非連續(xù)正交函數(shù)

內(nèi)容概要

　　本書聚焦于非連續(xù)正交函數(shù)及其在工程中的應(yīng)用。共9章。前3章介紹Wlalsh函數(shù)、Haar函數(shù)、正交樣條函數(shù)；第4章與第5章分別介紹U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)：第6章談三角域上非連續(xù)正交函數(shù)的構(gòu)造；后3章以數(shù)字幾何與數(shù)字圖像處理中的實際問題為背景，詳細闡述利用U、V-系統(tǒng)的解決途徑。
　　本書讀者對象為應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生、研究生和教師，以及信號處理、數(shù)字幾何、圖像處理、計算機圖形學(xué)等領(lǐng)域的研究人員及工程師。

書籍目錄

《數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)叢書》序
前言
緒論
  0.1 什么是Gibbs現(xiàn)象
  0.2 Gibbs現(xiàn)象嚴重影響信息重構(gòu)
  0.3 為什么研究用正交函數(shù)表達幾何造型
  0.4 什么是U-系統(tǒng)什么是V-系統(tǒng)
第1章 數(shù)值逼近基礎(chǔ)
  1.1 線性空間
  1.2 Gram-Schmidt正交化過程
  1.3 正交多項式
    1.3.1 Legendre多項式
    1.3.2 第一類Chebyshev多項式
    1.3.3 其他重要的正交多項式
  1.4 Fourier級數(shù)
  1.5 小波函數(shù)
  1.6 多項式插值及逼近
  1.7 Weierstrass逼近定理與Bezier曲線
  1.8 樣條函數(shù)
    1.8.1 B-樣條基函數(shù)
    1.8.2 多結(jié)點樣條基本函數(shù)
  1.9 函數(shù)的磨光與平滑
    1.9.1 Lanczos因子
    1.9.2 磨光算子的推廣
  1.10 面積坐標
  1.11 區(qū)域的自相似剖分
  問題與討論
  參考文獻
第2章 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)
  2.1 什么是Walsh函數(shù)
  2.2 生成Walsh函數(shù)的信號復(fù)制方法
  2.3 Walsh函數(shù)的其他定義
    2.3.1 Gray碼與Gray變換
    2.3.2 Rademacher函數(shù)
    2.3.3 用Rademacher函數(shù)定義Walsh函數(shù)
    2.3.4 用Hadamard矩陣定義Walsh函數(shù)
  2.4 快速Walsh變換
  2.5 Haar函數(shù)
  2.6 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)的聯(lián)系
  2.7 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)的變體
  2.8 張量積形式的Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第3章 正交樣條函數(shù)
  3.1 正交的折線(1次樣條)函數(shù)系
  3.2 k(k>1)次正交樣條函數(shù)系
  3.3 Franklin函數(shù)系及其推廣
  3.4 樣條曲線正交重構(gòu)
  3.5 樣條曲面正交重構(gòu)
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第4章 U-系統(tǒng)
  4.1 1次U-系統(tǒng)的構(gòu)造
  4.2 1次U-系統(tǒng)的性質(zhì)
    4.2.1 正交性
    4.2.2 序率性
    4.2.3 再生性
  4.3 1次u-系統(tǒng)的幾何造型
  4.4 高次u-系統(tǒng)的構(gòu)造
  4.5 k次u-系統(tǒng)的收斂性
  4.6 1次u-系統(tǒng)與斜變換
  4.7 斜變換快速算法
  4.8 關(guān)于離散U-變換的注記
  4.9 關(guān)于U-系統(tǒng)的變體
  4.10 U-系統(tǒng)與預(yù)小波
  4.11 參數(shù)曲線圖組正交表達示例
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第5章 V-系統(tǒng)
  5.1 從U-系統(tǒng)到V-系統(tǒng)
    5.1.1 k次V-系統(tǒng)的構(gòu)造
    5.1.2 k=0，1，2，3的情形
  5.2 從Franklin函數(shù)到V-系統(tǒng)
    5.2.1 截斷單項式函數(shù)
    5.2.2 從截斷單項式到V-系統(tǒng)
    5.2.3 k=O，1，2，3的情形
  5.3 有限區(qū)間上的正交多小波
  5.4 V-系統(tǒng)的多小波性質(zhì)
  5.5 斜小波與V-系統(tǒng)
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第6章   三角域上的U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)
  6.1 三角域上的Walsh函數(shù)
    6.1.1 三角域上的Rademacher函數(shù)
    6.1.2 三角域上P次序的Walsh函數(shù)
    6.1.3 三角域上H次序的Walsh函數(shù)
  6.2 三角域上的Haar函數(shù)
    6.2.1從Haar矩陣到三角域上的Haar函數(shù)
    6.2.2 Haar函數(shù)的不同排列次序
  6.3 三角域上Walsh與Haar函數(shù)的性質(zhì)
  6.4 面積坐標下的計算
  6.5 三角域上的1次U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)
  6.6 k次U、V-系統(tǒng)
  6.7 三角域上直角坐標下的U、V-系統(tǒng)
  6.8 實驗例子
  6.9 關(guān)于三角域上正交多項式的注記
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第7章 描述子與矩函數(shù)
  7.1 U、V-描述子
  7.2 v-描述子檢測例題
    7.2.1 例題
    7.2.2 關(guān)于預(yù)處理的注記
  7.3 用v-描述子作聚類分析：Chernoff臉譜實例
  7.4 V-描述子在形狀分類和檢索中的探索
  7.5 空間三角網(wǎng)格模型的v-描述子例題
  7.6 圖組中的子圖次序問題
    7.6.1 子圖排序的影響
    7.6.2 能量計算及分段Legendre多項式
  7.7 矩函數(shù)
    7.7.1 幾何矩
    7.7.2 Zernike矩
  7.8 關(guān)于球面調(diào)和函數(shù)
  7.9 基于U、V-系統(tǒng)的矩函數(shù)
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第8章   幾何模型的V-系統(tǒng)表達及其實現(xiàn)
  8.1 三角網(wǎng)格模型
  8.2 分解算法及其實現(xiàn)
    8.2.1 分解算法框架
    8.2.2 分解算法實現(xiàn)中的問題
  8.3 重構(gòu)算法及其實現(xiàn)
  8.4 實驗檢測
    8.4.1 實驗環(huán)境
    8.4.2 經(jīng)典模型
    8.4.3 非經(jīng)典模型
    8.4.4 群組模型
  8.5 模型V-譜表達特點的探討
    8.5.1 對模型的濾波
    8.5.2 V-譜的分區(qū)分層結(jié)構(gòu)
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
第9章   圖像數(shù)值逼近中的正交重構(gòu)問題
  9.1 圖像的規(guī)則非均勻剖分
  9.2 非均勻剖分下v-系統(tǒng)的構(gòu)造
  9.3 自適應(yīng)最佳基選擇
  9.4 二維非均勻V-系統(tǒng)及圖像的區(qū)域剖分
  9.5 圖像的自適應(yīng)非規(guī)則剖分
  小結(jié)
  問題與討論
  參考文獻
附錄  2次及3次三角域v-系統(tǒng)
  A.1 2次三角域V-系統(tǒng)前兩組基函數(shù)
  A.2 3次三角域V-系統(tǒng)前兩組基函數(shù)
索引
《數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)叢書》已出版書目

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：緒論0.1 什么是Gibbs現(xiàn)象熟知，用有限項Fourier級數(shù)表達間斷信號時，在間斷點處會出現(xiàn)波動，并且這種波動不能因求和的項數(shù)增大而徹底消失，這就是著名的Gibbs現(xiàn)象.Wilbraham于1848年首先觀察到這一現(xiàn)象，后來Gibbs（1839|1903）做了深入細致的研究.在正交函數(shù)理論及其應(yīng)用的研究中，Gibbs現(xiàn)象的消減問題一直倍受重視。0.2 Gibbs現(xiàn)象嚴重影響信息重構(gòu)Gibbs現(xiàn)象的研究之所以引起關(guān)注，在于它的出現(xiàn)造成數(shù)據(jù)偏差。在數(shù)字圖像、語音處理，以及用Fourier方法求解微分方程等問題中，人們都要設(shè)法消減它的影響。這里特別強調(diào)指出，在幾何信息重構(gòu)的問題中，Gibbs現(xiàn)象的影響更應(yīng)引起重視。在二維及三維幾何造型中，幾何對象往往包含許多部件和零件。作為幾何圖組，其子圖互相分離（強間斷）以及非光滑連接（弱間斷）的情況不可避免。幾何造型的精度要求很高，如果說信號處理的某些實際問題中Gibbs現(xiàn)象的出現(xiàn)尚可接受的話，那么在幾何信息表達中則是不可容忍的。在計算機輔助幾何設(shè)計中，廣泛應(yīng)用分片多項式對幾何形狀的控制數(shù)據(jù)作插值或擬合。用樣條曲線及B.ezier曲線（曲面）等方法表達幾何對象的造型，理論上是完美的，應(yīng)用上是成功的。然而，表達樣條曲線及B.ezier曲線（曲面）所采用的基函數(shù)，即B-樣條基及Bernstein基（本書第1章將有介紹），都不是正交基。計算幾何學(xué)中，人們?yōu)槭裁床挥谜换プ鰩缀卧煨停繉σ延械姆制囗検奖磉_的幾何造型，為什么不做正交重構(gòu)？回答是明確的：正交表示與正交重構(gòu)不是沒意義，恰恰相反，它們十分有用，這一點將在后面的相關(guān)章節(jié)進一步解說其意義所在。先要說采用已有的、連續(xù)的正交函數(shù)作幾何造型的正交重構(gòu)，將嚴重地受Gibbs現(xiàn)象影響?？紤]簡單的幾何圖形，看看在幾何造型中用正交的Fourier三角級數(shù)作為表達工具將會產(chǎn)生怎樣的結(jié)果。本章針對U、V-系統(tǒng)在圖像處理中的應(yīng)用作一注記，所論及的圖像數(shù)值逼近，指的是將基于像素的圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達形式，從而給為數(shù)字圖像處理與分析帶來方便，本書第8章針對曲線與曲面幾何對象，討論了用張量積或三角域上的U-系統(tǒng)及V-系統(tǒng)基函數(shù)表達給定的對象，不論張量積或三角域的情形，給定函數(shù)（即處理的對象）的定義域，其剖分都是均勻的，并且加細剖分過程及基函數(shù)的分組分類定義，都是按照一定的自相似結(jié)構(gòu)進行，這類對區(qū)域的自相似均勻剖分，對廣泛的應(yīng)用問題，具有方便、簡潔、通用的優(yōu)點，但是，眾所周知，在數(shù)字圖像處理的實際問題中，這種均勻剖分沒有針對對象的特殊性，如果對給定的對象，考慮自適應(yīng)的區(qū)域剖分，使之更好地適應(yīng)對象的數(shù)據(jù)變化特點，那么以自適應(yīng)非均勻剖分所耗費代價、可以獲得處理結(jié)果的更好質(zhì)量。

編輯推薦

《非連續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》主要內(nèi)容簡介：從傅立葉（Fourier）級數(shù)理論中的吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象談起，說明研究非連續(xù)正交函數(shù)的理論意義及實用價值。作為《非連續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》中心內(nèi)容的U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)，是分段k次多項式組成的一類非連續(xù)正交函數(shù)系（k=01,2,3,…），其特例（k=0）恰恰分別為經(jīng)典的沃爾什（Walsh）函數(shù)及哈爾（Haar）函數(shù)?！斗沁B續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》詳細闡述U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)構(gòu)造與性質(zhì)，并著重討論了它們在信息重構(gòu)中的應(yīng)用；對某些圖像處理、信號消噪、信息隱藏等問題展示其實用效果；特別在計算機輔助幾何設(shè)計中，U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)提供了對幾何圖組作頻譜分析的新途徑。

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