反常統(tǒng)計動力學導論

內容概要

反常統(tǒng)計動力學導論系統(tǒng)深入地介紹了反常擴散和輸運過程的機制、模型及數(shù)值模擬方法，全書共12章。其內容包括隨機變量和概率分布、演化方程、反常擴散現(xiàn)象、非各態(tài)歷經隨機運動、含非歐姆摩擦的廣義朗之萬方程、連續(xù)時間無規(guī)行走、分數(shù)階微積分、分數(shù)階朗之萬方程、分數(shù)階?？藸?普朗克方程、萊維飛行、非廣延統(tǒng)計力學和數(shù)值算法。用非傳統(tǒng)的模型與方法處理反常現(xiàn)象，例如，引入了分數(shù)階微積分、連續(xù)時間無規(guī)行走等幾個新技術，同時又能過渡到正常擴散；也關注一些新近實驗感興趣的課題，例如，小系統(tǒng)熱力學、老化問題、反常熱傳導等。
反常統(tǒng)計動力學導論力求理論上來龍去脈清楚，基礎與前沿兼顧，包含了作者的研究成果。以助從事隨機動力學的科技人員擴大視野、創(chuàng)建模型，也可供高等學校物理、化學、核科學、生物、系統(tǒng)科學、應用數(shù)學等專業(yè)的本科生和研究生學習熱力學與統(tǒng)計物理、非平衡態(tài)統(tǒng)計物理、隨機過程、數(shù)學選講參考之用。

書籍目錄

前言第1章 隨機變量和概率分布1.1 統(tǒng)計動力學的任務1.2 一般定義1.3 無規(guī)行走、正常擴散1.4 平均1.5 中心極限定理1.5.1 正常中心極限定理1.5.2 寬分布的中心極限定理1.5.3 中心極限定理的物理價值1.6 馬爾可夫過程1.6.1 穩(wěn)定馬爾可夫過程的定義1.6.2 Ornstein-Uhlenbeck過程1.6.3 幾點注意1.7 宏觀過程不可逆性的統(tǒng)計基礎1.7.1 馬爾可夫層級關系1.7.2 概率假設的時間之箭習題第2章 演化方程2.1 從微觀動力學到宏觀分布函數(shù)2.1.1 微觀動力系統(tǒng)2.1.2 海森伯繪景和薛定諤繪景2.2 Chapman-Kolmogorov方程2.2.1 Chapman-Kolmogorov方程的推導2.2.2 兩個簡單的馬爾可夫過程2.3 微分Chapman-Kolmogorov方程2.4 確定性過程和劉維爾方程2.5 跳躍過程和主方程2.6 擴散過程和?？藸?普朗克方程2.7 劉維爾主方程2.8 一些具體的馬爾可夫過程習題第3章 反常擴散現(xiàn)象3.1 寬分布導致超擴散3.1.1 萊維飛行和物理應用3.1.2 洛倫茲氣體中幾何誘發(fā)反常擴散3.1.3 聚合物吸附和自消除萊維飛行3.2 長等待時間誘發(fā)欠擴散3.2.1 晶格上的無規(guī)行走3.2.2 梳狀結構中的擴散3.2.3 間歇動力系統(tǒng)中的反常擴散3.2.4 反常擴散實驗3.3 長程關聯(lián)3.3.1 關聯(lián)的實用性3.3.2 極限分布的形狀3.3.3 幾何關聯(lián)和反常擴散3.3.4 擴散行為3.4 俘獲、位壘和無規(guī)力3.4.1 模型3.4.2 電子和力學問題的等價性3.4.3 隨機場伊辛模型的應用3.5 分數(shù)階布朗運動第4章 非各態(tài)歷經隨機運動4.1 漲落耗散定理與擴散系數(shù)4.2 各態(tài)歷經判據(jù)4.2.1 Brinkhoff判據(jù)4.2.2 Khinchin判據(jù)4.2.3 Lee判據(jù)4.2.4 內在判據(jù)和外在表現(xiàn)4.3 牛頓和朗之萬之間的動力學4.4 彈道擴散4.5 局域化4.5.1 阻尼陷阱4.5.2 氣體分子與固體表面相互作用4.6 外場下的兩類非各態(tài)歷經運動4.6.1 簡諧速度噪聲4.6.2 漸進態(tài)依賴于初始速度準備4.6.3 漸進態(tài)依賴于初始坐標準備4.7 系統(tǒng)加熱庫模型的推廣4.7.1 獨立振子模型4.7.2 FKM模型4.7.3 Rubin模型習題第5章 含非歐姆摩擦的廣義朗之萬方程5.1 二次動力學和老化問題5.1.1 拉普拉斯變換方法5.1.2 非歐姆朗之萬模型中的噪聲和摩擦5.1.3 粒子速度:一次時間特性5.1.4 速度關聯(lián)函數(shù)5.1.5 粒子位移的老化5.1.6 等時關聯(lián)函數(shù)和時間有關的擴散系數(shù)5.2 漲落與耗散之比5.3 傾斜周期勢中的反常輸運5.3.1 動力學模型5.3.2 歐姆阻尼情形下的波包劈裂5.3.3 欠歐姆阻尼情形下的準周期振蕩現(xiàn)象5.3.4 超歐姆阻尼情形下的態(tài)轉換5.4 應用舉例5.4.1 反常熱傳導5.4.2 位壘通過問題5.4.3 棘輪整流反常擴散習題第6章 連續(xù)時間無規(guī)行走6.1 醉漢格子行走6.2 經典無規(guī)行走6.3 時空非馬爾可夫性6.3.1 廣義主方程6.3.2 分布密度函數(shù)6.3.3 非馬爾可夫擴散方程6.4 分數(shù)階擴散方程6.5 關聯(lián)連續(xù)時間無規(guī)行走6.5.1 耦合朗之萬方程6.5.2 標度分析第7章 分數(shù)階微積分7.1 Grünwald-Letnikov分數(shù)階導數(shù)7.1.1 整數(shù)階導數(shù)和積分的統(tǒng)一7.1.2 任意分數(shù)階積分7.1.3 任意分數(shù)階導數(shù)7.1.4 黎曼-劉維爾分數(shù)階導數(shù)7.2 分數(shù)階導數(shù)的性質7.3 舉例7.3.1 從整數(shù)階導數(shù)到分數(shù)階導數(shù)7.3.2 半階導數(shù)和積分7.4 分數(shù)階導數(shù)的拉普拉斯和傅里葉變換7.4.1 拉普拉斯變換7.4.2 傅里葉變換7.5 分數(shù)階常微分和偏微分方程的解析解7.5.1 線性分數(shù)階常微分方程7.5.2 線性分數(shù)階偏微分方程7.6 分數(shù)階微積分的應用7.6.1 分數(shù)階力學7.6.2 分數(shù)階微積分的物理解釋7.6.3 分數(shù)階微積分的實現(xiàn)習題第8章 分數(shù)階朗之萬方程8.1 分數(shù)階振子和分數(shù)階速度8.1.1 分數(shù)階振子動力學8.1.2 總能量和相平面表示8.2 分數(shù)階朗之萬方程的建立8.2.1 一般解8.2.2 α=1/2和α=3/4的例子8.3 過阻尼和欠阻尼的定義8.4 對一個外部信號的響應8.5 金融市場的分數(shù)階朗之萬記憶模型8.5.1 利潤8.5.2 分數(shù)階無規(guī)行走8.5.3 分數(shù)階隨機方程8.6 分數(shù)階統(tǒng)計8.6.1 分數(shù)階朗之萬方程的各種解8.6.2 市場活動作為一個不規(guī)則過程8.7 分數(shù)階資產動力學8.7.1 分數(shù)階隨機動力學模型8.7.2 價格增量漲落分布8.7.3 與現(xiàn)實數(shù)據(jù)的比較習題第9章 分數(shù)階?？藸?普朗克方程9.1 接近熱平衡的反常擴散和弛豫9.2 分數(shù)階?？藸?普朗克方程、解及其應用9.2.1 分數(shù)階?？藸?普朗克方程的引入9.2.2 積分變換法9.3 應用舉例9.3.1 d維分數(shù)階自由擴散9.3.2 偏壓分數(shù)階維納過程9.3.3 分數(shù)階首次通過時間9.4 逆萊維變換與連續(xù)時間無規(guī)行走的關系9.5 分數(shù)階克拉默斯方程9.6 廣義Chapman-Kolmogorov方程9.6.1 布朗運動情況9.6.2 速度變量積分9.6.3 分數(shù)階瑞利方程9.7 捕獲所產生的慢輸運過程9.7.1 分數(shù)階克萊因-克拉默斯方程9.7.2 萊維行走及其推廣:具有萊維型軌道的放大輸運9.7.3 萊維漫游:在小波數(shù)極限下的欠彈道游動9.8 萊維飛行:超越有限矩的隨機運動9.9 評注第10章 萊維飛行10.1 萊維飛行的特性10.2 自由萊維飛行10.3 常量力下的漂移和加速度10.4 線性力和非吉布斯穩(wěn)態(tài)解10.4.1 朗之萬方程的解10.4.2 分離變量方法10.4.3 有效時間10.5 非線性振子勢中的萊維飛行10.5.1 實空間方程10.5.2 傅里葉空間的方程10.6 解析結果10.6.1 布朗運動(α=2)10.6.2 簡諧萊維振子10.6.3 四次柯西振子10.6.4 非諧萊維振子10.7 微擾方法10.7.1 分叉時間的存在10.7.2 c>2的穩(wěn)定解非單一峰的證明10.7.3 穩(wěn)定解的冪律漸近形式第11章 非廣延統(tǒng)計力學11.1 Tsallis熵和Tsallis分布11.1.1 非加性熵和非廣延統(tǒng)計11.1.2 可加性與廣延性11.1.3 q-指數(shù)統(tǒng)計分布11.1.4 更一般約束下的分布11.1.5 分數(shù)階媒介中的擴散11.2 反常擴散的熱力學習題第12章 數(shù)值算法12.1 噪聲產生器12.1.1 離散傅里葉變換產生任意色噪聲12.1.2 時間關聯(lián)噪聲的模擬12.2 廣義朗之萬方程的數(shù)值模擬12.2.1 非歐姆摩擦情況12.2.2 利用傅里葉變換產生任意關聯(lián)色噪聲的數(shù)值算法12.2.3 粒子在非歐姆阻尼環(huán)境中的擴散12.3 隨機關聯(lián)勢12.4 分數(shù)階導數(shù)和分數(shù)階微分方程的數(shù)值算法12.5 連續(xù)時間無規(guī)行走的蒙特卡羅模擬12.5.1 CTRW模型及其數(shù)值實現(xiàn)12.5.2 有勢情況下的CTRW附錄A Mittag-Leffler函數(shù)A.1 單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)A.2 兩參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)A.3 Mittag-Leffler函數(shù)的拉普拉斯變換A.4 Mittag-Leffler函數(shù)的分數(shù)階導數(shù)A.5 Wright函數(shù)附錄B Fox H函數(shù)附錄C 萊維分布的一些注釋和基于Fox函數(shù)的精確表示附錄D α穩(wěn)定隨機變量的注記參考文獻索引《現(xiàn)代物理基礎叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

第1章 隨機變量和概率分布1.1 統(tǒng)計動力學的任務眾所周知，物質的宏觀狀態(tài)由組成它的微觀客體的運動與行為所決定，而微觀客體(如分子、原子、電子和原子核)滿足一定的力學規(guī)律也包括電磁規(guī)律.然而,由于微觀個體的數(shù)目和自由度的巨大，很難由力學方程直接給出物質的特性，所以，人們更加關心微觀客體長時間后按位型、速度和能量的分布.統(tǒng)計力學的任務就是提供一個連接微觀和宏觀世界的橋梁，認為宏觀量是相應微觀量的統(tǒng)計平均值.反常統(tǒng)計動力學是非平衡統(tǒng)計力學的新發(fā)展，當前統(tǒng)計物理的一個熱點問題就是反常擴散.本書研究的主要課題是一個動力系統(tǒng)的隨時演化，稱為動力學.注意這里的動力系統(tǒng)概念比“系統(tǒng)是包含一定量的物質”的直觀理解更廣泛，它能適用于非物質體系，例如，輻射.在近代非線性物理中，動力系統(tǒng)的意義是簡潔明了的，即確定某些時間的數(shù)學函數(shù)演化的一組方程.往往用N個試驗粒子來描寫一個系統(tǒng)的統(tǒng)計行為，而其中每個粒子的運動方程是已知的.本書涉及的分數(shù)階統(tǒng)計具有兩層含義：一是指在描寫系統(tǒng)隨時演化的控制方程中包含分數(shù)階導數(shù)或噪聲譜密度在低頻區(qū)正比于頻率的分數(shù)冪，導致非指數(shù)弛豫；二是長時間后系統(tǒng)達到偏離玻爾茲曼{吉布斯平衡的穩(wěn)定分布，概率密度函數(shù)中尾部按分數(shù)冪律衰減. 揭示何種系統(tǒng)具有這樣的現(xiàn)象，并恰當?shù)孛枋鏊鼈円约疤接懫湮锢頇C制和效應是反常統(tǒng)計動力學的挑戰(zhàn)性課題.在著手對任何動力系統(tǒng)進行仔細研究之前，需確定三個基本要素：態(tài)、動力學函數(shù)和演化規(guī)律.其中，一個系統(tǒng)的狀態(tài)是由一組固定的最少的基本物理量來確定；態(tài)變量的函數(shù)或泛函稱為動力學函數(shù)；演化律是為了完成系統(tǒng)的描述.1.2 一般定義經典概率論和隨機過程的基礎知識能夠在許多教科書中找到.現(xiàn)僅對一些特別有用,卻可能不為人們所熟悉的隨機變量的性質作一個簡介和評注，大多數(shù)情況下也適用于反常擴散和分數(shù)階統(tǒng)計.隨機變量及其分布隨機變量為一組可能的值fxig，這組值滿足一個分布P(x)，而后者必需滿足非負和歸一化: (i) P(x) > 0；(ii) Z P(x)dx = 1 (除此之外無其他要求，例如，不要求連續(xù)、可導和無奇點等).物理學家更喜歡用系綜來代替一個概率分布，而不是考慮具有一個概率分布的單一量，他們引入一組假想的具有任意大數(shù)目的N個量，在一個給定區(qū)域，它們具有不同的值，在x至x+dx之間它們的數(shù)目為NP(x)dx.從而，概率分布被一個大量樣本的密度函數(shù)所代替.這并不影響結果而計算卻是十分方便的，例如，試驗粒子方法.噪聲三要素無論內噪聲還是外噪聲，首先是無偏的, 即平均值等于零，其主要由以下要素確定.第一要素：強度. 對內噪聲而言，這個量正比于溫度，而對外噪聲，經常用自由粒子的擴散系數(shù)所度量.第二要素：譜.其決定了噪聲的“顏色”性，譜函數(shù)的逆傅里葉變換的實部為噪聲關聯(lián)函數(shù).一個隨機變量能被當作噪聲，其必須是一個平穩(wěn)過程，即在不同時間的關聯(lián)僅是兩時刻差的絕對值的函數(shù), 也就是具有時間平移不變性. 特別是噪聲譜的零頻行為決定了系統(tǒng)長時間的動力學漸近結果.第三要素：分布. 通常假設噪聲滿足高斯分布, 所以稱為高斯噪聲. 近年來非高斯分布噪聲引起了人們極大的興趣, 例如, 萊維噪聲，其具有一個長拖尾。

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