分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解

內(nèi)容概要

　　本書(shū)共分6章，主要涉及分?jǐn)?shù)階偏微分方程的理論分析以及數(shù)值計(jì)算。第1章著重介紹分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的由來(lái)以及一些分?jǐn)?shù)階偏微分方程的物理背景；第2章介紹Riemann-Liouville等分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及分?jǐn)?shù)階Sobolev空間、交換子估計(jì)等常用的工具；第3章從理論的角度討論一些重要的偏微分方程；從第4章開(kāi)始重點(diǎn)討論分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計(jì)算，介紹了有限差分法、級(jí)數(shù)逼近法（主要是Adomian分解和變分迭代法）、有限元法以及譜方法、無(wú)網(wǎng)格法等計(jì)算方法。本書(shū)涵蓋了該領(lǐng)域的一些前沿結(jié)果以及作者目前的一些研究結(jié)果。
　　本書(shū)可供大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高年級(jí)學(xué)生、研究生、教師以及相關(guān)的科技工作者閱讀、參考。

書(shū)籍目錄

前言
第1章 數(shù)學(xué)物理中的分?jǐn)?shù)階微分方程
1.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的由來(lái)
1.2 反常擴(kuò)散與分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散對(duì)流
1.2.1 隨機(jī)游走和分?jǐn)?shù)階方程
1.2.2 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散對(duì)流方程
1.2.3 分?jǐn)?shù)階Fokker-Planck方程
1.2.4 分?jǐn)?shù)階Klein-Kramers方程
1.3 分?jǐn)?shù)階準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程(QGE)
1.4 分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程
1.5 分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程
1.6 分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz方程
1.7 分?jǐn)?shù)階微分方程的一些應(yīng)用
第2章 分?jǐn)?shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階方程
2.1 分?jǐn)?shù)階積分和求導(dǎo)
2.1.1 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分
2.1.2 R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)
2.1.3 R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換
2.1.4 其他的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義
2.2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子
2.2.1 定義與背景
2.2.2 分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的性質(zhì)
2.2.3 擬微分算子
2.2.4 Riesz位勢(shì)與Bessel位勢(shì)
2.2.5 分?jǐn)?shù)階Sobolev空間
2.2.6 交換子估計(jì)
2.3 解的存在唯一性
2.3.1 序列分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)
2.3.2 線性分?jǐn)?shù)階微分方程
2.3.3 一般的分?jǐn)?shù)階常微分方程
2.3.4 例子——Mittag-Leffler函數(shù)的應(yīng)用
2.4 附錄A 傅里葉變換
2.5 附錄B 拉普拉斯變換
2.6 附錄C Mittag-Leffler函數(shù)
2.6.1 Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)
2.6.2 Mittag-Leffler函數(shù)
第3章 分?jǐn)?shù)階偏微分方程
3.1 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程
3.2 分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程
3.2.1 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Schr?dinger方程
3.2.2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的Schr?dinger方程
3.2.3 一維分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程的整體適定性
3.3 分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程
3.3.1 弱解的存在性
3.3.2 強(qiáng)解的整體存在性
3.3.3 吸引子的存在性
3.4 分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz方程
3.4.1 黏性消去法
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近與漸近極限
3.4.3 高維情形——Galerkin逼近
3.5 分?jǐn)?shù)階QG方程
3.5.1 解的存在唯一性
3.5.2 無(wú)黏極限
3.5.3 長(zhǎng)時(shí)間行為——衰減和逼近
3.5.4 吸引子的存在性
3.6 邊值問(wèn)題——調(diào)和延拓方法
第4章 分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值逼近
4.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義及其相互關(guān)系
4.2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分的G算法
4.3 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的D算法
4.4 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的R算法
4.5 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的L算法
4.6 分?jǐn)?shù)階差商逼近的一般通式
4.7 經(jīng)典整數(shù)階數(shù)值微分、積分公式的推廣
4.7.1 經(jīng)典向后差商及中心差商格式的推廣
4.7.2 插值型數(shù)值積分公式的推廣
4.7.3 經(jīng)典線性多步法的推廣:Lubich分?jǐn)?shù)階線性多步法
4.8 其他方法技巧的應(yīng)用
4.8.1 利用傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算周期函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分
4.8.2 短記憶原理
第5章 分?jǐn)?shù)階常微分方程數(shù)值求解方法
5.1 分?jǐn)?shù)階線性微分方程的解法
5.2 一般分?jǐn)?shù)階常微分方程的解法
5.2.1 直接法
5.2.2 間接法
5.2.3 差分格式
5.2.4 誤差分析
第6章 分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值解法
6.1 空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程
6.2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程
6.2.1 差分格式
6.2.2 穩(wěn)定性分析:Fourier-Von Neumann方法
6.2.3 誤差分析
6.3 時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程
6.3.1 差分格式
6.3.2 穩(wěn)定性及收斂性分析
6.4 非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計(jì)算
6.4.1 Adomian分解法
6.4.2 變分迭代法
參考文獻(xiàn)

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