)值優(yōu)點，又有帶寬小的好處，從而使精細積分法的應(yīng)用成為可能。文獻[83]針對熱傳導(dǎo)方程分析了子域精細積分的穩(wěn)定性，證明了單點、二點、三點子域精細積分的蛙跳格式都是無條件穩(wěn)定的，而對應(yīng)的差分蛙跳格式則是不穩(wěn)定的。文獻[86]給出了不同差分格式在單內(nèi)點精細積分一般公式中的同一表達，并進行了數(shù)值計算，從計算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)單內(nèi)點精細積分法不如相應(yīng)的最好的差分格式的計算精度高。因此，文獻[82]研究了六點精細積分法及多層精細積分法的截斷誤差及穩(wěn)定性，提出了單內(nèi)點精細積分的改進格式，精度較原格式有較大提高。另外一種適合偏微分方程求解的精細積分方法是子結(jié)構(gòu)精細積分方法[87]。根據(jù)子結(jié)構(gòu)的概念，將結(jié)構(gòu)分成若干個子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)間通過界面的物理量相聯(lián)系，然后對各子結(jié)構(gòu)分別進行指數(shù)矩陣的計算，從而也可以大幅度降低指數(shù)矩陣的運算量和存儲量。該方法主要應(yīng)用于子域選取比較困難的有限元方法。以上算法均以熱傳導(dǎo)方程為例，沒有涉及非線性偏微分方程的求解。1.2.4 精細積分法在結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)分析中的應(yīng)用[73～77] 林家浩和張亞輝首先將精細積分方法和自己提出的虛擬激勵算法相結(jié)合，對受演變隨機激勵結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機響應(yīng)進行了分析[76]。該方法首先采用虛擬激勵法將這類結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為受確定性載荷結(jié)構(gòu)的動力分析初值問題，然后采用精細積分法進行求解。為了進一步提高計算效率，林家浩還針對一些常用的演變隨機激勵調(diào)制函數(shù)，推導(dǎo)了相應(yīng)的精細時程積分格式，并對這些格式進行混合應(yīng)用，從而對于快速交變的虛擬激勵仍可以取很大的時間步長而得到計算機精度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)時變功率譜數(shù)值解。方法簡單，計算效率比傳統(tǒng)的方法有數(shù)量級的提高。張森文和曹開彬針對線性系統(tǒng)的隨機振動提出了精細積分時域平均法[74]。所謂精細積分時域平均法，其基本思想就是利用響應(yīng)的時域平均來計算響應(yīng)的統(tǒng)計特征，而時域平均又是通過高精度的精細積分所求得，故稱為精細積分時域平均法。與傳統(tǒng)的其他離散積分方法，如隨機中心差分方法、隨機紐馬克差分方法等比較，本方法具有非常高的精度和計算效率，特別是能給出速度響應(yīng)方差計算的良好結(jié)果。此外，他們還將李杰提出的隨機擴階系統(tǒng)方法和精細積分法相結(jié)合，……

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　　《小波數(shù)值方法及應(yīng)用》分別介紹了求解偏微分方程的單尺度小波方法和自適應(yīng)小波配置法及其在工程上的應(yīng)用，包括應(yīng)用小波數(shù)值方法求解土壤坡面侵蝕模型、圖像處理模型、Black-Scholes模型等方面的科研成果，突出了小波數(shù)值求解方法自適應(yīng)性的鮮明特色。

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