高等數(shù)學(xué)（上下冊）

內(nèi)容概要

本書是根據(jù)“高等學(xué)校本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程”的需要，參照高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)發(fā)布的《理工類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》，參考《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》編寫而成的。
全書分上、下冊出版，本書為上冊。上冊內(nèi)容包括：緒論，函數(shù)、極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分，定積分的應(yīng)用，空間解析幾何與矢量代數(shù)8章內(nèi)容。書末附有初等數(shù)學(xué)常用知識(shí)、幾種常用曲線及其方程、積分表、Mathematica軟件包的常用系統(tǒng)函數(shù)。全書每節(jié)后都配有精選的習(xí)題，既有基礎(chǔ)題又有應(yīng)用廣泛的綜合題。每章后還附有分層次教學(xué)測試練習(xí)題、Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)欣賞。充分考慮分層次教學(xué)的需要，對全方位提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力等方面起到積極的作用。
本書可作為高等本科院校理工類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材，也可作為學(xué)生自學(xué)和考研的參考書。
本書是根據(jù)“高等學(xué)校本科教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程”的需要，參照高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)發(fā)布的《理工類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》，參考《全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》編寫而成的。
全書分上、下冊出版，本書為下冊。下冊內(nèi)容包括：多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用，重積分，曲線積分與曲面積分，微分方程，無窮級(jí)數(shù)5章內(nèi)容。全書每節(jié)后都配有精選的習(xí)題，既有基本題又有應(yīng)用廣泛的綜合應(yīng)用題。每章后還附有分層次教學(xué)測試練習(xí)題、Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)欣賞，充分考慮分層次教學(xué)的需要，對全方位提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力等方面起到積極的推進(jìn)作用。
本書可作為高等本科院校理工類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材，也可作為學(xué)生自學(xué)和考研的參考書。

書籍目錄

高等數(shù)學(xué)上冊
叢書序
前言
第0章 緒論
0.1 高等數(shù)學(xué)概論
0.1.1 高等數(shù)學(xué)的發(fā)展過程
0.1.2 微積分研究的兩個(gè)基本問題及方法
0.1.3 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的比較
0.1.4 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的方法
0.2 初識(shí)符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica
0.2.1 Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行
0.2.2 Mathematica的輸入及運(yùn)算
0.2.3 Mathematica的聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)
習(xí)題0.2
數(shù)學(xué)欣賞 自然對數(shù)的底e的來歷與自然對數(shù)的引入
第1章 函數(shù)極限與連續(xù)
1.1 函數(shù)的概念
1.1.1 集合 區(qū)間與鄰域
1.1.2 函數(shù)的概念
1.1.3 函數(shù)的幾種特性
習(xí)題1.1
1.2 初等函數(shù)
1.2.1 反函數(shù)
1.2.2 復(fù)合函數(shù)
1.2.3 初等函數(shù)
*1.2.4 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
習(xí)題1.2
1.3 數(shù)列的極限
1.3.1 數(shù)列極限的概念
1.3.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)
1.3.3 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則
1.3.4 數(shù)列極限存在準(zhǔn)則
習(xí)題1.3
1.4 函數(shù)的極限
1.4.1 自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限
1.4.2 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限
1.4.3 函數(shù)極限的性質(zhì)
習(xí)題1.4
1.5 無窮小量與無窮大量
1.5.1 無窮小量
1.5.2 無窮大量
1.5.3 無窮小量的運(yùn)算定理
習(xí)題1.5
1.6 函數(shù)極限的運(yùn)算法則
習(xí)題1.6
1.7 夾逼準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限
習(xí)題1.7
1.8 無窮小量的比較
習(xí)題1.8
1.9 函數(shù)的連續(xù)性
1.9.1 函數(shù)的連續(xù)性
1.9.2 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則
1.9.3 初等函數(shù)的連續(xù)性
1.9.4 函數(shù)的間斷點(diǎn)
習(xí)題1.9
1.10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
習(xí)題1.10
1.11 用Mathematica進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算
1.11.1 Mathematica中的數(shù)、運(yùn)算符、變量與表達(dá)式
1.11.2 常用函數(shù)
1.11.3 自定義函數(shù)
1.11.4 表
習(xí)題1.11
1.12 用Mathematica求極限、函數(shù)的間斷點(diǎn)
1.12.1 函數(shù)求極限
1.12.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)
習(xí)題1.12
第1章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 五個(gè)重要常數(shù)的關(guān)系
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分
2.1 導(dǎo)數(shù)概念
2.1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引入
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義
2.1.3 求導(dǎo)函數(shù)舉例
2.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
2.1.5 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
習(xí)題2.1
2.2 求導(dǎo)法則
2.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則
2.2.2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
2.2.3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
*2.2.4 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.2.5 初等函數(shù)的求導(dǎo)公式小結(jié)
習(xí)題2.2
2.3 高階導(dǎo)數(shù)
習(xí)題2.3
2.4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.4.3 求導(dǎo)舉例
習(xí)題2.4
2.5 微分
2.5.1 微分的概念
2.5.2 微分的幾何意義
2.5.3 微分的運(yùn)算法則
習(xí)題2.5
2.6 導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用
2.6.1 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
2.6.2 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
2.6.3 微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用
習(xí)題2.6
2.7 用Mathematica進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
2.7.1 初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù)
2.7.2 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)
習(xí)題2.7
第2章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 微積分成果優(yōu)先權(quán)的爭論
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
3.1 微分中值定理
3.1.1 羅爾(Rolle)定理
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理
習(xí)題3.1
3.2 洛必達(dá)(L'Hospital)法則
3.2.1 0/0型未定式
3.2.2 ∞/∞型未定式
3.2.3 其他類型的未定式
習(xí)題3.2
3.3 泰勒定理及其應(yīng)用
3.3.1 泰勒定理
3.3.2 幾個(gè)常用的麥克勞林公式
3.3.3 泰勒公式的應(yīng)用
習(xí)題3.3
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值
3.4.1 函數(shù)單調(diào)性的判定
3.4.2 函數(shù)的極值
3.4.3 函數(shù)的最大值和最小值
習(xí)題3.4
3.5 函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)
3.5.1 函數(shù)的凹凸性
3.5.2 曲線的拐點(diǎn)
習(xí)題3.5
3.6 函數(shù)圖形的描繪
3.6.1 曲線的漸近線
3.6.2 依據(jù)函數(shù)特性作圖
習(xí)題3.6
*3.7 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用——邊際分析與彈性分析
3.7.1 邊際與邊際分析
3.7.2 彈性與彈性分析
習(xí)題3.7
*3.8 方程的近似解
3.8.1 二分法
3.8.2 切線法
習(xí)題3.8
3.9 用Mathematica做導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題
習(xí)題3.9
第3章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 法國大數(shù)學(xué)家——柯西、拉格朗日、羅爾
第4章 不定積分
4.1 不定積分的概念與性質(zhì)
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念
4.1.2 不定積分的性質(zhì)
4.1.3 基本積分公式
習(xí)題4.1
4.2 換元積分法
4.2.1 第一類換元積分法
4.2.2 第二類換元積分法
習(xí)題4.2
4.3 分部積分法
習(xí)題4.3
4.4 幾種特殊類型函數(shù)的積分
4.4.1 有理函數(shù)的積分
4.4.2 三角函數(shù)有理式的積分
4.4.3 簡單無理函數(shù)的積分
4.4.4 積分表的使用
習(xí)題4.4
數(shù)學(xué)欣賞 利瑪竇與中西方數(shù)學(xué)文化的融合
第5章 定積分
5.1 定積分的概念與性質(zhì)
5.1.1 定積分的實(shí)際背景
5.1.2 定積分的概念
5.1.3 定積分的幾何意義
5.1.4 定積分的基本性質(zhì)
習(xí)題5.1
5.2 微積分基本公式
5.2.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
5.2.2 牛頓-萊布尼茨公式
習(xí)題5.2
5.3 定積分的換元積分法
習(xí)題5.3
5.4 定積分的分部積分法
習(xí)題5.4
*5.5 定積分的近似計(jì)算
5.5.1 梯形法
5.5.2 拋物線法
習(xí)題5.5
5.6 廣義積分
5.6.1 無窮限廣義積分
5.6.2 無界函數(shù)的廣義積分
*5.6.3 伽瑪(Gamma)函數(shù)
習(xí)題5.6
5.7 用Mathematica計(jì)算一元函數(shù)的積分
5.7.1 定積分的近似計(jì)算
5.7.2 不定積分與定積分的計(jì)算
習(xí)題5.7
數(shù)學(xué)欣賞 萊布尼茨與康熙大帝
第6章 定積分的應(yīng)用
6.1 定積分的微元法
6.2 定積分的幾何應(yīng)用
6.2.1 平面圖形的面積
6.2.2 體積
6.2.3 平面曲線的弧長
習(xí)題6.2
6.3 定積分的物理應(yīng)用
6.3.1 功
6.3.2 液體對平面薄板的壓力
6.3.3 引力
習(xí)題6.3
6.4 定積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用
6.4.1 已知總產(chǎn)量的變化率求總產(chǎn)量
6.4.2 已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)
習(xí)題6.4
6.5 用Mathematica做定積分應(yīng)用題
6.5.1 求平面圖形的面積
6.5.2 求平面曲線的弧長
6.5.3 求旋轉(zhuǎn)體的體積
習(xí)題6.5
第4、5、6章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 中國科學(xué)院院士鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模
第7章 空間解析幾何與矢量代數(shù)
7.1 空間直角坐標(biāo)系與矢量的概念
7.1.1 空間直角坐標(biāo)系
7.1.2 矢量的概念
習(xí)題7.1
7.2 矢量的坐標(biāo)
7.2.1 矢量在軸上的投影
7.2.2 矢徑的坐標(biāo)表示
7.2.3
矢量M<sub>1</sub>M<sub>2</sub>的坐標(biāo)表示
7.2.4 坐標(biāo)表示下的矢量線性運(yùn)算
7.2.5 矢量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示
習(xí)題7.2
7.3 矢量的數(shù)量積 矢量積 *混合積
7.3.1 矢量的數(shù)量積
7.3.2 矢量的矢量積
*7.3.3 矢量的混合積
習(xí)題7.3
7.4 平面與直線
7.4.1 平面
7.4.2 空間直線
習(xí)題7.4
7.5 曲面及其方程
7.5.1 曲面及其方程
7.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面
7.5.3 柱面
*7.5.4 二次曲面
習(xí)題7.5
7.6 空間曲線及其方程
7.6.1 空間曲線
7.6.2 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線
習(xí)題7.6
7.7 用Mathematica做三維圖形及動(dòng)畫
7.7.1 二元函數(shù)作圖
7.7.2 二次曲面的圖形
7.7.3 相交曲面作圖
7.7.4 動(dòng)畫制作
習(xí)題7.7
第7章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 幾何學(xué)奇觀——三種幾何并存
附錄A 初等數(shù)學(xué)常用公式
附錄B 基本初等函數(shù)的圖形及其主要性質(zhì)
附錄C 二階、三階行列式簡介
附錄D 極坐標(biāo)、參數(shù)方程與復(fù)數(shù)簡介
附錄E 幾種常用的曲線
附錄F 符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica的常用系統(tǒng)函數(shù)
附錄G 積分表
部分習(xí)題參考答案
高等數(shù)學(xué)下冊
第8章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用
8.1 多元函數(shù)的基本概念
8.1.1 多元函數(shù)及其定義域
8.1.2 二元函數(shù)的幾何表示
習(xí)題8.1
8.2 二元函數(shù)的極限與連續(xù)
8.2.1 二元函數(shù)的極限
8.2.2 二元函數(shù)的連續(xù)性
習(xí)題8.2
8.3 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分
8.3.1 偏導(dǎo)數(shù)
8.3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)
8.3.3 全微分及其應(yīng)用
習(xí)題8.3
8.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則
8.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
8.4.2 一階全微分形式不變性
8.4.3 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則
習(xí)題8.4
8.5 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用
8.5.1 空間曲線的切線與法平面
8.5.2 曲面的切平面與法線
習(xí)題8.5
8.6 多元函數(shù)的極值與最大(小)值
8.6.1 多元函數(shù)的極值
8.6.2 有界閉區(qū)域上的最大值與最小值
8.6.3 條件極值
習(xí)題8.6
8.7 方向?qū)?shù)與梯度
8.7.1 方向?qū)?shù)
8.7.2 梯度
習(xí)題8.7
*8.8 最小二乘法
8.8.1 最小二乘原理
8.8.2 多變量的數(shù)據(jù)擬合
8.8.3 非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合
習(xí)題8.8
8.9 Mathematica在多元函數(shù)微分學(xué)中的應(yīng)用
8.9.1 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分
8.9.2 微分學(xué)的幾何應(yīng)用
8.9.3 多元函數(shù)的極值
習(xí)題8.9
第8章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 圓形之美與三角函數(shù)
第9章 重積分
9.1 二重積分的概念與性質(zhì)
9.1.1 引例
9.1.2 二重積分的概念
9.1.3 二重積分的性質(zhì)
習(xí)題9.1
9.2 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分
9.2.1 X-型積分區(qū)域
9.2.2 Y-型積分區(qū)域
9.2.3 其他型積分區(qū)域
習(xí)題9.2
9.3 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分
習(xí)題9.3
9.4 二重積分應(yīng)用舉例
9.4.1 二重積分在物理上的應(yīng)用
9.4.2 二重積分在農(nóng)業(yè)中的應(yīng)用
習(xí)題9.4
9.5 三重積分的概念與性質(zhì)
9.6 三重積分的計(jì)算
9.6.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分
9.6.2 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分
9.6.3 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分
習(xí)題9.6
9.7 用Mathematica計(jì)算重積分
習(xí)題9.7
數(shù)學(xué)欣賞 “數(shù)學(xué)中的諾貝爾獎(jiǎng)”——菲爾茲獎(jiǎng)
第10章 曲線積分與曲面積分
10.1 對弧長的曲線積分
10.1.1 對弧長的曲線積分的實(shí)際背景
10.1.2 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)
10.1.3 對弧長的曲線積分的計(jì)算
習(xí)題10.1
10.2 對坐標(biāo)的曲線積分
10.2.1 對坐標(biāo)的曲線積分的實(shí)際背景
10.2.2 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)
10.2.3 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算
10.2.4 兩類曲線積分之間的聯(lián)系
習(xí)題10.2
10.3 格林公式及其應(yīng)用
10.3.1 格林公式
10.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件
習(xí)題10.3
10.4 對面積的曲面積分
10.4.1 對面積的曲面積分的實(shí)際背景
10.4.2 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)
10.4.3 對面積的曲面積分的計(jì)算
習(xí)題10.4
10.5 對坐標(biāo)的曲面積分
10.5.1 有向曲面的概念
10.5.2 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)
10.5.3 對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算
10.5.4 兩類曲面積分之間的聯(lián)系
習(xí)題10.5
10.6 高斯公式 *通量與散度
10.6.1 高斯公式
*10.6.2 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件
*10.6.3 通量與散度
習(xí)題10.6
*10.7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度
10.7.1 斯托克斯公式
10.7.2 空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件
10.7.3 環(huán)流量與旋度
習(xí)題10.7
10.8 用Mathematica計(jì)算曲線積分和曲面積分
10.8.1 計(jì)算曲線積分
10.8.2 計(jì)算曲面積分
習(xí)題10.8
第9、10章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 中國人自己創(chuàng)立的學(xué)科——可拓學(xué)
第11章 微分方程
11.1 微分方程的基本概念與分離變量法
11.1.1 微分方程的基本概念
11.1.2 分離變量法
習(xí)題11.1
11.2 一階線性微分方程
11.2.1 一階齊次線性微分方程的解法
11.2.2 一階非齊次線性微分方程的解法
習(xí)題11.2
11.3 可降階的高階微分方程
11.3.1 y<sup>(n)</sup>=f(x)型的微分方程
11.3.2 y"=f(x,y')型的微分方程
11.3.3 y"=f(y,y')型的微分方程
習(xí)題11.3
11.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
習(xí)題11.4
11.5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
11.5.1 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)
11.5.2
f(x)=P<sub>m</sub>(x)e<sup>αx</sup>,其中P<sub>m</sub>(x)是m次多項(xiàng)式
11.5.3
f(x)=e<sup>αx</sup>(Acosβx+Bsinβx),其中α,β是實(shí)常數(shù)
習(xí)題11.5
*11.6 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用
11.6.1 人口預(yù)測模型
11.6.2 市場價(jià)格模型
11.6.3 混合溶液的數(shù)學(xué)模型
11.6.4 振動(dòng)模型
習(xí)題11.6
11.7 用Mathematica解常微分方程
習(xí)題11.7
第11章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 模糊數(shù)學(xué)概覽
第12章 無窮級(jí)數(shù)
12.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)
12.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念
12.1.2 無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)
習(xí)題12.1
12.2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法
12.2.1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法
12.2.2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法
12.2.3 絕對收斂與條件收斂
習(xí)題12.2
12.3 冪級(jí)數(shù)
12.3.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念
12.3.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性
12.3.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與和函數(shù)的性質(zhì)
習(xí)題12.3
12.4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
12.4.1 泰勒級(jí)數(shù)
12.4.2 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)
*12.4.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用
習(xí)題12.4
12.5 傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)
12.5.1 三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性
12.5.2 以2π為周期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)
12.5.3 [-π,π]或[0,π]上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)
習(xí)題12.5
*12.6 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)
習(xí)題12.6
12.7 用Mathematica進(jìn)行級(jí)數(shù)運(yùn)算
12.7.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
12.7.2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域
12.7.3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開
習(xí)題12.7
第12章分層次測試題
數(shù)學(xué)欣賞 數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)
部分習(xí)題參考答案
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   上述兩個(gè)例子代表了微積分中兩類典型問題，具有普遍的意義，其求解的思想方法就是微積分思想方法的具體體現(xiàn)。由此可以看到，與初等數(shù)學(xué)不同，高等數(shù)學(xué)不是個(gè)別地討論問題，而是普遍地解決問題。有了導(dǎo)數(shù)，就可以解決一批關(guān)于函數(shù)在某點(diǎn)變化快慢程度的問題；有了積分，就可以解決一批關(guān)于求函數(shù)的某區(qū)間變化大小的問題。其次，導(dǎo)數(shù)和積分分別是從局部和整體認(rèn)識(shí)同一事物的兩個(gè)方面。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)在一點(diǎn)處的變化情況的，僅與函數(shù)在該點(diǎn)附近局部性態(tài)有關(guān)；而積分則研究函數(shù)在一區(qū)間上的變化，與函數(shù)在該區(qū)間上的整體性態(tài)有關(guān)。雖然如此，它們的研究方法是類似的。在上面兩個(gè)例子中，采取的方法都是：在微小局部“以勻代非勻”，“以直代曲”，求得近似值，通過求極限轉(zhuǎn)化為精確值。這是微積分解決問題的基本思想方法，體現(xiàn)了通過矛盾的轉(zhuǎn)化解決矛盾的唯物辯證法的矛盾分析方法，與初等數(shù)學(xué)主要依據(jù)形式邏輯的推演方法有很大不同。 0．1．3 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的比較 從對微積分的兩個(gè)典型問題的討論我們已經(jīng)看到，微積分學(xué)研究的問題及處理問題所依據(jù)的基本觀念和基本方法具有不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，現(xiàn)概括如下： (1)貫穿基本問題討論中的一個(gè)基本觀點(diǎn)，就是變化的觀點(diǎn)。用變化的觀點(diǎn)去考察問題，從變化中去認(rèn)識(shí)解決問題。 如在速度問題的變化中，對于變速運(yùn)動(dòng)，從局部時(shí)間段內(nèi)的平均速度的變化中去理解和計(jì)算瞬時(shí)速度；在平面圖形面積計(jì)算中，從局部內(nèi)的直邊形去代替曲邊形。 (2)從變化的觀點(diǎn)出發(fā)研究問題，就是引入變量，了解變量的依賴關(guān)系，從變量之間的聯(lián)系去考察問題，這就決定了微積分主要研究的是變量和變量間關(guān)系即函數(shù)。與此相反，初等數(shù)學(xué)則主要研究常量，即固定不變的量。如代數(shù)中的解方程，所求的未知數(shù)是固定不變的量，幾何學(xué)上研究的是一些固定的、規(guī)則圖形。因此，初等數(shù)學(xué)基本上是常量數(shù)學(xué)，而微積分則屬于變量數(shù)學(xué)。 (3)在微積分中，經(jīng)常要處理矛盾，這些矛盾有的表現(xiàn)為曲與直的矛盾，變與不變的矛盾；有的表現(xiàn)為有限與無限，勻與不勻的矛盾等。解決這些矛盾的方法，首先是局部“以直代曲”，“以不變代變”，“以有限代無限”等，從而求得近似解答，最后歸結(jié)為近似與精確的矛盾。為了解決近似與精確的矛盾，通過極限方法實(shí)現(xiàn)從近似值到精確值的過渡。 (4)極限理論與方法是解決微積分基本問題的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。 0．1．4 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的方法 由于高等數(shù)學(xué)的研究對象和研究方法與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此，高等數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出概念更復(fù)雜、理論性更強(qiáng)、表達(dá)形式更加抽象和推理更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘@著特點(diǎn)。讀者在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)候應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材的內(nèi)容。一方面，要透過抽象的表達(dá)形式，深刻理解基本概念的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，正確領(lǐng)會(huì)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，另一方面，也要培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必須做一定數(shù)量的習(xí)題，做習(xí)題不僅是為了掌握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且可以幫助我們更好地理解概念、理論和思想方法。但是，讀者不應(yīng)該僅僅滿足于做題，更不能認(rèn)為，只要做了題，就算學(xué)好了數(shù)學(xué)．作為高校的大學(xué)生，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的是為了用數(shù)學(xué)。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，不僅要求我們掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要求我們會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)去解決實(shí)際問題。因此，我們應(yīng)當(dāng)逐步培養(yǎng)自己綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和興趣，培養(yǎng)建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析解決實(shí)際模型問題的能力，使自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)得到充分的發(fā)展和提高。在學(xué)習(xí)中還要提倡獨(dú)立鉆研，勤于思考，敢于大膽地提出問題，善于研究問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)造性思維和學(xué)習(xí)能力。 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，一定要善于利用計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)軟件包來完成一些典型的習(xí)題，一方面可以逐步培養(yǎng)我們用計(jì)算機(jī)及數(shù)學(xué)軟件包處理數(shù)學(xué)問題的能力，另一方面，可以提高對有關(guān)問題的感性認(rèn)識(shí)，加深對數(shù)學(xué)概念及方法的理解。因此，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基本概念及方法的同時(shí)，要特別注意數(shù)學(xué)軟件包的學(xué)習(xí)及使用。 最后，我們要談?wù)勅绾巫x數(shù)學(xué)書。讀數(shù)學(xué)書與讀其他書有明顯的差別，由于數(shù)學(xué)書在表達(dá)形式上的抽象性，這使得數(shù)學(xué)書往往有些難懂。讀者不能期望數(shù)學(xué)書一讀就懂，復(fù)雜的地方要反復(fù)讀和反復(fù)思考，甚至要讀到后面再返回來重讀才能真正理解。在讀數(shù)學(xué)書時(shí)要特別留意定義及定理的敘述。我們不主張單純記憶或背誦，但是，在理解的基礎(chǔ)上，適當(dāng)?shù)赜洃浺恍┗竟?、重要定義以及定理的條件與結(jié)論也是必要的。 為了加深理解，在讀數(shù)學(xué)書時(shí)，手邊放些草稿紙，邊讀邊做些練習(xí)或畫個(gè)草圖是非常有益的。數(shù)學(xué)書中為了突出重點(diǎn)或節(jié)省篇幅，經(jīng)常要省略一些推導(dǎo)或演算，有時(shí)會(huì)用“顯然”、“化簡”或“整理”之類的話放在某個(gè)結(jié)論之前。凡是對你來說并不是那么“顯然”的事實(shí)，或者你認(rèn)為有必要去驗(yàn)算的地方，不妨去試著補(bǔ)上自己的證明或計(jì)算，這對初學(xué)者加強(qiáng)對內(nèi)容的理解是一個(gè)很好練習(xí)。 學(xué)好數(shù)學(xué)并不是一件難事，只要你付出必要的努力，數(shù)學(xué)就不會(huì)是枯燥乏味的，數(shù)學(xué)不是一堆繁瑣無用的公式，掌握了它的真諦，就會(huì)給你增添智慧與力量。

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