線性代數(shù)核心思想及應用

內容概要

這本《線性代數(shù)核心思想及應用》由王卿文編著，運用矩陣論研究的新成果對線性代數(shù)中的行列式、矩陣論、線性方程組、多項式、二次型、線性空間和線性變換的理論及應用進行綜合研究，以展示線性代數(shù)的核心思想及處理線性代數(shù)問題的簡捷、有效、實用的核心技術。本書還特別研究了一般教科書中難以展開討論的若干重要內容，精心設計和選編了難度相當或略高于碩士研究生入學考試的典型、實用而新穎的
282道例題和141個習題，以此向讀者展示線性代數(shù)核心思想和技術的具體應用。書末附有詳細的習題答案。
《線性代數(shù)核心思想及應用》可供理工科專業(yè)的大學生、研究生、高校數(shù)學教師以及使用線性代數(shù)和矩陣論知識的科技工作者閱讀使用。特別適合參加碩士研究生入學考試的考生以及參加大學生數(shù)學競賽的學生參考。

作者簡介

王卿文，男，1964年生，中國科學技術大學基礎數(shù)學博士研究生畢業(yè)并獲理學博士學位?，F(xiàn)任上海大學數(shù)學系教授、博士生導師、系主任。擔任歐洲數(shù)學會Zentralblatt
Math評論員、美國數(shù)學評論員、中國線性代數(shù)學會理事、中國高等教育學會教育數(shù)學專業(yè)委員會常務理事、上海市數(shù)學會理事；美國、加拿大等主辦的13個國際數(shù)學期刊編委；獲國家曾憲梓教育基金會高校教師獎2等獎、全國寶鋼優(yōu)秀教師獎、上海大學教學名師等榮譽稱號。
主要從事矩陣代數(shù)及其在信息處理中的應用研究，已出版學術著作4部，在國際專業(yè)數(shù)學期刊上發(fā)表SCI等國際三大檢索收錄的學術論文80多篇；負責國際合作項目、國家自然科學基金項目、教育部博士點基金項目和上海市自然科學基金項目等15項。10次在大型國際學術會議上作大會報告和特邀報告，多次擔任大會的組織委員和程序委員。
曾受邀多次在新加坡國立大學、荷蘭Delft理工大學、新加坡南洋理工大學等科學合作研究。
主持國家科技部教學創(chuàng)新項目2項、主持上海市精品課程高等代數(shù)。已培養(yǎng)博士12名、碩士16名，所培養(yǎng)的博士曾獲上海市優(yōu)秀博士論文。

書籍目錄

《大學數(shù)學科學叢書》序
前言
符號說明
第1章  行列式
  1.1 行列式的定義、性質與公式
    1.1.1 行列式的定義
    1.1.2 行列式的性質
    1.1.3 行列式中的常用公式
    1.1.4 判斷行列式是否為零的常用方法
  1.2 定義法
  1.3 化三角形法
    1.3.1 對角線以下(上)的元素與某行(列)對應元素成比例
    1.3.2 行列式各行(列)元素的和都相同
    1.3.3 行列式的行(列)遞進轉化
  1.4 Vandermoncle行列式法
    1.4.1 利用性質將行列式化成Vandermonde行列式
    1.4.2 行列式的元素為乘積之和或能展成乘積之和
    1.4.3 行列式形似’Vander-monde行列式但變量缺少一方冪
    1.4.4 Vandermonde行列式在數(shù)學分析中的應用
  1.5 分裂行列式法
    1.5.1 拆成和
    1.5.2 拆成積
  1.6 加邊法
  1.7 降階法
    1.7.1 造零法
    1.7.2 利用行列式的降階定理計算行列式
  1.8 遞推法
    1.8.1 直接遞推法
    1.8.2 間接遞推法
  1.9 數(shù)學歸納法
  1.10 作輔助行列式法
  習題1
第2章  矩陣理論
  2.1 標準單位向量及其應用
  2.2 分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩
    2.2.1 矩陣的初等變換與分塊矩陣的初等變換.
    2.2.2 矩陣秩的求法
    2.2.3 矩陣秩的等式與不等式
  2.3 可逆矩陣與伴隨矩陣
    2.3.1 逆矩陣
    2.3.2 伴隨矩陣
  2.4 矩陣的三種等價關系
    2.4.1 三種等價關系的定義
    2.4.2 性質
  2.5 矩陣的特征值、特征向量與對角化
    2.5.1 矩陣的特征值與特征多項式
    2.5.2 矩陣的跡(trace)
    2.5.3 矩陣的最小多項式
    2.5.4 矩陣的對角化
  2.6 多項式矩陣的Smith標準形及其應用
    2.6.1 多項式矩陣及其行列式
    2.6.2 多項式矩陣的初等變換與初等矩陣
    2.6.3 多項式矩陣的Smith標準形
    2.6.4 同時求矩陣的特征根和特征向量及可對角化判定
  2.7 矩陣的分解
    2.7.1 矩陣的積因子分解
    2.7.2 和因子分解
  2.8 幾種特殊的矩陣
    2.8.1 準對角矩陣
    2.8.2 上(下)三角陣
    2.8.3 對稱矩陣與反對稱矩陣
    2.8.4 冪等矩陣
    2.8.5 冪零矩陣
    2.8.6 對合矩陣
    2.8.7 正交矩陣
  習題2
第3章  線性方程組
  3.1 Cramer法則
  3.2 齊次線性方程組
    3.2.1 齊次線性方程組有非零解的充要條件
    3.2.2 齊次線性方程組的基礎解系及其有關證明
    3.2.3 齊次線性方程組的反問題
    3.2.4 基礎解系的簡便求法
  3.3 非齊次線性方程組
    3.3.1 線性方程組有解的判別定理
    3.3.2 非齊次線性方程組解的結構-
    3.3.3 非齊次線性方程組的簡便解法
  習題3
第4章  多項式
  4.1 多項式的整除
    4.1.1 帶余除法
    4.1.2 整除的定義及性質-
  4.2 最大公因式與最小公倍式
    4.2.1 最大公因式的定義與性質
    4.2.2 多項式的互素
    4.2.3 最小公倍式
    4.2.4 多項式最大公因式與最小公倍式的矩陣求法
  4.3 不可約多項式與因式分解
    4.3.1 不可約多項式
    4.3.2 因式分解
  4.4 多項式函數(shù)與多項式的根
    4.4.1 多項式函數(shù)
    4.4.2 多項式的根
    4.4.3 多項式的根與系數(shù)的關系
    4.4.4 n次單位根
    4.4.5 有理根
  習題4
第5章  二次型理論
  5.1 二次型的基礎理論
    5.1.1 二次型線性空間與對稱矩陣空間同構
    5.1.2 二次型的標準形
    5.1.3 二次型的規(guī)范形f或正規(guī)形)
  5.2 正定二次型
    5.2.1 正定、半正定、負定、半負定及不定二次型的定義
    5.2.2 正定矩陣等的判定
    5.2.3 關于正定矩陣的一些重要結論
    5.2.4 正定與半正定矩陣的應用
  習題5
第6章  線性空間
  6.1 線性空間
    6.1.1 線性空間的定義
    6.1.2 線性空間的簡單性質
  6.2 向量的線性關系
    6.2.1 線性組合與線性表示
    6.2.2 線性相關與線性無關
    6.2.3 向量組的等價
    6.2.4 極大線性無關組
    6.2.5 Fn中向量線性關系的計算問題
    6.2.6 一般線性空間中向量組的極大無關組的求法
  6.3 基、維數(shù)、坐標
    6.3.1 基、維數(shù)、坐標
    6.3.2 基變換與坐標變換
  6.4 子空間及其交與和
    6.4.1 子空間
    6.4.2 生成子空間
    6.4.3 子空間的交與和
    6.4.4 同時求生成子空間交與和的基
    6.4.5 子空間的直和
    6.4.6 余子空間
  6.5 歐氏空間
    6.5.1 向量的內積
    6.5.2 度量矩陣與標準正交基
    6.5.3 Schmidt標準正交化過程
    6.5.4 Rm中向量組的標準正交化與矩陣的正交三角分解
    6.5.5 歐氏空間的子空間
  6.6 線性空間的同構
    6.6.1 同構映射與線性空間同構的定義
    6.6.2 同構映射的性質
  習題6
第7章  線性變換
  7.1 線性變換的定義、運算與矩陣
    7.1.1 線性變換的定義及其性質
    7.1.2 線性變換的運算
    7.1.3 線性變換的矩陣
    7.1.4 線性變換的核與值域
  7.2 不變子空間、特征根與特征向量
    7.2.1 不變子空間
    7.2.2 線性變換的特征根與特征向量
    7.2.3 特征子空間
    7.2.4 線性變換的對角化
  7.3 正交變換、對稱變換與反對稱變換
    7.3.1 正交變換
    7.3.2 對稱變換
    7.3.3 反對稱變換
    7.3.4 正交變換、對稱變換及反對稱變換的關系
  7.4 線性變換與矩陣一一對應的應用
    7.4.1 用矩陣理論證明線性變換的問題
    7.4.2 用線性變換的理論證明矩陣問題
    7.4.3 矩陣和線性變換交替使用
  習題7
習題答案與提示
參考文獻
索引
《大學數(shù)學科學叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

版權頁:第1章  行  列  式行列式是代數(shù)學中的一個基本概念，它不僅是討論線性方程組理論的有力工具，而且還廣泛地應用于數(shù)學及其他科學技術領域，行列式的計算是行列式中的主要內容，本章重點介紹計算一般階行列式的主要方法與技巧：定義法、化三角形法、Vandermonde(范德蒙德)行列式法、分裂行列式法、加邊法、降階法、遞推法、數(shù)學歸納法、作輔助行列式法。

編輯推薦

《線性代數(shù)核心思想及應用》●站在學術前沿研究經典內容●深層剖析線性代數(shù)理論難點●重點突顯線性代數(shù)核心思想●詳盡展示線性代數(shù)核心技術●充分體現(xiàn)與其他學科的聯(lián)系●精設豐富的典型例題與習題

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