近岸水波的解析理論

內(nèi)容概要

　　本書的內(nèi)容涉及一維水波的描述；微幅波理論及微幅波的傳播特征、頻散特征、水質(zhì)點運動特征、能量傳播特征；造波理論；非線性長波的傳播特征、非線性變形特征、間斷擬合方法、以及潰壩理論；橢圓余弦波理論及孤立波理論；高階Stokes波的理論及高階非線性波的特征；線性波和各類結構物的相互作用；平面二維水波的描述；平面水波的圓柱繞射、橢圓柱繞射、半無限防波堤繞射、有限防波堤繞射、有限防波堤開口繞射；平面水波的幾何折射和動力折射；港灣內(nèi)水波的共振理論等。選取了一系列在海岸工程領域有重要應用背景的解析解，系統(tǒng)闡述了相關的理論，并選取文獻中的實驗結果進行驗證。

書籍目錄

前言
　第1章　引論
第一篇　一維水波
　第2章　一維水波的描述
　　2．1　一維水波的基本方程
　　2．2　規(guī)則水波的特征參數(shù)
　　2．3　規(guī)則水波的相對運動
　　2．4　規(guī)則水波的反函數(shù)描述
　　2．5　規(guī)則水波的復變函數(shù)描述
　　2．6　規(guī)則水波的積分量
　第3章　微幅波理論
　　3．1　微幅波的基本方程
　　3．2　簡諧行波
　　3．3　微幅波的頻散關系
　　3．4　深水波和淺水波
　　3．5　微幅波的流場特征
　　3．6　微幅波的能量及能量傳播規(guī)律
　　3．7　駐波
　　3．8　波群
　　3．9　微幅波的一般解
　　3．10　造波理論
　第4章　淺水波理論
　　4．1　淺水波的基本方程
　　4．2　線性長波
　　4．3　單向非線性長波
　　4．4　雙向非線性長波
　　4．5　KdV方程的周期解
　　4．6　KdV方程的孤立于解
　　……
第二篇　二維水波
參考文獻
名詞索引

章節(jié)摘錄

第1章 引論 在物理學中，我們把存在于液體和氣體之間的穩(wěn)定交界面稱作自由液面。因 此，水動力學和流體力學中一般把水體和大氣的交界面稱為自由水面。自然界中的 水體通常都帶有自由水面。如果考慮問題的尺度遠小于地球的半徑，自由水面在 靜止和沒有其他外部干擾的情況下可近似地被看作是一個平面，換句話說，水平狀 態(tài)通常可以被看成是自由水面在重力作用下的平衡狀態(tài)。當自由表面因受某種干 擾偏離了其平衡狀態(tài)時，作用于水體的重力就會使自由表面具備回復到其平衡狀 態(tài)的趨勢，而且，這種趨勢隨著自由表面偏離其平衡狀態(tài)幅度的增大而加強。當作 用于水體的外部干擾因環(huán)境變化而消失或者其強度被減弱時，自由水面就會因重 力和慣性力的聯(lián)合作用，在其平衡位置附近做起伏運動。如果水體的周邊條件合 適，這種起伏運動就會向特定的方向乃至所有方向傳播。自由水面上擾動向某些方 向或向四周傳播的現(xiàn)象就是水波。 廣義上的水波指的是自由水面的幾何形狀隨時間變化的過程。在相當普遍的 情況下，這種變化過程表現(xiàn)為自由水面上的擾動以一定的速度向四周傳播，相應的 波動有時也稱為行波。在某些特殊情況下，自由水面隨時間的變化過程也可能表現(xiàn) 為其在某一平衡位置附近做周期性運動，這樣的波動稱為駐波。 水波是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象。海洋上的滾滾浪濤，湖泊中的漾漾漣 漪，江河內(nèi)的浩浩洪流，都是水波的例子。認識水波現(xiàn)象在很大程度上是人類認識 自然的必然要求，探討水波現(xiàn)象的基本規(guī)律也因此成為流體力學、海洋物理學、河 流及海岸動力學等諸多學科領域的重要使命。 實際問題中的水波千姿百態(tài)，變化無窮。為了研究上方便起見，常常從各種角 度對水波進行分類。根據(jù)自由水面的幾何形狀，可以區(qū)分規(guī)則波和不規(guī)則波。規(guī)則 波指的是這樣的一類波：它以一定的速度傳播，其幾何形狀在傳播過程中保持不 變。由于這一特征，規(guī)則波有時也稱為守恒波。不規(guī)則波中，描述其過程的參數(shù)在 時間上和空間上均具有隨機性并滿足一定統(tǒng)計規(guī)律的，又稱為隨機波。也可以根據(jù) 傳播形式對水波進行分類。受地形作用傳播方向不斷發(fā)生變化的波稱為折射波，在 岸壁或建筑物的所用下傳播方向被折反的波稱為反射波，繞過固體建筑物的波則 稱為繞射波。水波也可以根據(jù)擾動力進行分類。因風而起的水面波稱為風波，臺風 造成的水面波稱為風暴潮，船舶運動引起的水面波稱為行船波，海洋中由于地震造 成的水面波稱為海嘯，起因于天體引力的水面波稱為潮汐。水波還可以根據(jù)回復力 進行分類。重力為主要回復力的水面波稱為重力波，表面張力為主要回復力的水面 波稱為表面張力波。 水波理論是研究水波的傳播及其變形規(guī)律的科學。水波理論是流體力學的一 個分支，它的基礎就是流體運動所普遍遵循的力學原理，描述水波運動的基本方程 也就是水動力學的基本方程，即以質(zhì)量守恒原理為基礎的連續(xù)方程，以動量守恒原 理或者說是Newton第二定律為基礎的運動方程，以及以能量守恒原理或者說是 熱力學第一定律為基礎的能量方程。自由水面邊界條件的處理在水波理論中具有 特殊的重要性。在數(shù)學上，嚴格的水波問題是一個帶有可動邊界的不確定域上的非 線性偏微分方程定解問題，一般條件下求解難度大。于是，有必要通過引入各種假 設，在各種特定條件下使物理問題的數(shù)學表述得以簡化，以至求解可能，從而得到 水波運動的一些近似規(guī)律。 實際上，眾多的前輩學者在各種簡化條件下，針對各種形式的水波運動及變形 情況，求得了許多具有重要意義的解析解，或稱為理論解，并基于這些解揭示了諸 多重要的物理現(xiàn)象，解決了眾多重要的科學與工程問題。本書的主要目的就是把散 見于各類文獻的許多解析解進行甄選、分類、歸納和整理，形成一個體系，以便從 理論上對近岸水波動力過程的若干典型現(xiàn)象，包括微幅波運動、淺水波運動、高階 非線性波運動、結構物引起的波的反射和相應的透射、平面上結構物引起波的繞 射、半封閉水域內(nèi)水體的共振以及地形變化引起水波在平面上的折射等，給出一個 比較全面的描述。同時，我們還力求表明所涉及的解析解能夠在一定程度上得到物 理模型試驗結果的驗證。 水波理論在各類工程實踐中有著廣泛的應用。在海岸及近海工程中，準確估計 作用在建筑物上的波浪力是合理設計建筑物的前提，也是保證建筑物安全的需要； 在港口工程中，波浪條件不僅是港址選擇以及港工建筑物布置和設計的重要依據(jù)， 也在很大程度上決定了港口施工和運行的環(huán)境；在船舶工程中，無論是確定船體的 穩(wěn)定性，還是探討行船阻力，水波的影響都不可忽視；在海洋環(huán)境工程中，水波是 海域內(nèi)物質(zhì)和能量輸移擴散的重要外力，因此也是決定海洋環(huán)境質(zhì)量的重要因素； 在水利工程中，正確預報洪水波的演進過程是防洪減災決策的基礎。本書在選擇解 析解的過程中也盡可能地體現(xiàn)這些工程領域的背景。 第2章 一維水波的描述 2.1一維水波的基本方程 水波運動的基本方程就是帶有自由水面的不可壓縮流體運動的基本方程。在 研究水波運動時，一般認為黏性對流場的作用同慣性相比可以忽略不計。也就是 說，在水波理論中通?？蓪⑺僭O為非黏性流體，或稱為理想流體。這樣，在考慮 如圖2-1所示的一維水波引起的立面二維流動時，若將坐標原點置于靜止水面上， 同時選取波的傳播方向為x軸正方向，垂直向上方向為y軸正方向，則描述水體 運動的連續(xù)方程和運動方程可以寫作 @u @x +@v @y =0(2.1) @u @t +u @u @x +v @u @y + 1 ? @p @x =0(2.2) @v @t +u @v @x +v @v @y + 1 ? @p @y =0(2.3) 其中，u和v分別是水平方向和垂直方向的流速分量；p是動水壓強(即總壓強減 去靜水壓強p0=??gy)；?是水的密度；g是重力加速度；x和y分別是水平坐標 和垂直坐標；t是時間。運動方程(2.2)和(2.3)也稱作Euler方程。利用連續(xù)方程 (2.1)，運動方程(2.2)和(2.3)還可以寫成如下的守恒形式： @u @t +@uu @x +@uv @y + 1 ? @p @x =0(2.4) @v @t +@uv @x +@vv @y + 1 ? @p @y =0(2.5) 理想流體的流動在大多數(shù)情況下都可以被認為是無旋的。對于二維流動，這一 假設可寫作 @u @y =@v @x (2.6) 這樣，就可以定義速度勢á，使得 u=@á @x (2.7) v=@á @y (2.8) 于是，連續(xù)方程(2.1)可被轉化為關于速度勢的Laplace方程： @2á @x2+@2á @y2=0(2.9) 運動方程(2.2)和(2.3)則可被積分一次給出Bernoulli方程： @á @t + 1 2"μ@á @x?2 +μ@á @y?2#+p ? =0(2.10) 在方程(2.10)中，取積分常數(shù)為0。這樣做是恰當?shù)模驗榧词狗e分常數(shù)不為0， 也可以通過重新定義速度勢á使得積分常數(shù)為0。重新定義的速度勢不過是在原 速度勢上加入一個僅與時間有關的函數(shù)?？紤]到速度勢通常是待求變量，而且在速 度勢中加上一個僅與時間有關的函數(shù)對速度場和壓強場均無影響，取積分常數(shù)為0 不會使(2.10)式失去普遍性(Stoker,1957)。 引入速度勢之后，水波問題的數(shù)學提法可以極大地簡化。因為這樣做之后， 水波問題就無需聯(lián)立求解連續(xù)方程和運動方程。取而代之的是求解關于速度勢的 Laplace方程。求得速度勢之后，再利用速度勢的定義確定速度場、利用Bernoulli 方程確定壓強是很容易做到的。Laplace方程是最常見的數(shù)學物理方程之一，它的 性質(zhì)相對來說比較簡單，有效的求解方法也比較多。 下面討論水波問題中速度勢的邊界約束條件。在底面附近，不透水性要求法向 速度分量為0。因此，底面邊界條件可寫作 @á @n =0[y=?h](2.11) 其中，n代表底面法向；h是當?shù)厮?，一般情況下可以是隨x變化的函數(shù)，但規(guī) 則波的形成往往要求h為一常數(shù)。在自由水面上，水面的連續(xù)條件，即自由水面上 的水質(zhì)點在任何時刻都不離開自由水面，給出一個運動學關系： @3 @t +@á @x @3 @x? @á @y =0[y=3](2.12) 稱為自由水面運動學條件，其中，3表示自由水面偏離靜止水位的垂直位移，即自 由水面相對于靜止水位的高程，稱為自由水面高程。在忽略水的表面張力的前提 下，自由水面附近的壓強等于作用于水面上的大氣壓。依據(jù)這一物理事實，利用 Bernoulli方程即可導出以下自由水面動力學條件： @á @t + 1 2"μ@á @x?2 +μ@á @y?2#+g3=0[y=3](2.13) 不透水底面邊界條件(2.11)、自由水面運動學條件(2.12)和動力學條件(2.13)適 用于絕大多數(shù)水波現(xiàn)象，通常構成水波定解問題的核心組成部分。 Luke(1967)的研究表明，速度勢滿足Laplace方程(2.9)，動水壓強滿足 Bernoulli方程(2.10)，自由水面邊界條件和底面邊界條件分別滿足條件(2.12)、(2.13) 和(2.11)的水波定解問題等價于以下Hamilton變分原理： ±Zt2 t1Zx2 x1Ldxdt=0(2.14) 其中，±表示變分；[t1;t2]是現(xiàn)象的時間范圍；[x1;x2]是所考慮的空間范圍；Lagrange 函數(shù)L定義如下： L=Z3 ?h(@á @t + 1 2"μ@á @x?2 +μ@á @y?2#+gy)dy(2.15) Zakharov(1968)、Broer(1974)和Miles(1977)的研究表明，水波定解問題 (2.9)、(2.10)、(2.12)、(2.13)和(2.11)也等價于以下Hamilton正則方程組： ? @3 @t =±H ±' (2.16) ? @' @t =? ±H ±3 (2.17) 其中，自由水面高程3和自由水面位置處的速度勢函數(shù)'=á[t;x;3(t;x)]是相應 的對偶變量，Hamilton函數(shù)H定義如下： H=? 2Z(Z3 ?h"μ@á @x?2 +μ@á @y?2#dy+g32)dx(2.18) 也可以引入流函數(shù)?來描述水波作用下的水體運動。流函數(shù)是通過以下關系 式定義的: u=@? @y (2.19) v=? @? @x (2.20) 顯然，流函數(shù)的引入使得連續(xù)方程(2.1)得以自動滿足。只要將方程(2.19)和(2.20) 代入流體運動的無旋性條件(2.6)就很容易地知道，流函數(shù)和速度勢一樣，也滿足 Laplace方程： @2? @x2+@2? @y2=0(2.21) 用流函數(shù)來描述水波作用下水體運動的一個不便之處是，在一般條件下，壓強 和流函數(shù)之間沒有一個類似于Bernoulli方程那樣的簡單關系。因此，自由水面動 力學條件也就無法簡單地用流函數(shù)來表示。但是，如果能夠將所考慮的問題通過坐 標變換轉化為一個定常問題，則情況就變得完全不同。利用流函數(shù)會使問題的數(shù)學 提法得到顯著的簡化。 流函數(shù)有幾個重要的性質(zhì)。首先，在流場內(nèi)，流函數(shù)等于常數(shù)的任意曲線總對 應于一條流線。也就是說，該曲線上任意一點處的切線方向和流速方向一致。其次， 在二維流動問題中，通過兩條流線間的流量是一常量，其值等于這兩條流線所對應 的流函數(shù)值之差。此外，等流函數(shù)線(流線)與等速度勢線(等勢線)是兩個相互正 交的曲線族。 流函數(shù)的這幾個性質(zhì)都可以很容易地得到證明。假設在曲線y(x)上流函數(shù)是 一個常數(shù)。那么，沿著這條曲線就有 d?=@? @x dx+@? @y dy=0(2.22) 考慮到流函數(shù)的定義，式(2.22)又可寫為 ?vdx+udy=0(2.23) 也就是說，沿著曲線y(x)有 dy dx =v u (2.24) 這表明曲線上任意一點的切線方向與該點處的流速方向一致，即流函數(shù)等于常數(shù) 的任意曲線總對應于一條流線。 如圖2-2所示，假設流場中有兩條流線，它們所對應的流函數(shù)值分別為?1和 ?2。通過這兩條流線之間任意斷面AB的流量可以按下式計算： q=ZB A u￠nds=ZB A (udy?vdx)(2.25) 其中，u是AB上任意點處的流速向量；n是該點處AB曲線的單位法向量。利用 流函數(shù)的定義，可以從式(2.25)推導出 q=ZB Aμ@? @y dy+@? @x dx?=ZB A d?=?B??A=?2??1(2.26) 這說明通過AB間的流量就是過A、B兩點的流線所對應的流函數(shù)值之差。 證明流線與等勢線的正交性只需要證明流線與等勢線在交點處斜率之積等于 ?1即可。假設流場內(nèi)的任意一條流線為ys(x)，任意一條等勢線為yp(x)。由于 ys(x)上任意一點的切線方向與該點的流速方向一致，有 dys dx =v u (2.27) 另一方面，沿著yp(x)有以下關系式成立： dá=@á @x dx+@á @y dy=0(2.28) 代入速度勢的定義即有 udx+vdy=0(2.29) 或 dyp dx =? u v (2.30) 于是 dys dx dyp dx =?1(2.31) 這說明ys(x)和yp(x)是正交的。 考慮到 u=@á @x =@? @y (2.32) v=@á @y =? @? @x (2.33) 可以看出，速度勢和流函數(shù)之間滿足Cauchy-Riemann條件。也就是說，在復平面 z=x+iy上，以á為實部、?為虛部的復變函數(shù) F=á+i?(2.34) 是一個解析函數(shù)，稱為復勢。由復變函數(shù)的求導法則可知，復勢F對z的導數(shù)與 流場的速度分量之間有如下關系： W= dF dz =u?iv(2.35) W稱為復速度。 因為任意解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，即它們都滿足Laplace方程， 因此，在復平面上求解水波問題實際上就是構造滿足邊界條件的解析函數(shù)。 2.2規(guī)則水波的特征參數(shù) 規(guī)則水波作用下某一時刻自由水面的形狀3(x)如圖2-3所示，稱為水波在該 時刻的空間波形，簡稱波形。波形遵照其固有的規(guī)律，以某一速度沿著某一方向傳 播。波形的傳播速度稱為波速，通常用C表示。波形中在波的傳播方向上水位遞 減的部分稱為波前，在波的傳播方向上水位遞增的部分稱為波后。波形的最高點稱 為波峰，最低點稱為波谷，波峰和波谷之間的垂直距離稱為波高，通常用H表示。 相鄰波峰或相鄰波谷之間的水平距離稱為波長，通常用L表示。 水波傳播經(jīng)過某斷面時自由水面隨時間變化的過程3(t)如圖2-4所示，稱為 該位置處的水位變化過程，簡稱水位過程。顯然，水位過程的最高點所對應的時刻 就是波峰通過的時刻，最低點所對應的時刻就是波谷通過的時刻。水位過程的變化 幅度就是波高。水位在一個周期內(nèi)的平均位置稱為該斷面處的平均水位。波峰通過 時水位偏離平均水位的最大高度稱為波峰高度，用Ac表示。波谷通過時水位偏離 平均水位的最大深度稱為波谷深度，用At表示。顯然，Ac+At=H。相鄰波峰或 波谷通過某一位置的時間差稱為波的周期，通常用T表示。一個周期內(nèi)水位變化 保持在平均水位以上的歷時稱為波峰歷時，用Tc表示。水位保持在平均水位以下 的歷時稱為波谷歷時，用Tt表示。波峰歷時與波谷歷時之和就是波的周期。水位 過程中隨時間上升的部分稱為漲水過程，漲水過程的歷時稱為漲水歷時；水位隨時 

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