交換環(huán)上有限生成投射模

內(nèi)容概要

代數(shù)K理論是代數(shù)學(xué)的重要研究方向之一，在泛函分析、代數(shù)拓撲、代數(shù)數(shù)淪和代數(shù)幾何中都有著廣泛應(yīng)用本書以代數(shù)K理論中的　群力主要線索。系統(tǒng)地討論了交換環(huán)上有限生成投射模全書共分6章。內(nèi)容包括棋與　群基本理論、具有無撓和撓r0群的環(huán)、環(huán)的投射自由性、穩(wěn)定環(huán)與模的消去問題、尾群以及　群等內(nèi)容本書深入淺出，簡潔明了，閱讀本本書只需具備高等代數(shù)和抽象代數(shù)的基礎(chǔ)知識。書中包含了很多經(jīng)典結(jié)果。也融入了作者的許多研究成果
町以使讀者在較短的時間內(nèi)熟悉該方向的研究進展。
本書可供代數(shù)學(xué)及其相關(guān)方向研究生以及高年級本科生閱讀，也可供對代數(shù)學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)丁作者及科研人員參考。

書籍目錄

前言
符號表
第1章　模與 群
　模的性質(zhì)
　群
　穩(wěn)定自由模
第2章　K0群無撓的環(huán)
　等價特征
　多項式環(huán)的‰群
　群無撓群環(huán)
第3章　具有撓約化群的環(huán)
　約化群的性質(zhì)
　Dedekind環(huán)約化群
　群環(huán)的約化群
第4章　環(huán)的投射自由性
　投射自由環(huán)
　群環(huán)上有限生成投射模
　連通環(huán)及其性質(zhì)
第5章　穩(wěn)定環(huán)與模消去問題
　穩(wěn)定環(huán)及其推廣
　模的消去性
　可逆模與Picard群
第6章　群與 群
　群的結(jié)構(gòu)
　自同態(tài)及其誘導(dǎo)群
　群與2-PSF環(huán)
參考文獻
索引

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：第1章 模與K0群模是域上向量空間和Abel群在環(huán)上的推廣，它是代數(shù)學(xué)的主要研究對象之一K0群是由環(huán)導(dǎo)出的一類Abel群，它從外部對環(huán)進行了很好刻畫。沒有特別聲明時，本書中所有的環(huán)都是帶單位元1的交換環(huán)，本章討論交換環(huán)上模與K0群的基本性質(zhì)。1.1 模的性質(zhì)本節(jié)首先討論模的概念和基本性質(zhì)，關(guān)于更多的經(jīng)典結(jié)果，讀者可參考文獻[2]，[60]和[130]。定義1.1.1設(shè)R為帶單位元1的交換環(huán)，M為Abel群.如果M和R間有一個運算：M￡R！M滿足條件（1）對任意的m2M；r1；r22R，有m￠（r1+r2）=m￠r1+m￠r2；（2）對任意的m1；m22M；r2R，有（m1+m2）￠r=m1￠r+m2￠r；（3）對任意的m2M；r1；r22R，有m￠（r1r2）=（m￠r1）￠r2；（4）對任意的m2M；m￠1R=m。則稱M為R-模。例1.1.2Abel群G為Z-模，其中模運算\￠""利用環(huán)中的加法運算來定義，即g￠m=g+g+￠￠￠+g|{z}m（m>0）；g￠0=0和g￠m=（？g）+（？g）+￠￠￠+（？g）|？{mz}（m0，使得F？=Rn.稱R-模P為有限生成投射R-模，如果存在R-模Q，使得P？Q是有限生成自由模.顯然，有限生成自由R-模都是有限生成投射的，但反之不然.進一步還可以定義一般的自由模和投射模。例1.1.9Z2是有限生成投射Z6-模，但不是有限生成自由的。證由例1.1.8知，Z6？=Z2？Z3，所以Z2是有限生成投射Z6-模.假定Z2是有限生成自由Z6-模，則有n2N使得Z2？=Zn6，故有2=6n，矛盾，從而Z2不是有限生成自由的。稱0！Ag！Bf！C！0為R-模正合列，如果g為單同態(tài)，Kerf=Img且f為滿同態(tài)。命題1.1.10設(shè)P為R-模，則P為有限生成投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)（1）存在有限集fpiji2IgμP，使得對任何p2P，有friji2IgμR滿足p=Xi2Ipiri，這里I為指標(biāo)集；（2）對任何R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，有h：P！B，使得fh=1P。證設(shè)P為有限生成投射R-模，從而有'：Rn？=P？Q.令x1=（1；0；￠￠￠；0），￠￠￠；xn=（0；0；￠￠￠；1）；pi=？'（xi），這里？：P？Q！P，（p；q）=p.對任何p2P，由于？'為滿同態(tài)，容易驗證有fr1；￠￠￠；rngμR，使得p=nXi=1piri.設(shè)有R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，有fb1；￠￠￠；bngμB使得f（bi）=pi。定義μ：Rn！B；μ（xi）=bi.令á：P！P？Q；á（p）=（p；0），h=μ'？1á：P！B。對pj，記'？1（pj）=nXi=1xiri，直接驗證知fh（pj）=f？nXi=1biri！=nXi=1piri。注意到'？nXi=1xiri！=pj，從而？'？nXi=1xiri！=？（pj）=pj；所以nXi=1piri=pj，故有fh=1P。假定（1）和（2）成立，定義f：Rn！P；f（xi）=pi，從而有R-模正合列0！Kerfg！Rnf！P！0，其中g(shù)：Kerf！Rn；g（x）=x為嵌入同態(tài)，所以有h：P！Rn使得fh=1P.定義'：P？Kerf！Rn；'（p；q）=h（p）+q，直接驗證知'既是單同態(tài)又是滿同態(tài)，從而'為模同構(gòu)，故P為有限生成投射R-模。定理1.1.11（對偶基定理）設(shè)P為R-模，則下列等價：（1）P為有限生成投射R-模；（2）存在有限集fpiji2IgμP，ffi：P！Rji2Ig，對任何p2P，有p=Xi2Ipifi（p），這里I為指標(biāo)集。證（1））（2）設(shè)'：Rn？=P？Q.令x1=（1；0；￠￠￠；0）；￠￠￠；xn=（0；0；￠￠￠；1）。根據(jù)命題1.1.10，存在有限集fp1；￠￠￠；pngμP，使得對任何p2P，有fr1；￠￠￠；rngμR滿足p=nXi=1piri.令á：P！P？Q；á（p）=（p；0），gj：Rn！R；gj（xi）=1（i=j）；gj（xi）=0（i6=j）.令fj=gj'？1á：P！R.直接驗證知rj=fj（p），故有p=nXi=1pifi（p）。（2））（1）給定R-模正合列0！Ag！Bf！P！0，對任何pi2P，有bi2B使得f（bi）=pi.作同態(tài)h：P！B；h（p）=nXi=1bifi（p），則有fh=1P，根據(jù)命題1.1.10，P為有限生成投射R-模。設(shè)A；B為R-模，所有B到A的R-模同態(tài)全體記為HomR（B；A）；定義運算：（f+g）（m）=f（m）+g（m），取0：M！M；m7！0為零元，則HomR（B；A）是Abel群.進一步，HomR（B；A）是R-模.設(shè)P為有限生成投射R-模，對任何R-模正合列0！Ag！Bf！C！0，容易驗證有R-模正合列0！HomR（P；A）g¤！HomR（P；B）f¤！HomR（P；C）！0，這里g¤（h）=gh；f¤（k）=fk.假定aA+bB=A，a2HomR（A；A）及b2HomR（B；A），記A的子模fr2Aja（r）2bBg為A（a；b）。引理1.1.12設(shè)A；B為R-模，若對任何a2HomR（A；A）；b2HomR（B；A），aA+bB=A）存在R-模同態(tài)？：A（a；b）！B使得ajA（a；b）+b？：A（a；b）！bB為同構(gòu)，則對任何R-模C，A？B？=A？C=）B？=C：證假若A？B？=A？C，則有正合列0！Ci，！A？B'！A！0；其中'=（a；b）；a2HomR（A；A）且b2HomR（B；A），進一步可構(gòu)造模同態(tài)μ=？cd?。篈！A？B使得'μ=1A，其中c2HomR（A；A）；d2HomR（A；B）。因而ac+bd=1A，故aA+bB=A.由假定，有模同態(tài)？：A（a；b）！B，使得u：=ajA（a；b）+b？：A（a；b）！bB是同構(gòu).令M=A（a；b）？B，構(gòu)造R-同態(tài)？=？u？1？u？1！：bB！M：顯然，ajA（a；b）u？1+b？u？1=1bB，因而（'jM）？=1bB，故M=Ker（'jM）？Im（？）.顯然，Ker（'jM）μKer（'）.如果（r1；r2）2Ker（'），從而a（r1）+b（r2）=0；r12A；r22B，所以a（r1）2bB，故有r12A（a；b），進而（r1；r2）2M，得（r1；r2）2Ker（'jM），這導(dǎo)致Ker（'）=Ker（'jM），所以M=Ker（'）？Im（？）.另一方面，？？=1bB，這里？=（u；0）：M=A（a；b）？B！bB.結(jié)果有M=Ker（？）？Im（？）=B？Im（？），從而B？=Ker（'）？=C，所以結(jié)論成立。交換環(huán)R稱為半遺傳環(huán)，如果R的有限生成理想為投射R-模.如Z[p10]和Z[p？5]為半遺傳環(huán).下面討論半遺傳環(huán)上有限生成R-模的一類消去問題。定理1.1.13設(shè)R為半遺傳環(huán)，B；C為有限生成R-模，則有R？B？=R？C=）B？=C：證給定aR+bB=R；a2R；b2HomR（B；R）.由假定知R（a；b）=bB是有限生成投射R-模，根據(jù)定理1.1.11，有fxigμR（a；b）；fi2HomR（R（a；b）；R）使得對任何x2R（a；b），x=Xixifi（x），這里僅有有限多fi（x）非零.令a¤：B！B由a¤（r）=ra；r2B定義，由于R是交換的，a¤是R-模同態(tài).由aR+bB=R知，1=ac+bd，其中c2R；d2B，因而xi=axic+bdxi2bB，所以存在pi2B，使得xi=b（pi），故有x=Xib（pi）fi（x）=b？Xipifi（x）！.定義h：R（a；b）！B；h（p）=Xipifi（p）。

編輯推薦

《交換環(huán)上有限生成投射?！酚煽茖W(xué)出版社出版。

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