隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用

內(nèi)容概要

厄克森達(dá)爾編著的《隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用（第6版）》的主要內(nèi)容包括Ito積分和鞅表示定理、隨機(jī)微分方程、濾波問題、擴(kuò)散理論的基本性質(zhì)和其他的論題、在邊界值問題中的應(yīng)用、在最優(yōu)停時方面的應(yīng)用、在隨機(jī)控制領(lǐng)域中的應(yīng)用及數(shù)理金融中的應(yīng)用。
《隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用（第6版）》可供理工和金融管理類的高年級本科生及研究生閱讀，也可作為數(shù)學(xué)系高年級本科生及研究生的教材或科研工作者的參考用書。

作者簡介

作者：(挪威)厄克森達(dá)爾(Bernt ?ksendal) 譯者：劉金山 吳付科

書籍目錄

第6版第4次印刷前言
第6版第3次印刷前言
第6版前言
第5版校正印刷前言
第5版前言
第4版前言
第3版前言
第2版前言
第1版前言
第1章  導(dǎo)言
  1.1  典型微分方程的隨機(jī)模擬
  1.2  濾波問題
  1.3  確定性邊界值問題的隨機(jī)方法
  1.4  最優(yōu)停時
  1.5  隨機(jī)控制
  1.6  數(shù)理金融學(xué)
第2章  數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
  2.1  概率空間，隨機(jī)變量和隨機(jī)過程
  2.2  一個重要例子：布朗運(yùn)動
  練習(xí)
第3章  Ito積分
  3.1  Ito積分的構(gòu)造
  3.2  Ito積分的性質(zhì)
  3.3  Ito積分的擴(kuò)張
  練習(xí)
第4章  Ito公式和鞅表示定理
  4.1 1維Ito公式
  4.2  多維的Ito公式
  4.3  鞅表示定理
  練習(xí)
第5章  隨機(jī)微分方程
  5.1  例子和某些求解方法
  5.2  存在唯一性
  5.3  弱解和強(qiáng)解
  練習(xí)
第6章  濾波問題
  6.1  引言
  6.2  1維的線性濾波問題
  6.3  高維線性濾波問題
  練習(xí)
第7章  擴(kuò)散過程：基本性質(zhì)
  7.1  Markov性
  7.2  強(qiáng)Markov性
  7.3  Ito擴(kuò)散的生成元
  7.4  Dynkin公式
  7.5  特征算子
  練習(xí)
第8章  擴(kuò)散理論的其他論題
  8.1  Kolmogorov后向方程，預(yù)解式
  8.2  Feynman—Kac公式，消滅
  8.3  鞅問題
  8.4  Ito過程什么時候是擴(kuò)散過程
  8.5  隨機(jī)時變
  8.6  Gianov定理
  練習(xí)
第9章  在邊界值問題中的應(yīng)用
  9.1  組合Dirichlet—Poisson問題，唯一性
  9.2  Dirichlet問題，正則點
  9.3  Poisson問題
  練習(xí)
第10章  在最優(yōu)停時方面的應(yīng)用
  10.1  時齊情形
  10.2  非時齊的情形
  10.3  含積分的最優(yōu)停時問題
  10.4  與變分不等式的聯(lián)系
  練習(xí)
第11章  在隨機(jī)控制方面的應(yīng)用
  11.1  問題的陳述
  11.2  Hamilton—Jacobi—Bellman方程
  11.3  帶終端條件的隨機(jī)控制問題
  練習(xí)
第12章  在數(shù)理金融學(xué)中的應(yīng)用
  12.1  市場，證券組合和套利
  12.2  可達(dá)性與完備性
  12.3  期權(quán)定價
  練習(xí)
附錄A  正態(tài)隨機(jī)變量
附錄B  條件期望
附錄C  一致可積性與鞅收斂
附錄D  一個逼近結(jié)果
某些練習(xí)的附加提示和解答
參考文獻(xiàn)
常用符號及記號
索引
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書目

章節(jié)摘錄

第1章導(dǎo)言 為了使讀者確信隨機(jī)微分方程是一門重要的學(xué)科，先提出下面的一些問題。 1.1 典型微分方程的隨機(jī)模擬 如果認(rèn)為微分方程的某些系數(shù)是隨機(jī)的，則可得到更為現(xiàn)實的數(shù)學(xué)模型。問題1考慮簡單的人口增長模型 dN dt =a（t）N（t）；N（0）=N0（常數(shù)）；（1.1.1） 這里N（t）是t時刻的人口數(shù)量，a（t）是t時刻的相對人口增長率.在某些隨機(jī)的環(huán) 境影響下，a（t）可能并不是完全知道的。故此可設(shè) a（t）=r（t）+“噪聲”； 這里我并不知道噪聲項的具體表現(xiàn)，但知道它的概率分布，而函數(shù)r（t）假定為非 隨機(jī)的。在這個情形，如何求解方程（1.1.1）？ 問題2在一個電路中，某一固定點在t時刻的電荷Q（t）滿足下面的微分 方程： LQ00（t）+RQ0（t）+ 1 C Q（t）=F（t）；Q（0）=Q0；Q0（0）=I0；（1.1.2） 這里L(fēng)是感應(yīng)系數(shù)，R是電阻，C是電容，F(xiàn)（t）是t時刻的電勢.同理，在某些情形 下，某些系數(shù)，比如說F（t）并不是確定性的，而有下面的形式： F（t）=G（t）+“噪聲”；（1.1.3） 這時如何解（1.1.2）？更一般地，在微分方程的系數(shù)隨機(jī)化后得到的方程稱為隨機(jī)微分方程。以后有 更精確的定義。顯然，一個隨機(jī)微分方程的任何解都一定包含某種隨機(jī)性，因此，我 們僅希望能對解的概率分布做點事情。1.2 濾波問題 問題3為了更深入了解關(guān)于問題2的解的知識，假設(shè)在s6t時，通過觀察 得到Q（s）的監(jiān)測值Z（s），然而，由于測量的不精確性，不能真正地測量到Q（s），只 能得到它的一個擾動： Z（s）=Q（s）+“噪聲”；（1.2.1） 因此，這時候有兩個噪聲來源，而第二個來源于測量的誤差。濾波問題是：當(dāng)s6t，在（1.2.1）中觀察到Z（s）時，滿足方程（1.1.2）的Q（t） 的最佳估計是什么？直觀地，是要用最優(yōu)的方法把觀察值中的“噪聲”項“濾”掉。Kalman在1960年及Kalman與Bucy在1961年證明了著名的Kalman-Bucy 濾波器，基本上，在觀察到一系列“噪聲”的前提下，該濾波器給出了滿足帶噪聲的 線性微分方程的系統(tǒng)狀態(tài)的評估方法.該發(fā)現(xiàn)很快就被應(yīng)用到了航空工業(yè)上，現(xiàn)在 得到了更廣泛的應(yīng)用，因此Kalman-Bucy濾波器提供了一個最新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)被證 明是有用的例子，而不僅是“潛在”有用.它也是“應(yīng)用數(shù)學(xué)是壞數(shù)學(xué)”及“唯一真 正有用的數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”的一個鮮明的反例.Kalman-Bucy濾波器與整個隨機(jī)微 分方程是先進(jìn)的、有趣的、一流的數(shù)學(xué)課程。1.3 確定性邊界值問題的隨機(jī)方法 問題4最具轟動性的例子是Dirichlet問題的隨機(jī)解：給定Rn中的一個區(qū) 域U及其邊界@U和邊界@U上的連續(xù)函數(shù)f.求一個在U的閉包1U上連續(xù)的 函數(shù)～f滿足： （i）～f=f，在邊界@U上成立。（ii）～f在U上是調(diào)和的，即在U上有 ￠～f:= X@2～f @x2 i =0: 1944年，Kakutani證明了它的解能用布朗運(yùn)動（在第2章給出構(gòu)造）表示：～f（x） 是初始點為x2U的布朗運(yùn)動首次逸出區(qū)域U的邊界點的函數(shù)值f的期望值。好像冰山的尖端開始融化了一樣，對大部分類型的半橢圓型二階偏微分方程，相應(yīng)的Dirichlet邊值問題能通過相應(yīng)的隨機(jī)微分方程的解來解決。1.4 最優(yōu)停時 問題5假定某人計劃賣掉一個資產(chǎn)或資源（如房屋、股票、石油等），在開放 的市場上，他的資產(chǎn)在t時刻的價格Xt的變化滿足問題1的隨機(jī)微分方程： dXt dt =rXt+?Xt￠“噪聲”； 這里r；?為已知的常數(shù)，折現(xiàn)率為已知常數(shù)?，那么在什么時候賣掉該資產(chǎn)為最好？ 假設(shè)知道現(xiàn)在時刻t以前的資產(chǎn)的過去表現(xiàn)Xs，但是由于系統(tǒng)中的噪聲，當(dāng)然 無法確信選擇賣的時間是否為最優(yōu)的.因此要找一個停時策略，在長期運(yùn)行中它應(yīng) 該是最好的結(jié)果，即把通脹考慮進(jìn)去以后的最大化期望利潤.這是一個最優(yōu)停時問 題，它的解能由相應(yīng)的邊界值問題4的解來表達(dá).非邊界是未知的（自由邊界），此 時就有另外兩個邊界條件，它也可由一系列變分不等式來表達(dá)出來。1.5 隨機(jī)控制 問題6（最優(yōu)證券組合問題）假設(shè)某人有兩個投資可能性： （i）無風(fēng)險投資（如債券），在t時刻每單位的價格X0（t）按指數(shù)增長： dX0 dt =?X0；（1.5.1） 這里?>0為常數(shù). （ii）有風(fēng)險的投資（如股票）.在t時刻每單位的價格X1（t）滿足前面討論的問 題1類型的隨機(jī)微分方程： dX1 dt =（1+?￠\噪聲"）X1；（1.5.2） 這里1>?；?2Rnf0g，1與?為常數(shù)。在每個時刻t，該投資者選擇他的財富Vt中多大的比例ut用于風(fēng)險投資，從 而（1?ut）Vt用于無風(fēng)險投資.給定效用函數(shù)U和終端時刻T，該投資問題是找到 一個最優(yōu)證券組合ut2[0；1]，即找到投資分布ut，06t6T，使終端時刻的財富 V（u） T的期望效用為最大： max 06ut61 n E h U（V（u） T） io :（1.5.3） 1.6 數(shù)理金融學(xué) 問題7（期權(quán)定價）假定在t=0時，問題6中的個體投資者持有一個權(quán)力（但 非義務(wù)）：在將來的某個時刻t=T，有權(quán)力以特殊的價格K購買一單位風(fēng)險資產(chǎn)，該權(quán)力被稱為一個歐式看漲期權(quán)，該投資者愿意花多少錢去購買這個期權(quán)？Fischer  Black與MyronScholes（1973）利用隨機(jī)分析和均衡理論計算了該期權(quán)價格的理論 值，即現(xiàn)在著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式，從而解決了該問題.該理論值與已 在自由市場中的均衡價格高度統(tǒng)一，因此它代表了數(shù)學(xué)模型在金融中的偉大勝利。 在期權(quán)的交易和其他金融衍生證券中，它成為必不可少的工具，1997年，由于期權(quán) 定價公式及其相關(guān)的工作，MyronScholes和RobertMorton被授予了諾貝爾經(jīng)濟(jì) 學(xué)獎（FischerBlack死于1995年），在介紹了必要的數(shù)學(xué)理論之后，后面的幾章中再來探討這些問題，在第5章 中解決問題1與問題2.濾波問題（包括問題3）將在第6章中處理.廣義化的 Dirichlet問題（問題4）在第9章中得到解決，問題5在第10章中得到解決，而隨 機(jī)控制問題（問題6）在第11章中討論.最后在第12章中，討論它們在數(shù)理金融中 的應(yīng)用。第2章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 概率空間，隨機(jī)變量和隨機(jī)過程 為了說明將要解決的問題，有必要介紹問題中的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)數(shù)量的數(shù)學(xué)概 念，簡而言之，下面是需要進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋的一些概念的一個列表： （1）隨機(jī)數(shù)； （2）獨立性； （3）一系列隨機(jī)數(shù)的參數(shù)化（離數(shù)或連續(xù)）； （4）在濾波問題（問題3）中“最佳”估計是什么意思？ （5）“依賴”于某些觀察值的估計是什么意思（問題3）？ （6）“噪聲”的數(shù)學(xué)解釋是什么？ （7）隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)解釋是什么？ 本章簡單地討論一下（1）?（3），下一章考慮（6）而由此導(dǎo)出It^o隨機(jī)積分概念 （7），在第6章將考慮（4）和（5）。隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型是隨機(jī)變量，在給出定義之前，回顧一般概率論的某些概念，如想知道更多的數(shù)學(xué)知識，讀者可參考文獻(xiàn)（Williams，1991）。定義2.1.1給定集合-，那么-上的?代數(shù)F是由-的某些子集構(gòu)成的 集族且具有下列性質(zhì)： （1）?2F； （2）F2F）FC2F，這里FC=-nF是F在-中的余集； （3）A1；A2；￠￠￠2F）A:= 1S i=1 Ai2F. 稱（-；F）為一個可測空間，一個可測空間（-；F）上的概率測度P是一個函數(shù)P: F![0；1]，使得 （a）P（?）=0；P（-）=1； （b）如果A1；A2；￠￠￠2F且fAig1 i=1是互不相交（即Ai\Aj=?；i6=j），那么 P μ1[ i=1 Ai ? = 1X i=1 P（Ai）: 稱（-；F；P）為一個概率空間，如果F包括了-中P外測度為零的所有子集，即 P¤（G）:=inffP（F）：F2F；G?Fg=0； 則稱（-；F；P）為完備的概率空間，所有的概率空間都可通過把所有的外測度為零 的集加入F中且相應(yīng)地延拓P的定義域，即可得到完備化的概率空間，從現(xiàn)在起，假定所有的概率空間都是完備的。對-中的某一子集F，如果F屬于F，則稱F為F可測集.在概率上稱之為 事件，利用下面的解釋： P（F）=“事件F發(fā)生的概率”； 特別，如果P（F）=1，則說“F以概率1發(fā)生”或者“幾乎必然（a:s:）”。對給定的-的一個集族U，存在一個包含U的最小的?代數(shù)HU，即 HU=\fH：H為-上的?代數(shù)；U?Hg （見練習(xí)2.3），稱HU是由U生成的?代數(shù)。例如，U是拓?fù)淇臻g-的所有開子集構(gòu)成的集合（如-=Rn），那么B=HU 稱為-上的Borel?代數(shù)，對任意元素B2B稱為Borel可測集，B包含所有的開 子集、所有的閉子集、所有的可數(shù)個閉子集的并集，及所有的可數(shù)個這種并集的交 集等等。設(shè)（-；F；P）是給定的概率空間，那么函數(shù)Y：-!Rn稱為F可測的，如果 Y?1（U）:=f!2-；Y（!）2Ug2F 對所有的開集U2Rn（或等價地，對所有的Borel集U2Rn）成立，若X：-!Rn是任一函數(shù)，那么由X生成的?代數(shù)HX是-上的包含所 有形如X?1（U）；U2Rn為開集的最小?代數(shù)，不難證明 HX=fX?1（B）；B2Bg； 這里B是Rn上的Borel?代數(shù)，顯然X是HX可測的，而HX是具有上述性質(zhì) 的最小的?代數(shù)。下面的結(jié)論是有用的，它是Doob-Dynkin引理（Rao，1984）的一個特殊情形。引理2.1.2如果X；Y：-!Rn是兩個給定的函數(shù)，Y為HX可測的充要 條件是存在一個Borel可測函數(shù)g：Rn!Rn使得 Y=g（X）: 下面，設(shè)（-；F；P）是一個給定的完備概率空間，一個隨機(jī)變量X是一個F可 測函數(shù)X：-!Rn.每個隨機(jī)變量誘導(dǎo)了一個Rn上的概率測度1X，定義為 1X（B）=P（X?1（B））。

圖書封面

圖書標(biāo)簽Tags

無

評論、評分、閱讀與下載

---

    隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用 PDF格式下載

---