分次模態(tài)語言的模型論

內(nèi)容概要

分次模態(tài)邏輯是有限基數(shù)的模態(tài)邏輯。
分次模態(tài)語言的模型論給出了分次模態(tài)邏輯的余代數(shù)語義，研究余代數(shù)結(jié)構(gòu)類在分次模態(tài)語言中的可定義性問題；證明了幾條可定義性定理，使用余代數(shù)典范模型證明正規(guī)分次模態(tài)邏輯模態(tài)邏輯的完全性；探討了余代數(shù)語義下分次模態(tài)邏輯與弱二階邏輯的對應(yīng)理論，以及分次模態(tài)公式的分類和幾個擴(kuò)張表達(dá)力的語言。此外，在關(guān)系語義學(xué)下，分次模態(tài)語言的模型論還給出了結(jié)構(gòu)類的可定義性定理。
分次模態(tài)語言的模型論適合現(xiàn)代邏輯專業(yè)、數(shù)學(xué)專業(yè)以及計算機(jī)領(lǐng)域的研究人員和高校師生參考閱讀。

書籍目錄

總序前言導(dǎo)論第1章 計數(shù)模態(tài)語言1.1 模態(tài)邏輯的語義視角1.2 計數(shù)模態(tài)語言1.3 構(gòu)造模型和框架的基本方法1.4 分次模態(tài)邏輯第2章 分次模態(tài)語言的關(guān)系語義學(xué)2.1 模型和框架構(gòu)造2.2 分次超濾擴(kuò)張與飽和2.3 模型和框架可定義性2.4 范本特姆-羅森刻畫定理2.5 GML和FOL(C)之間的框架對應(yīng)第3章 分次模態(tài)余代數(shù)3.1 分次模態(tài)語言的余代數(shù)語義3.2 分次模態(tài)代數(shù)3.3 分次模態(tài)代數(shù)與余代數(shù)之間的對偶3.4 有限余代數(shù)和余代數(shù)模型的可定義性3.5 GML的泛余代數(shù)第4章 公理系統(tǒng)和完全性4.1 分次正規(guī)模態(tài)邏輯4.2 典范余代數(shù)模型4.3 一些完全的邏輯4.4 代數(shù)完全性與典范性4.5 GML的嵌入定理第5章 余代數(shù)對應(yīng)理論5.1 弱二階邏輯與翻譯5.2 無變元公式與統(tǒng)一公式5.3 分次薩奎斯特對應(yīng)定理5.4 非分次薩奎斯特公式5.5 薩奎斯特完全性定理第6章 有限模型性質(zhì)6.1 過濾模型6.2 NExt(Kg42)中子余代數(shù)邏輯6.3 Kg43的典范公式6.4 正規(guī)分次模態(tài)格NExt(KgAltn)第7章 公式的分類7.1 Ω模擬與正存在公式7.2 點Ω子模型保持7.3 GML的Chang-Los-Suszko定理7.4 保序與正公式7.5 子框架保持第8章 分次模態(tài)邏輯的擴(kuò)張8.1 分次全通模態(tài)詞8.2 分次異點算子8.3 無限基數(shù)的模態(tài)邏輯8.4 GML的Lindstr?m定理參考文獻(xiàn)附錄A 模型論與泛代數(shù)附錄B 基本模態(tài)邏輯附錄C 余代數(shù)理論后記

章節(jié)摘錄

第1章 計數(shù)模態(tài)語言本章是計數(shù)模態(tài)語言的簡要引論。1.1 節(jié)首先討論研究動機(jī)。然后在1.2 節(jié)正式引入計數(shù)模態(tài)語言及其關(guān)系語義學(xué)。1.3 節(jié)引入一些基本模型構(gòu)造方法并證明相應(yīng)的保持結(jié)果，第2 章會使用這些結(jié)果。1.4 節(jié)集中考慮一種特殊的計數(shù)模態(tài)語言，即分次模態(tài)語言，主要目的是對目前已有的模型論方面的結(jié)果進(jìn)行概述。1.1 模態(tài)邏輯的語義視角自20 世紀(jì)60 年代以來，邏輯學(xué)家們認(rèn)識到，在關(guān)系語義學(xué)中解釋的模態(tài)算子，只不過是沒有明確約束個體變元的“局部”量詞?！熬植俊边@個詞的意思是，作為量詞的模態(tài)詞算子僅以所有可及狀態(tài)為量化域。因此，從語義角度看，基本模態(tài)邏輯與一階邏輯(FOL) 并非如此不同，因為兩者都能用來談?wù)撽P(guān)系結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。另一方面，一階邏輯與模態(tài)邏輯也存在重要差異，就表達(dá)力而言，前者要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于后者。在模型層次上，模態(tài)邏輯是FO2 的一個片段，這里FO2 是一階邏輯帶兩變元的片段。更確切地說，根據(jù)范本特姆(J. van Benthem)刻畫定理，模態(tài)邏輯是一階邏輯(或FO2，因為模態(tài)邏輯可以嵌入FO2)的互模擬不變片段。然而，模態(tài)邏輯有一些非常好的邏輯性質(zhì)和計算性質(zhì)，比如可判定性和低程度的計算復(fù)雜性，而一階邏輯不具有這些性質(zhì)。因此，如果我們想獲得表達(dá)力更強(qiáng)的模態(tài)語言，但是又保持基本模態(tài)邏輯的優(yōu)良性質(zhì)，一種方法就是通過增加新模態(tài)詞對基本模態(tài)邏輯進(jìn)行擴(kuò)張，這些新模態(tài)詞在基本模態(tài)邏輯中是不能定義的。邏輯學(xué)家們一直在探索這個研究方向。本書采取的研究思路如下：從與語義視角相反的角度看，任給量詞Q，都可以抽象出一元模態(tài)詞.Q，它是關(guān)系結(jié)構(gòu)上的一個局部量詞。這條從量詞到模態(tài)詞的道路也可以在斐尼的論文(Fine, 1972a)中找到，該文引入了數(shù)字量詞的模態(tài)對應(yīng)算子。一個帶數(shù)字量詞的一階公式的形式是.nxα(x)，它在一個一階模型中是真的當(dāng)且僅當(dāng)至少存在n 個個體滿足α(x)(Tarski, 1941)。顯然這些量詞在帶等詞的一階邏輯中是可定義的，但是在不帶等詞的純一階邏輯中是不可定義的。一階公式.nxα(x)的模態(tài)對應(yīng)公式可以寫作.nα，它在一個關(guān)系模型中狀態(tài)w 上是真的當(dāng)且僅當(dāng)w 至少有n 個可及狀態(tài)滿足α。更一般地，由于有限多個(無限多個)和可數(shù)多個(不可數(shù)多個)這樣的概念常常在數(shù)學(xué)中使用，它們在一階邏輯中是不可定義的，因此可以引入新的量詞來豐富一階邏輯，從而使這些概念得以表達(dá)。莫斯托夫斯基(Mostowski, 1957)提出的廣義量詞理論，開啟了通向一階邏輯擴(kuò)張的模型論之門。任給無限基數(shù)κ，新語言FOL(Qκ)從FOL 增加新量詞Qκ得到。如下解釋形如Qκxα(x)的新公式：M Qκxα(x)當(dāng)且僅當(dāng)存在κ個元素b 屬于M 使得M α(x)[b]。令α(x1, ..., xn)M = {(a1, ..., an) : M α(x1, ..., xn)[a1, ..., an]}。那么M Qκx α(x) 當(dāng)且僅當(dāng)| α(x1, ..., xn)M | ≥κ。例如，在語言FOL(Q0)中，可以表達(dá)“存在可數(shù)多個”這個概念。在這些基數(shù)邏輯中，一個重要結(jié)果是“存在不可數(shù)多個”這個量詞的邏輯可以使用一束相當(dāng)簡單的公式來公理化，這些公理是凱斯勒(Keisler, 1970)給出的。對這些基數(shù)量詞來說，通過推廣斐尼(Fine, 1972a)的方法，也可以抽象出對應(yīng)的基數(shù)模態(tài)詞。現(xiàn)在正式引入基數(shù)模態(tài)詞。令M = (W, R, V)是關(guān)系模型，w ∈W 并且w ↑ = {v ∈W : Rwv}。對任何公式φ，令φM 是φ在M 中的真集。對每個自然數(shù)n > 0，定義模態(tài)詞.n 如下：M, w .nφ當(dāng)且僅當(dāng)| w ↑∩φM | ≥ n。公式.nφ的意義是至少存在n 個后繼狀態(tài)使φ真。同樣，可以把數(shù)字模態(tài)詞推廣到任意基數(shù)模態(tài)詞。對每個基數(shù)κ，定義模態(tài)詞.κ如下：M, w .κφ當(dāng)且僅當(dāng)| w ↑∩φM | ≥ κ?？紤]在基本模態(tài)邏輯基礎(chǔ)上增加基數(shù)模態(tài)詞的擴(kuò)張。在有限基數(shù)的情況下，增加所有.n(n > 0) 而獲得的擴(kuò)張仍然是帶等詞一階邏輯的片段。然而，在無限基數(shù)的情況下，所獲得的模態(tài)語言比一階邏輯的表達(dá)能力更強(qiáng)。本書所要研究的主要內(nèi)容就是有限基數(shù)的模態(tài)邏輯。在1.4 節(jié)，筆者將概述目前文獻(xiàn)中所得到的關(guān)于分次模態(tài)邏輯的模型論結(jié)果。下面首先以形式的方式定義計數(shù)模態(tài)語言、關(guān)系語義以及相關(guān)的句法和語義概念。1.2 計數(shù)模態(tài)語言基數(shù)可用于計算一階結(jié)構(gòu)中具有特定性質(zhì)的個體的數(shù)目，在關(guān)系結(jié)構(gòu)中，它們也可以用來計算具有特定性質(zhì)的可及狀態(tài)的數(shù)目。本節(jié)以形式的方式定義計數(shù)模態(tài)語言及其關(guān)系語義學(xué)，還包括一些有用的基本概念。

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《分次模態(tài)語言的模型論》由科學(xué)出版社出版。

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