結(jié)構(gòu)分析有限元法

內(nèi)容概要

　　《全國普通高等院校土木工程類實(shí)用創(chuàng)新型系列規(guī)劃教材：結(jié)構(gòu)分析有限元法》重點(diǎn)介紹了有限元法的基本理論，內(nèi)容包括能量原理、平面問題、桿件問題、空間及軸對稱問題、板殼問題及結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題。
　　《全國普通高等院校土木工程類實(shí)用創(chuàng)新型系列規(guī)劃教材：結(jié)構(gòu)分析有限元法》講述有限元法的基本原理及土木工程結(jié)構(gòu)中的單元分析，單元類型包括平面桿系、空間桿系、平面等參元、空間等參元、薄板彎曲單元和厚薄板通用單元等。全書以論述結(jié)構(gòu)線彈性靜力分析為主，最后介紹了結(jié)構(gòu)的振動和動力響應(yīng)分析。
　　《全國普通高等院校土木工程類實(shí)用創(chuàng)新型系列規(guī)劃教材：結(jié)構(gòu)分析有限元法》可作為高等院校土木工程專業(yè)本科生有限元法課程教材，也可供相關(guān)專業(yè)的科技人員參考。

書籍目錄

主要符號
第1章 緒論
1.1 有限元法發(fā)展概況
1.2 有限元法分析過程
1.2.1 矩陣位移法
1.2.2 有限元法分析過程
1.3 有限元法的學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)方法
習(xí)題
第2章 有限元法基礎(chǔ)——能量原理
2.1 彈性力學(xué)平面問題回顧
2.1.1 平衡（運(yùn)動）微分方程
2.1.2 小變形的幾何方程（位移-應(yīng)變關(guān)系）
2.1.3 線彈性體的物理方程（本構(gòu)關(guān)系）
2.1.4 邊界條件（邊界處條件和協(xié)調(diào)條件）
2.2 彈性力學(xué)基本方程的矩陣表示
2.3 變形體虛位移原理
2.3.1 變形體虛位移原理表述
2.3.2 彈性平面問題外力總虛功的計(jì)算
2.3.3 變形體虛位移原理證明
2.3.4 虛位移原理的說明
2.4 最小勢能原理
2.4.1 最小勢能原理
2.4.2 桿系結(jié)構(gòu)總勢能表達(dá)式
2.4.3 由最小勢能原理導(dǎo)出位移法方程
2.5 里茨法
2.5.1 里茨法
2.5.2 分片里茨法
2.6 小結(jié)
習(xí)題
第3章 彈性力學(xué)平面問題
3.1 結(jié)構(gòu)離散化
3.1.1 關(guān)于結(jié)構(gòu)離散化
3.1.2 平面問題三角形劃分
3.2 3結(jié)點(diǎn)單元位移模式
3.2.1 單元的位移模式和廣義坐標(biāo)
3.2.2 位移插值函數(shù)
3.3 單元特性分析
3.3.1 單元應(yīng)變和應(yīng)力
3.3.2 單元體總勢能
3.3.3 單元剛度矩陣
3.3.4 單元等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣
3.4 有限元方程的建立
3.4.1 利用最小勢能原理建立結(jié)構(gòu)整體剛度方程
3.4.2 單元剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣的集成
3.4.3 結(jié)構(gòu)剛度矩陣的性質(zhì)和特點(diǎn)
3.5 有限元方程的求解
3.5.1 引入位移邊界條件
3.5.2 有限元方程的求解及應(yīng)力計(jì)算
3.5.3 有限元分析步驟
3.6 有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則
3.6.1 有限元解的收斂準(zhǔn)則
3.6.2 收斂準(zhǔn)則的物理意義
3.6.3 位移元解的下限性質(zhì)
3.7 矩形單元
3.7.1 單元的位移模式
3.7.2 單元特性分析
3.8 等參數(shù)單元
3.8.1 單元位移模式
3.8.2 單元特性分析
3.8.3 等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算
3.8.4 應(yīng)力計(jì)算
3.8.5 等參單元的完備性和協(xié)調(diào)性
3.9 小結(jié)
習(xí)題
第4章 桿系結(jié)構(gòu)問題
4.1 桿件系統(tǒng)的離散化
4.2 平面桁架單元分析
4.2.1 建立位移場（位移模式）
……
第5章 空間及軸對稱問題
第6章 彈性板殼問題
第7章 動力學(xué)問題
主要參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   按式（3.14）和式（3.19）求得的單元應(yīng)變和應(yīng)力，由于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果，精度低于位移，并且在單元交界面上應(yīng)力不連續(xù)，力的邊界條件也不能精確滿足。特別是對于3結(jié)點(diǎn)三角形單元，由于它是常應(yīng)力單元，計(jì)算得到的應(yīng)力代表單元中心的應(yīng)力，而且此應(yīng)力在相鄰單元之間常出現(xiàn)明顯的跳躍。 為了得到單元邊界和結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?。處理方法是將組成四邊形的兩個相鄰三角形單元的應(yīng)力加以平均后，作為四邊形形心處的應(yīng)力，然后再利用此平均應(yīng)力值進(jìn)行插值外推或用最小二乘擬合得到單元邊界和結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。亦可以簡單地利用繞結(jié)點(diǎn)平均法或加權(quán)平均法求變形體結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。 3.5.3有限元分析步驟 在根據(jù)問題的類型和性質(zhì)選定了單元的形式并構(gòu)造了它的插值函數(shù)以后，可按以下步驟對問題進(jìn)行有限分析： 1）對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。按問題的幾何特點(diǎn)和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，即將原來的連續(xù)體離散為在結(jié)點(diǎn)處相互聯(lián)結(jié)的有限單元組合體。 2）按照式（3.26）形成單元的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣。 3）按照式（3.52）集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和等效點(diǎn)載荷列陣。 4）按照式（3.62）引入位移邊界條件。 5）求解線代數(shù)方程組（3.55），得到結(jié)點(diǎn)位移。 6）計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力。 7）進(jìn)行必要的后處理。 由以上討論可見，基于最小勢能原理，利用位移有限元對彈性力學(xué)問題進(jìn)行分析，只要選定單元模式，劃分好網(wǎng)格，其計(jì)算執(zhí)行的步驟是完全標(biāo)準(zhǔn)化了的。這是有限元法得到廣泛應(yīng)用的重要原因。我們可以方便地將它應(yīng)用于各類彈性力學(xué)問題。 由表可見，隨著網(wǎng)格的加密，計(jì)算得到的應(yīng)力集中系數(shù)k逐漸加大，而加密到一定密度以后，k數(shù)值趨于穩(wěn)定。 3.6有限元解的性質(zhì)和收斂準(zhǔn)則 有限元法作為求解微分方程的一種數(shù)值方法，可以認(rèn)為是里茨法的一種特殊形式，不同之處在于有限元法的試探函數(shù)是定義于單元而不是全域。因此有限元解的收斂性可以與里茨法的收斂性對比進(jìn)行討論。里茨法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，即如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性要求，當(dāng)試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)n→∞時，里茨法的近似解將趨近于微分方程的精確解。 3.6.1有限元解的收斂準(zhǔn)則 在有限元法中，場函數(shù)的總體泛函是由單元泛函集成的。在單元內(nèi)若采用完全多項(xiàng)式作為單元的插值函數(shù)，有限元解在一個有限尺寸的單元內(nèi)可以與精確解一致。但是實(shí)際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項(xiàng)多項(xiàng)式，因此有限元解只能是精確解的一個近似解答。那么，在什么條件下當(dāng)單元尺寸無限小時，有限元解趨于精確解？ 假定泛函中包含u（z）和它的直至m階的各階導(dǎo)數(shù)，若m階導(dǎo)數(shù)是非零的，則近似函數(shù)至少必須是m次多項(xiàng)式。若取P次完全多項(xiàng)式試探函數(shù)，則必須滿足p≥m。因?yàn)閡是p次完全多項(xiàng)式，所以直至m階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中包含有常數(shù)項(xiàng)。當(dāng)單元尺寸趨于零時，在每一單元內(nèi)u及其直至m階導(dǎo)數(shù)將趨于它的精確值，即趨于常數(shù)。因此，每一個單元的泛函將趨于它的精確值，有限元解就趨于精確解，也就是說解是收斂的。

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