混沌、Melnikov方法及新發(fā)展

內(nèi)容概要

物理、化學(xué)、力學(xué)和生物學(xué)中物質(zhì)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型往往用微分方程所定義的連續(xù)動力系統(tǒng)來模擬，這些動力學(xué)模型存在著復(fù)雜的動力學(xué)行為——混沌性質(zhì)。本書介紹精確地判定Smale馬蹄存在意義下具有混沌性質(zhì)的Mel′nikov方法，并介紹近年來學(xué)者們所發(fā)展的同宿和異宿到耗散鞍型周期軌道的同宿和異宿纏結(jié)理論。
本書主要面向從事動力系統(tǒng)應(yīng)用的讀者，亦可作為研究生和對常微分方程與動力系統(tǒng)感興趣的人員的入門讀物。

書籍目錄

《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序前言第1章 動力系統(tǒng)的基本概念1.1 流和離散動力系統(tǒng)1.2 基本定義和性質(zhì)1.3 拓?fù)涔曹?、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與分枝第2章 符號動力系統(tǒng)、有限型子移位和混沌概念2.1 符號動力系統(tǒng)2.2 有限型子移位2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序2.4 混沌概念的推廣第3章 二階周期微分系統(tǒng)與二維映射3.1 二階周期微分系統(tǒng)的諧波解3.2 脈沖激勵系統(tǒng)的Poincaré映射3.3 Poincaré映射的線性近似與周期解的穩(wěn)定性3.4 二維線性映射3.5 二維映射的Hopf分枝與Arnold舌頭第4章 Smale馬蹄與橫截同宿環(huán)4.1 Smale的馬蹄映射4.2 Moser定理及其推廣4.3 二維微分同胚的雙曲不變集、跟蹤引理和Smale-Birkhoff定理4.4 Rm上的Cr微分同胚的不變集與雙曲性4.5 分枝到無窮多個匯4.6 Hénon映射的Smale馬蹄第5章 平面Hamilton系統(tǒng)和等變系統(tǒng)5.1 二維可積系統(tǒng)與作用-角度變量5.2 等變動力系統(tǒng)的定義和例子5.3 幾類對稱系統(tǒng)的周期軌道族與同宿軌道5.4 周期解族周期的單調(diào)性第6章 Mel′nikov方法: 擾動可積系統(tǒng)的混沌判據(jù)6.1 由更替法導(dǎo)出的Mel′nikov函數(shù)6.2 次諧波分枝的存在性及其與同宿分枝的關(guān)系6.3 次諧波解的穩(wěn)定性6.4 周期擾動系統(tǒng)的Mel′nikov積分6.5 周期擾動系統(tǒng)的次諧波Mel′nikov函數(shù)6.6 慢變振子的周期軌道6.7 慢變振子的同宿軌道第7章 Mel′nikov方法:應(yīng)用7.1 軟彈簧Duffing系統(tǒng)的次諧與馬蹄7.2 具有對稱異宿環(huán)系統(tǒng)的次諧與馬蹄7.3 Josephson結(jié)的I~V特性曲線7.4 環(huán)面上的Van der Pol方程的次諧分枝與馬蹄7.5 生物系統(tǒng)的分枝與混沌性質(zhì)7.6 兩分量Bose-Einstein凝聚態(tài)系統(tǒng)的混沌與分枝7.7 大Rayleigh數(shù)Lorenz方程的周期解和同宿分枝7.8 兩個自由度Hamilton系統(tǒng)的混沌性質(zhì)附錄 Jacobi橢圓函數(shù)有理式的Fourier級數(shù)第8章 秩一吸引子的概念和混沌動力學(xué)8.1 秩一吸引子的概念和混沌動力學(xué)理論8.2 在常微分方程中的應(yīng)用第9章 耗散鞍點的同宿纏結(jié)動力學(xué)9.1 基本方程和返回映射9.2 動力學(xué)結(jié)果9.3 具體例子及數(shù)值結(jié)果9.4 映射R的具體推導(dǎo)附錄 Mel′nikov函數(shù)(9.1.3)與Mel′nikov函數(shù)(6.4.21)的關(guān)系第10章 耗散鞍點的異宿纏結(jié)動力學(xué)10.1 基本方程和返回映射10.2 動力學(xué)結(jié)果10.3 具體例子及數(shù)值結(jié)果10.4 返回映射F的推導(dǎo)附錄 Ee(t),Ee*(t)的極限參考文獻(xiàn)《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

第1章 動力系統(tǒng)的基本概念本章簡要介紹動力系統(tǒng)的某些基本概念1.1 流和離散動力系統(tǒng)“動力系統(tǒng)”這個名詞，由Poincar′e研究多體問題――質(zhì)點組動力學(xué)問題而產(chǎn)生.后來被發(fā)揚(yáng)光大，沿用下來，在數(shù)學(xué)上具有確定的含義.?？紤]定義在Euclid空間Rn上的微分方程組dx=f（x），（1.1.1）dt其初始條件為x（0）=x0.設(shè)f∈C1（Rn，Rn），x0∈Rn，則（1.1.1）的初值問題解x=φ（t，x0）局部存在唯一.再對f增加解整體存在唯一的條件，即對于一切的t∈R，x0∈Rn，設(shè)解x=φ（t，x0）整體存在唯一.由微分方程的一般理論可知，函數(shù)φ（t，x0）具有以下的性質(zhì)：（1）確定性：對于一切s，t∈R，x∈Rn，有φ（0，x）=x；φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x））。（2）連續(xù)性：φ（t，x）關(guān)于變元t，x在R×Rn連續(xù)。滿足這兩個性質(zhì)的映射φ:RRn構(gòu)成以t為參數(shù)的從Rn到Rn的單參×Rn→數(shù)連續(xù)變換群.我們稱φ為Rn中定義的動力系統(tǒng)或流。對于給定的x∈Rn，集合Orbφ（x）={φ（t，x）|t∈R}。Rn稱為流φ過點x的軌道。Rn稱為狀態(tài)空間或相空間，每個點x∈Rn稱為一個狀態(tài)。如果拋開微分方程，設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g（Cr微分流形），一般地，考慮連續(xù)映射（Cr映射）φ:R×X→X，并設(shè)φ滿足確定性條件：1.φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x）），對于一切s，t∈R，x∈X成立；2.φ（0，x）=x，對于一切x∈X成立.此時，稱φ為定義在X上的一個拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)（Cr動力系統(tǒng)），或者稱X上的C0（Cr）流。（1）φs+t=φsφt，對于一切s，t∈R，x∈X成立；（2）φ0=id。由于對于任何固定的t∈R，φt有逆映射φ.t，因此，φt是一個同胚（Cr微分同胚）。在拓?fù)淇臻gX上定義的上述流φ同樣關(guān)于t構(gòu)成單參數(shù)的變換群，參數(shù)的取值范圍是實數(shù)加群R+。如果對流進(jìn)行離散采樣，研究它每隔一段時間間隔T的狀態(tài)，我們得到一個兩邊有無窮多項的序列，φ.2T，φ.T，φ0=id，φT，φ2T，。這個序列由同胚f=φT所生成，即φkT=φTφTφT=fff=fk，（1.1.2）φ.kT=φ.Tφ.Tφ.T=f.1f.1f.1=f.k。（1.1.3）φT稱為流φ的時刻T映射，又稱Poincar′e映射.特別，φ1稱為流φ的時刻1映射，流φt的時刻T映射可看作流ψT=φTt的時刻1映射。因此，只需考慮T=1情形。一般地，任給一個同胚（Cr微分同胚）f，f不一定是某個流的時刻1映射，同樣能夠生成一個雙邊序列，f.2，f.1，f0，f1，f2，，（1.1.4）其中，f0=id，fk=f，fk.1=f，f.???，f；f.k=（f.1）k，顯然f滿足關(guān)系：（1）fk+l=fk，fl，對于一切k，l∈Z成立；（2）f0=id。與流的情形類比，人們稱這種由同胚（Cr微分同胚）生成的雙邊序列為離散動力系統(tǒng).離散動力系統(tǒng)也是一個單參數(shù)變換群，其參數(shù)取值范圍是整數(shù)加群（Z，+）。由于存在沒有全局截面的流，因此，一般而言，不能說每個流通過取Poincar′e映射必對應(yīng)一個微分同胚，但是，流經(jīng)過采樣離散化而得到一個低一維的離散動力系統(tǒng).流的時刻1映射總是一個同胚。反之，采用“扭擴(kuò)”（suspension）微分同胚f（見圖1.1.1），可構(gòu)造f作為某個流的Poincar′e映射。這里不再贅述。正因為流和離散動力系統(tǒng)有這樣緊密的關(guān)系，才激勵著離散動力系統(tǒng)理論的大發(fā)展.我們研究流所得到的結(jié)論，往往可用于微分同胚情形。反之，在一定的條件下，由微分同胚所獲得的信息，可用于研究比微分同胚高一維的流。人們往往首先在微分同胚的研究中分方程研究的動力系統(tǒng)方法。圖1.1.1離散動力系統(tǒng)的扭擴(kuò)上面的討論都是由同胚（Cr微分同胚）生成的系統(tǒng)，如果我們更一般地考慮連續(xù)映射（Cr映射）的迭代：f0=id，f1，f2，，fk，，k∈Z+，所得到的系統(tǒng)稱為拓?fù)浒雱恿ο到y(tǒng)（Cr微分半動力系統(tǒng)）。1.2基本定義和性質(zhì)設(shè)X是拓?fù)淇臻g（Cr流形），f:X→X是一個同胚（Cr微分同胚）。定義1.2.1集合Orbf（x）={fk（x）|k∈Z}，Orbf+（x）={fk（x）|k∈Z+}，Orbf。（x）={fk（x）k∈Z.}分別稱為離散動力系統(tǒng)f過點x的軌道、正半軌道和負(fù)半軌道。顯然，Orbf（x）=Orbf+（x）∪Orbf.（x）如不產(chǎn)生混淆，可簡記Orbf（x）為Orb（x）。定義1.2.2若存在正整數(shù)n.1，使得fn（x）=x成立，稱x為f的周期點；使得fn（x）=x成立的最小自然數(shù)n，稱為x的周期。特別，周期為1的點，稱為f的不動點。用記號Per（f）和Fix（f）分別表示f的周期點集合和不動點集合。顯然，F(xiàn)ix（f）。Per（f）。定義1.2.3設(shè)x∈X，若存在正整數(shù)m>0，使得fm（x）是f的周期點，則稱x為f的準(zhǔn)周期點（或稱終于周期點）。f的終于周期點集合記為EPer（f）。f的周期點必是準(zhǔn)周期點，反之不真。并且∞Per（f）.EPer（f）=f.m（Per（f））.m=0f的回復(fù)點集合記為Rec（f）。顯然，Per（f）。Rec（f）。定義1.2.5集合ω（x）=.{fk（x）|k.n}n∈N與α（x）=.{f.k（x）|kn}n∈N分別稱為Orbf（x）的ω極限點集和α極限點集.其中，N表示正整數(shù)集合。由這個定義可見，ω（x）和α（x）都是閉集。如果X是緊致的度量空間，則對于一切x∈X，ω（x）和α（x）都是非空的。定義1.2.6設(shè)x∈X，若存在x的鄰域U（x）。X，使得對于一切k∈Z.{0}，fk（U（x））∩U（x）=.，其中.表示空集，則稱x為f的游蕩點.不是游蕩點的點稱為非游蕩點（non-wanderingpoint）。換言之，對x的任意鄰域U（x），總存在整數(shù)k=0，使得fk（U（x））∩U（x）=..，則稱x為f的非游蕩點。f的非游蕩點全體所構(gòu)成的集合稱為f的非游蕩集，記為Ω（f）。由該定義可知，f的游蕩點集是開集，f的非游蕩集Ω（f）是閉集。定義1.2.7設(shè)集合Λ。X，且F（Λ）=Λ（對于半動力系統(tǒng)F（Λ）。Λ），稱Λ為f的不變集.又若Λ是f的非空閉不變集，并且不存在真包含于它之中的非空閉不變子集，則稱Λ為f的極小集。定理1.2.1設(shè)f:XX是一個連續(xù)映射，則（i）Ω（f）是閉集；→（ii）ω（x）。Ω（f），從而Ω（f）非空；x∈X（iii）全體周期點集Per（f）。Ω（f）；（iv）f（Ω（f））。Ω（f），又若f為同胚，則Ω（f）為不變集，即f（Ω（f））=Ω（f）。證（i）根據(jù)定義1.2.6，X。Ω（f）為開集，故Ω（f）為閉集。（ii）設(shè)x∈X，y∈ω（x），茲證y∈Ω（f）.用V表示點y的鄰域，茲求滿足f.n（V）∩V=.的n.1，從而存在n.1和某個z∈V，滿足fn（z）∈V.事實上，因為y.∈ω（x），故存在自然數(shù)列{ni}，滿足fni（x）y，選擇ni00，U是x的鄰域，則有x∈f.n（U）∩U，從而x∈Ω（f）。（iv）設(shè)x∈Ω（f），V為f（x）的鄰域，則f.1（V）是x的鄰域。從而存在某個n>0，使得f.（n+1）（V）∩f.1（V）=..。因此，f.n（V）∩V=..，故f（x）∈Ω（f），即f（Ω（f））。Ω（f）.如果f是同胚，必有Ω（f）=Ω（f.1）。因此，由f.1（Ω（f））。Ω（f）知，f（Ω（f））=Ω（f），即Ω（f）是不變集。定義1.2.8（i）連續(xù)映射f:X→X稱為單邊拓?fù)鋫鬟f的（topologically transitive），倘若存在某些x∈X，其半軌道{fn（x）n.0}在X中稠；（ii）同胚映射f:XX稱為拓?fù)鋫鬟f的，|倘若存在某些x∈X，其軌道Orbf（x）={fn（x）n∈Z}在→X中稠。如果同胚映射|f:XX是單邊拓?fù)鋫鬟f的，稱f是拓?fù)浠旌系?存在例子說明，拓?fù)鋫鬟f的同胚映射→f不是拓?fù)浠旌系?。反之，f拓?fù)浠旌媳赝負(fù)鋫鬟f，且Ω（f）=X。定理1.2.2設(shè)f:XX是緊致度量空間的同胚映射，則以下的說法等價：（i）f是拓?fù)鋫鬟f的；→（ii）設(shè)E是X的閉子集，是f的不變集，則或者E=X，或者E無處稠密（換言之，對于任何滿足f（U）=V的開子集U。X，或者U=.，或者U為稠集）；（iii）對任何非空開集U，V，存在n∈Z，使得fn（U）∩V=..；

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《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書144:混沌、Mel'nikov方法及新發(fā)展》主要面向從事動力系統(tǒng)應(yīng)用的讀者，亦可作為碩士研究生、博士研究生和對常微分方程與動力系統(tǒng)感興趣的人員的入門讀物。所介紹的內(nèi)容是基本的，可供對混沌及其應(yīng)用感興趣的研究人員參考。閱讀《混沌、Mel'nikov方法及新發(fā)展》需要學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)分析和微分方程課程的基礎(chǔ)知識。

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