隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用

內(nèi)容概要

厄克森達(dá)爾編著的《隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用（第6版）》的主要內(nèi)容包括Ito積分和鞅表示定理、隨機(jī)微分方程、濾波問(wèn)題、擴(kuò)散理論的基本性質(zhì)和其他的論題、在邊界值問(wèn)題中的應(yīng)用、在最優(yōu)停時(shí)方面的應(yīng)用、在隨機(jī)控制領(lǐng)域中的應(yīng)用及數(shù)理金融中的應(yīng)用。
《隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用（第6版）》可供理工和金融管理類的高年級(jí)本科生及研究生閱讀，也可作為數(shù)學(xué)系高年級(jí)本科生及研究生的教材或科研工作者的參考用書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

作者：(挪威)厄克森達(dá)爾(Bernt ?ksendal) 譯者：劉金山 吳付科

書(shū)籍目錄

第6版第4次印刷前言
第6版第3次印刷前言
第6版前言
第5版校正印刷前言
第5版前言
第4版前言
第3版前言
第2版前言
第1版前言
第1章  導(dǎo)言
  1.1  典型微分方程的隨機(jī)模擬
  1.2  濾波問(wèn)題
  1.3  確定性邊界值問(wèn)題的隨機(jī)方法
  1.4  最優(yōu)停時(shí)
  1.5  隨機(jī)控制
  1.6  數(shù)理金融學(xué)
第2章  數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
  2.1  概率空間，隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程
  2.2  一個(gè)重要例子：布朗運(yùn)動(dòng)
  練習(xí)
第3章  Ito積分
  3.1  Ito積分的構(gòu)造
  3.2  Ito積分的性質(zhì)
  3.3  Ito積分的擴(kuò)張
  練習(xí)
第4章  Ito公式和鞅表示定理
  4.1 1維Ito公式
  4.2  多維的Ito公式
  4.3  鞅表示定理
  練習(xí)
第5章  隨機(jī)微分方程
  5.1  例子和某些求解方法
  5.2  存在唯一性
  5.3  弱解和強(qiáng)解
  練習(xí)
第6章  濾波問(wèn)題
  6.1  引言
  6.2  1維的線性濾波問(wèn)題
  6.3  高維線性濾波問(wèn)題
  練習(xí)
第7章  擴(kuò)散過(guò)程：基本性質(zhì)
  7.1  Markov性
  7.2  強(qiáng)Markov性
  7.3  Ito擴(kuò)散的生成元
  7.4  Dynkin公式
  7.5  特征算子
  練習(xí)
第8章  擴(kuò)散理論的其他論題
  8.1  Kolmogorov后向方程，預(yù)解式
  8.2  Feynman—Kac公式，消滅
  8.3  鞅問(wèn)題
  8.4  Ito過(guò)程什么時(shí)候是擴(kuò)散過(guò)程
  8.5  隨機(jī)時(shí)變
  8.6  Gianov定理
  練習(xí)
第9章  在邊界值問(wèn)題中的應(yīng)用
  9.1  組合Dirichlet—Poisson問(wèn)題，唯一性
  9.2  Dirichlet問(wèn)題，正則點(diǎn)
  9.3  Poisson問(wèn)題
  練習(xí)
第10章  在最優(yōu)停時(shí)方面的應(yīng)用
  10.1  時(shí)齊情形
  10.2  非時(shí)齊的情形
  10.3  含積分的最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題
  10.4  與變分不等式的聯(lián)系
  練習(xí)
第11章  在隨機(jī)控制方面的應(yīng)用
  11.1  問(wèn)題的陳述
  11.2  Hamilton—Jacobi—Bellman方程
  11.3  帶終端條件的隨機(jī)控制問(wèn)題
  練習(xí)
第12章  在數(shù)理金融學(xué)中的應(yīng)用
  12.1  市場(chǎng)，證券組合和套利
  12.2  可達(dá)性與完備性
  12.3  期權(quán)定價(jià)
  練習(xí)
附錄A  正態(tài)隨機(jī)變量
附錄B  條件期望
附錄C  一致可積性與鞅收斂
附錄D  一個(gè)逼近結(jié)果
某些練習(xí)的附加提示和解答
參考文獻(xiàn)
常用符號(hào)及記號(hào)
索引
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)譯叢》已出版書(shū)目

章節(jié)摘錄

第1章導(dǎo)言 為了使讀者確信隨機(jī)微分方程是一門(mén)重要的學(xué)科，先提出下面的一些問(wèn)題。 1.1 典型微分方程的隨機(jī)模擬 如果認(rèn)為微分方程的某些系數(shù)是隨機(jī)的，則可得到更為現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題1考慮簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型 dN dt =a（t）N（t）；N（0）=N0（常數(shù)）；（1.1.1） 這里N（t）是t時(shí)刻的人口數(shù)量，a（t）是t時(shí)刻的相對(duì)人口增長(zhǎng)率.在某些隨機(jī)的環(huán) 境影響下，a（t）可能并不是完全知道的。故此可設(shè) a（t）=r（t）+“噪聲”； 這里我并不知道噪聲項(xiàng)的具體表現(xiàn)，但知道它的概率分布，而函數(shù)r（t）假定為非 隨機(jī)的。在這個(gè)情形，如何求解方程（1.1.1）？ 問(wèn)題2在一個(gè)電路中，某一固定點(diǎn)在t時(shí)刻的電荷Q（t）滿足下面的微分 方程： LQ00（t）+RQ0（t）+ 1 C Q（t）=F（t）；Q（0）=Q0；Q0（0）=I0；（1.1.2） 這里L(fēng)是感應(yīng)系數(shù)，R是電阻，C是電容，F(xiàn)（t）是t時(shí)刻的電勢(shì).同理，在某些情形 下，某些系數(shù)，比如說(shuō)F（t）并不是確定性的，而有下面的形式： F（t）=G（t）+“噪聲”；（1.1.3） 這時(shí)如何解（1.1.2）？更一般地，在微分方程的系數(shù)隨機(jī)化后得到的方程稱為隨機(jī)微分方程。以后有 更精確的定義。顯然，一個(gè)隨機(jī)微分方程的任何解都一定包含某種隨機(jī)性，因此，我 們僅希望能對(duì)解的概率分布做點(diǎn)事情。1.2 濾波問(wèn)題 問(wèn)題3為了更深入了解關(guān)于問(wèn)題2的解的知識(shí)，假設(shè)在s6t時(shí)，通過(guò)觀察 得到Q（s）的監(jiān)測(cè)值Z（s），然而，由于測(cè)量的不精確性，不能真正地測(cè)量到Q（s），只 能得到它的一個(gè)擾動(dòng)： Z（s）=Q（s）+“噪聲”；（1.2.1） 因此，這時(shí)候有兩個(gè)噪聲來(lái)源，而第二個(gè)來(lái)源于測(cè)量的誤差。濾波問(wèn)題是：當(dāng)s6t，在（1.2.1）中觀察到Z（s）時(shí)，滿足方程（1.1.2）的Q（t） 的最佳估計(jì)是什么？直觀地，是要用最優(yōu)的方法把觀察值中的“噪聲”項(xiàng)“濾”掉。Kalman在1960年及Kalman與Bucy在1961年證明了著名的Kalman-Bucy 濾波器，基本上，在觀察到一系列“噪聲”的前提下，該濾波器給出了滿足帶噪聲的 線性微分方程的系統(tǒng)狀態(tài)的評(píng)估方法.該發(fā)現(xiàn)很快就被應(yīng)用到了航空工業(yè)上，現(xiàn)在 得到了更廣泛的應(yīng)用，因此Kalman-Bucy濾波器提供了一個(gè)最新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)被證 明是有用的例子，而不僅是“潛在”有用.它也是“應(yīng)用數(shù)學(xué)是壞數(shù)學(xué)”及“唯一真 正有用的數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”的一個(gè)鮮明的反例.Kalman-Bucy濾波器與整個(gè)隨機(jī)微 分方程是先進(jìn)的、有趣的、一流的數(shù)學(xué)課程。1.3 確定性邊界值問(wèn)題的隨機(jī)方法 問(wèn)題4最具轟動(dòng)性的例子是Dirichlet問(wèn)題的隨機(jī)解：給定Rn中的一個(gè)區(qū) 域U及其邊界@U和邊界@U上的連續(xù)函數(shù)f.求一個(gè)在U的閉包1U上連續(xù)的 函數(shù)～f滿足： （i）～f=f，在邊界@U上成立。（ii）～f在U上是調(diào)和的，即在U上有 ￠～f:= X@2～f @x2 i =0: 1944年，Kakutani證明了它的解能用布朗運(yùn)動(dòng)（在第2章給出構(gòu)造）表示：～f（x） 是初始點(diǎn)為x2U的布朗運(yùn)動(dòng)首次逸出區(qū)域U的邊界點(diǎn)的函數(shù)值f的期望值。好像冰山的尖端開(kāi)始融化了一樣，對(duì)大部分類型的半橢圓型二階偏微分方程，相應(yīng)的Dirichlet邊值問(wèn)題能通過(guò)相應(yīng)的隨機(jī)微分方程的解來(lái)解決。1.4 最優(yōu)停時(shí) 問(wèn)題5假定某人計(jì)劃賣(mài)掉一個(gè)資產(chǎn)或資源（如房屋、股票、石油等），在開(kāi)放 的市場(chǎng)上，他的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格Xt的變化滿足問(wèn)題1的隨機(jī)微分方程： dXt dt =rXt+?Xt￠“噪聲”； 這里r；?為已知的常數(shù)，折現(xiàn)率為已知常數(shù)?，那么在什么時(shí)候賣(mài)掉該資產(chǎn)為最好？ 假設(shè)知道現(xiàn)在時(shí)刻t以前的資產(chǎn)的過(guò)去表現(xiàn)Xs，但是由于系統(tǒng)中的噪聲，當(dāng)然 無(wú)法確信選擇賣(mài)的時(shí)間是否為最優(yōu)的.因此要找一個(gè)停時(shí)策略，在長(zhǎng)期運(yùn)行中它應(yīng) 該是最好的結(jié)果，即把通脹考慮進(jìn)去以后的最大化期望利潤(rùn).這是一個(gè)最優(yōu)停時(shí)問(wèn) 題，它的解能由相應(yīng)的邊界值問(wèn)題4的解來(lái)表達(dá).非邊界是未知的（自由邊界），此 時(shí)就有另外兩個(gè)邊界條件，它也可由一系列變分不等式來(lái)表達(dá)出來(lái)。1.5 隨機(jī)控制 問(wèn)題6（最優(yōu)證券組合問(wèn)題）假設(shè)某人有兩個(gè)投資可能性： （i）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資（如債券），在t時(shí)刻每單位的價(jià)格X0（t）按指數(shù)增長(zhǎng)： dX0 dt =?X0；（1.5.1） 這里?>0為常數(shù). （ii）有風(fēng)險(xiǎn)的投資（如股票）.在t時(shí)刻每單位的價(jià)格X1（t）滿足前面討論的問(wèn) 題1類型的隨機(jī)微分方程： dX1 dt =（1+?￠\噪聲"）X1；（1.5.2） 這里1>?；?2Rnf0g，1與?為常數(shù)。在每個(gè)時(shí)刻t，該投資者選擇他的財(cái)富Vt中多大的比例ut用于風(fēng)險(xiǎn)投資，從 而（1?ut）Vt用于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資.給定效用函數(shù)U和終端時(shí)刻T，該投資問(wèn)題是找到 一個(gè)最優(yōu)證券組合ut2[0；1]，即找到投資分布ut，06t6T，使終端時(shí)刻的財(cái)富 V（u） T的期望效用為最大： max 06ut61 n E h U（V（u） T） io :（1.5.3） 1.6 數(shù)理金融學(xué) 問(wèn)題7（期權(quán)定價(jià)）假定在t=0時(shí)，問(wèn)題6中的個(gè)體投資者持有一個(gè)權(quán)力（但 非義務(wù)）：在將來(lái)的某個(gè)時(shí)刻t=T，有權(quán)力以特殊的價(jià)格K購(gòu)買(mǎi)一單位風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，該權(quán)力被稱為一個(gè)歐式看漲期權(quán)，該投資者愿意花多少錢(qián)去購(gòu)買(mǎi)這個(gè)期權(quán)？Fischer  Black與MyronScholes（1973）利用隨機(jī)分析和均衡理論計(jì)算了該期權(quán)價(jià)格的理論 值，即現(xiàn)在著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，從而解決了該問(wèn)題.該理論值與已 在自由市場(chǎng)中的均衡價(jià)格高度統(tǒng)一，因此它代表了數(shù)學(xué)模型在金融中的偉大勝利。 在期權(quán)的交易和其他金融衍生證券中，它成為必不可少的工具，1997年，由于期權(quán) 定價(jià)公式及其相關(guān)的工作，MyronScholes和RobertMorton被授予了諾貝爾經(jīng)濟(jì) 學(xué)獎(jiǎng)（FischerBlack死于1995年），在介紹了必要的數(shù)學(xué)理論之后，后面的幾章中再來(lái)探討這些問(wèn)題，在第5章 中解決問(wèn)題1與問(wèn)題2.濾波問(wèn)題（包括問(wèn)題3）將在第6章中處理.廣義化的 Dirichlet問(wèn)題（問(wèn)題4）在第9章中得到解決，問(wèn)題5在第10章中得到解決，而隨 機(jī)控制問(wèn)題（問(wèn)題6）在第11章中討論.最后在第12章中，討論它們?cè)跀?shù)理金融中 的應(yīng)用。第2章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.1 概率空間，隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程 為了說(shuō)明將要解決的問(wèn)題，有必要介紹問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)數(shù)量的數(shù)學(xué)概 念，簡(jiǎn)而言之，下面是需要進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋的一些概念的一個(gè)列表： （1）隨機(jī)數(shù)； （2）獨(dú)立性； （3）一系列隨機(jī)數(shù)的參數(shù)化（離數(shù)或連續(xù)）； （4）在濾波問(wèn)題（問(wèn)題3）中“最佳”估計(jì)是什么意思？ （5）“依賴”于某些觀察值的估計(jì)是什么意思（問(wèn)題3）？ （6）“噪聲”的數(shù)學(xué)解釋是什么？ （7）隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)解釋是什么？ 本章簡(jiǎn)單地討論一下（1）?（3），下一章考慮（6）而由此導(dǎo)出It^o隨機(jī)積分概念 （7），在第6章將考慮（4）和（5）。隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型是隨機(jī)變量，在給出定義之前，回顧一般概率論的某些概念，如想知道更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，讀者可參考文獻(xiàn)（Williams，1991）。定義2.1.1給定集合-，那么-上的?代數(shù)F是由-的某些子集構(gòu)成的 集族且具有下列性質(zhì)： （1）?2F； （2）F2F）FC2F，這里FC=-nF是F在-中的余集； （3）A1；A2；￠￠￠2F）A:= 1S i=1 Ai2F. 稱（-；F）為一個(gè)可測(cè)空間，一個(gè)可測(cè)空間（-；F）上的概率測(cè)度P是一個(gè)函數(shù)P: F![0；1]，使得 （a）P（?）=0；P（-）=1； （b）如果A1；A2；￠￠￠2F且fAig1 i=1是互不相交（即Ai\Aj=?；i6=j），那么 P μ1[ i=1 Ai ? = 1X i=1 P（Ai）: 稱（-；F；P）為一個(gè)概率空間，如果F包括了-中P外測(cè)度為零的所有子集，即 P¤（G）:=inffP（F）：F2F；G?Fg=0； 則稱（-；F；P）為完備的概率空間，所有的概率空間都可通過(guò)把所有的外測(cè)度為零 的集加入F中且相應(yīng)地延拓P的定義域，即可得到完備化的概率空間，從現(xiàn)在起，假定所有的概率空間都是完備的。對(duì)-中的某一子集F，如果F屬于F，則稱F為F可測(cè)集.在概率上稱之為 事件，利用下面的解釋： P（F）=“事件F發(fā)生的概率”； 特別，如果P（F）=1，則說(shuō)“F以概率1發(fā)生”或者“幾乎必然（a:s:）”。對(duì)給定的-的一個(gè)集族U，存在一個(gè)包含U的最小的?代數(shù)HU，即 HU=\fH：H為-上的?代數(shù)；U?Hg （見(jiàn)練習(xí)2.3），稱HU是由U生成的?代數(shù)。例如，U是拓?fù)淇臻g-的所有開(kāi)子集構(gòu)成的集合（如-=Rn），那么B=HU 稱為-上的Borel?代數(shù)，對(duì)任意元素B2B稱為Borel可測(cè)集，B包含所有的開(kāi) 子集、所有的閉子集、所有的可數(shù)個(gè)閉子集的并集，及所有的可數(shù)個(gè)這種并集的交 集等等。設(shè)（-；F；P）是給定的概率空間，那么函數(shù)Y：-!Rn稱為F可測(cè)的，如果 Y?1（U）:=f!2-；Y（!）2Ug2F 對(duì)所有的開(kāi)集U2Rn（或等價(jià)地，對(duì)所有的Borel集U2Rn）成立，若X：-!Rn是任一函數(shù)，那么由X生成的?代數(shù)HX是-上的包含所 有形如X?1（U）；U2Rn為開(kāi)集的最小?代數(shù)，不難證明 HX=fX?1（B）；B2Bg； 這里B是Rn上的Borel?代數(shù)，顯然X是HX可測(cè)的，而HX是具有上述性質(zhì) 的最小的?代數(shù)。下面的結(jié)論是有用的，它是Doob-Dynkin引理（Rao，1984）的一個(gè)特殊情形。引理2.1.2如果X；Y：-!Rn是兩個(gè)給定的函數(shù)，Y為HX可測(cè)的充要 條件是存在一個(gè)Borel可測(cè)函數(shù)g：Rn!Rn使得 Y=g（X）: 下面，設(shè)（-；F；P）是一個(gè)給定的完備概率空間，一個(gè)隨機(jī)變量X是一個(gè)F可 測(cè)函數(shù)X：-!Rn.每個(gè)隨機(jī)變量誘導(dǎo)了一個(gè)Rn上的概率測(cè)度1X，定義為 1X（B）=P（X?1（B））。

圖書(shū)封面

圖書(shū)標(biāo)簽Tags

無(wú)

評(píng)論、評(píng)分、閱讀與下載

---

    隨機(jī)微分方程導(dǎo)論與應(yīng)用 PDF格式下載

---