非連續(xù)正交函數(shù)

內(nèi)容概要

　　本書(shū)聚焦于非連續(xù)正交函數(shù)及其在工程中的應(yīng)用。共9章。前3章介紹Wlalsh函數(shù)、Haar函數(shù)、正交樣條函數(shù)；第4章與第5章分別介紹U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)：第6章談三角域上非連續(xù)正交函數(shù)的構(gòu)造；后3章以數(shù)字幾何與數(shù)字圖像處理中的實(shí)際問(wèn)題為背景，詳細(xì)闡述利用U、V-系統(tǒng)的解決途徑。
　　本書(shū)讀者對(duì)象為應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生、研究生和教師，以及信號(hào)處理、數(shù)字幾何、圖像處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域的研究人員及工程師。

書(shū)籍目錄

《數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)叢書(shū)》序
前言
緒論
  0.1 什么是Gibbs現(xiàn)象
  0.2 Gibbs現(xiàn)象嚴(yán)重影響信息重構(gòu)
  0.3 為什么研究用正交函數(shù)表達(dá)幾何造型
  0.4 什么是U-系統(tǒng)什么是V-系統(tǒng)
第1章 數(shù)值逼近基礎(chǔ)
  1.1 線性空間
  1.2 Gram-Schmidt正交化過(guò)程
  1.3 正交多項(xiàng)式
    1.3.1 Legendre多項(xiàng)式
    1.3.2 第一類Chebyshev多項(xiàng)式
    1.3.3 其他重要的正交多項(xiàng)式
  1.4 Fourier級(jí)數(shù)
  1.5 小波函數(shù)
  1.6 多項(xiàng)式插值及逼近
  1.7 Weierstrass逼近定理與Bezier曲線
  1.8 樣條函數(shù)
    1.8.1 B-樣條基函數(shù)
    1.8.2 多結(jié)點(diǎn)樣條基本函數(shù)
  1.9 函數(shù)的磨光與平滑
    1.9.1 Lanczos因子
    1.9.2 磨光算子的推廣
  1.10 面積坐標(biāo)
  1.11 區(qū)域的自相似剖分
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第2章 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)
  2.1 什么是Walsh函數(shù)
  2.2 生成Walsh函數(shù)的信號(hào)復(fù)制方法
  2.3 Walsh函數(shù)的其他定義
    2.3.1 Gray碼與Gray變換
    2.3.2 Rademacher函數(shù)
    2.3.3 用Rademacher函數(shù)定義Walsh函數(shù)
    2.3.4 用Hadamard矩陣定義Walsh函數(shù)
  2.4 快速Walsh變換
  2.5 Haar函數(shù)
  2.6 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)的聯(lián)系
  2.7 Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)的變體
  2.8 張量積形式的Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第3章 正交樣條函數(shù)
  3.1 正交的折線(1次樣條)函數(shù)系
  3.2 k(k>1)次正交樣條函數(shù)系
  3.3 Franklin函數(shù)系及其推廣
  3.4 樣條曲線正交重構(gòu)
  3.5 樣條曲面正交重構(gòu)
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第4章 U-系統(tǒng)
  4.1 1次U-系統(tǒng)的構(gòu)造
  4.2 1次U-系統(tǒng)的性質(zhì)
    4.2.1 正交性
    4.2.2 序率性
    4.2.3 再生性
  4.3 1次u-系統(tǒng)的幾何造型
  4.4 高次u-系統(tǒng)的構(gòu)造
  4.5 k次u-系統(tǒng)的收斂性
  4.6 1次u-系統(tǒng)與斜變換
  4.7 斜變換快速算法
  4.8 關(guān)于離散U-變換的注記
  4.9 關(guān)于U-系統(tǒng)的變體
  4.10 U-系統(tǒng)與預(yù)小波
  4.11 參數(shù)曲線圖組正交表達(dá)示例
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第5章 V-系統(tǒng)
  5.1 從U-系統(tǒng)到V-系統(tǒng)
    5.1.1 k次V-系統(tǒng)的構(gòu)造
    5.1.2 k=0，1，2，3的情形
  5.2 從Franklin函數(shù)到V-系統(tǒng)
    5.2.1 截?cái)鄦雾?xiàng)式函數(shù)
    5.2.2 從截?cái)鄦雾?xiàng)式到V-系統(tǒng)
    5.2.3 k=O，1，2，3的情形
  5.3 有限區(qū)間上的正交多小波
  5.4 V-系統(tǒng)的多小波性質(zhì)
  5.5 斜小波與V-系統(tǒng)
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第6章   三角域上的U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)
  6.1 三角域上的Walsh函數(shù)
    6.1.1 三角域上的Rademacher函數(shù)
    6.1.2 三角域上P次序的Walsh函數(shù)
    6.1.3 三角域上H次序的Walsh函數(shù)
  6.2 三角域上的Haar函數(shù)
    6.2.1從Haar矩陣到三角域上的Haar函數(shù)
    6.2.2 Haar函數(shù)的不同排列次序
  6.3 三角域上Walsh與Haar函數(shù)的性質(zhì)
  6.4 面積坐標(biāo)下的計(jì)算
  6.5 三角域上的1次U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)
  6.6 k次U、V-系統(tǒng)
  6.7 三角域上直角坐標(biāo)下的U、V-系統(tǒng)
  6.8 實(shí)驗(yàn)例子
  6.9 關(guān)于三角域上正交多項(xiàng)式的注記
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第7章 描述子與矩函數(shù)
  7.1 U、V-描述子
  7.2 v-描述子檢測(cè)例題
    7.2.1 例題
    7.2.2 關(guān)于預(yù)處理的注記
  7.3 用v-描述子作聚類分析：Chernoff臉譜實(shí)例
  7.4 V-描述子在形狀分類和檢索中的探索
  7.5 空間三角網(wǎng)格模型的v-描述子例題
  7.6 圖組中的子圖次序問(wèn)題
    7.6.1 子圖排序的影響
    7.6.2 能量計(jì)算及分段Legendre多項(xiàng)式
  7.7 矩函數(shù)
    7.7.1 幾何矩
    7.7.2 Zernike矩
  7.8 關(guān)于球面調(diào)和函數(shù)
  7.9 基于U、V-系統(tǒng)的矩函數(shù)
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第8章   幾何模型的V-系統(tǒng)表達(dá)及其實(shí)現(xiàn)
  8.1 三角網(wǎng)格模型
  8.2 分解算法及其實(shí)現(xiàn)
    8.2.1 分解算法框架
    8.2.2 分解算法實(shí)現(xiàn)中的問(wèn)題
  8.3 重構(gòu)算法及其實(shí)現(xiàn)
  8.4 實(shí)驗(yàn)檢測(cè)
    8.4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境
    8.4.2 經(jīng)典模型
    8.4.3 非經(jīng)典模型
    8.4.4 群組模型
  8.5 模型V-譜表達(dá)特點(diǎn)的探討
    8.5.1 對(duì)模型的濾波
    8.5.2 V-譜的分區(qū)分層結(jié)構(gòu)
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
第9章   圖像數(shù)值逼近中的正交重構(gòu)問(wèn)題
  9.1 圖像的規(guī)則非均勻剖分
  9.2 非均勻剖分下v-系統(tǒng)的構(gòu)造
  9.3 自適應(yīng)最佳基選擇
  9.4 二維非均勻V-系統(tǒng)及圖像的區(qū)域剖分
  9.5 圖像的自適應(yīng)非規(guī)則剖分
  小結(jié)
  問(wèn)題與討論
  參考文獻(xiàn)
附錄  2次及3次三角域v-系統(tǒng)
  A.1 2次三角域V-系統(tǒng)前兩組基函數(shù)
  A.2 3次三角域V-系統(tǒng)前兩組基函數(shù)
索引
《數(shù)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)叢書(shū)》已出版書(shū)目

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：插圖：緒論0.1 什么是Gibbs現(xiàn)象熟知，用有限項(xiàng)Fourier級(jí)數(shù)表達(dá)間斷信號(hào)時(shí)，在間斷點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，并且這種波動(dòng)不能因求和的項(xiàng)數(shù)增大而徹底消失，這就是著名的Gibbs現(xiàn)象.Wilbraham于1848年首先觀察到這一現(xiàn)象，后來(lái)Gibbs（1839|1903）做了深入細(xì)致的研究.在正交函數(shù)理論及其應(yīng)用的研究中，Gibbs現(xiàn)象的消減問(wèn)題一直倍受重視。0.2 Gibbs現(xiàn)象嚴(yán)重影響信息重構(gòu)Gibbs現(xiàn)象的研究之所以引起關(guān)注，在于它的出現(xiàn)造成數(shù)據(jù)偏差。在數(shù)字圖像、語(yǔ)音處理，以及用Fourier方法求解微分方程等問(wèn)題中，人們都要設(shè)法消減它的影響。這里特別強(qiáng)調(diào)指出，在幾何信息重構(gòu)的問(wèn)題中，Gibbs現(xiàn)象的影響更應(yīng)引起重視。在二維及三維幾何造型中，幾何對(duì)象往往包含許多部件和零件。作為幾何圖組，其子圖互相分離（強(qiáng)間斷）以及非光滑連接（弱間斷）的情況不可避免。幾何造型的精度要求很高，如果說(shuō)信號(hào)處理的某些實(shí)際問(wèn)題中Gibbs現(xiàn)象的出現(xiàn)尚可接受的話，那么在幾何信息表達(dá)中則是不可容忍的。在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，廣泛應(yīng)用分片多項(xiàng)式對(duì)幾何形狀的控制數(shù)據(jù)作插值或擬合。用樣條曲線及B.ezier曲線（曲面）等方法表達(dá)幾何對(duì)象的造型，理論上是完美的，應(yīng)用上是成功的。然而，表達(dá)樣條曲線及B.ezier曲線（曲面）所采用的基函數(shù)，即B-樣條基及Bernstein基（本書(shū)第1章將有介紹），都不是正交基。計(jì)算幾何學(xué)中，人們?yōu)槭裁床挥谜换プ鰩缀卧煨?？?duì)已有的分片多項(xiàng)式表達(dá)的幾何造型，為什么不做正交重構(gòu)？回答是明確的：正交表示與正交重構(gòu)不是沒(méi)意義，恰恰相反，它們十分有用，這一點(diǎn)將在后面的相關(guān)章節(jié)進(jìn)一步解說(shuō)其意義所在。先要說(shuō)采用已有的、連續(xù)的正交函數(shù)作幾何造型的正交重構(gòu)，將嚴(yán)重地受Gibbs現(xiàn)象影響?？紤]簡(jiǎn)單的幾何圖形，看看在幾何造型中用正交的Fourier三角級(jí)數(shù)作為表達(dá)工具將會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)果。本章針對(duì)U、V-系統(tǒng)在圖像處理中的應(yīng)用作一注記，所論及的圖像數(shù)值逼近，指的是將基于像素的圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，從而給為數(shù)字圖像處理與分析帶來(lái)方便，本書(shū)第8章針對(duì)曲線與曲面幾何對(duì)象，討論了用張量積或三角域上的U-系統(tǒng)及V-系統(tǒng)基函數(shù)表達(dá)給定的對(duì)象，不論張量積或三角域的情形，給定函數(shù)（即處理的對(duì)象）的定義域，其剖分都是均勻的，并且加細(xì)剖分過(guò)程及基函數(shù)的分組分類定義，都是按照一定的自相似結(jié)構(gòu)進(jìn)行，這類對(duì)區(qū)域的自相似均勻剖分，對(duì)廣泛的應(yīng)用問(wèn)題，具有方便、簡(jiǎn)潔、通用的優(yōu)點(diǎn)，但是，眾所周知，在數(shù)字圖像處理的實(shí)際問(wèn)題中，這種均勻剖分沒(méi)有針對(duì)對(duì)象的特殊性，如果對(duì)給定的對(duì)象，考慮自適應(yīng)的區(qū)域剖分，使之更好地適應(yīng)對(duì)象的數(shù)據(jù)變化特點(diǎn)，那么以自適應(yīng)非均勻剖分所耗費(fèi)代價(jià)、可以獲得處理結(jié)果的更好質(zhì)量。

編輯推薦

《非連續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》主要內(nèi)容簡(jiǎn)介：從傅立葉（Fourier）級(jí)數(shù)理論中的吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象談起，說(shuō)明研究非連續(xù)正交函數(shù)的理論意義及實(shí)用價(jià)值。作為《非連續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》中心內(nèi)容的U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)，是分段k次多項(xiàng)式組成的一類非連續(xù)正交函數(shù)系（k=01,2,3,…），其特例（k=0）恰恰分別為經(jīng)典的沃爾什（Walsh）函數(shù)及哈爾（Haar）函數(shù)。《非連續(xù)正交函數(shù):U-系統(tǒng)、V-系統(tǒng)、多小波及其應(yīng)用》詳細(xì)闡述U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)構(gòu)造與性質(zhì)，并著重討論了它們?cè)谛畔⒅貥?gòu)中的應(yīng)用；對(duì)某些圖像處理、信號(hào)消噪、信息隱藏等問(wèn)題展示其實(shí)用效果；特別在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)提供了對(duì)幾何圖組作頻譜分析的新途徑。

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