統(tǒng)一無窮理論

內(nèi)容概要

　　本書是我國著名的人工智能學(xué)者、泛邏輯學(xué)專家何華燦教授根據(jù)理想計數(shù)器模型，綜合運(yùn)用三維視野(自然數(shù)數(shù)值維、編碼長度維和。。的可達(dá)性維)，指出傳統(tǒng)自然數(shù)集概念和層次無窮理論的局限性，提出完整的自然數(shù)集概念和統(tǒng)一無窮理論：①肯定自然數(shù)的二重性(內(nèi)蘊(yùn)性和排序性)和無窮的雙相性(潛無窮和實(shí)無窮并存)。②指出潛無窮過程只能生成由有窮自然數(shù)組成的開放序列，它不是無窮集合；實(shí)無窮過程可生成由所有自然數(shù)組成的無窮集合，包括有窮自然數(shù)、趨近無窮自然數(shù)和無窮大。③斷定完整的自然數(shù)集和單位區(qū)間實(shí)數(shù)集等勢，2∞=∞是∞的基本性質(zhì)，∞和無窮小δ=1/∞唯一存在。④提出數(shù)的理想模型和規(guī)范模概念，證明超越數(shù)和無理數(shù)都是無窮集，得到了超越數(shù)的判定定理。
　　本書是用計算機(jī)科學(xué)原理和方法論證數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的初次嘗試，重點(diǎn)在于闡述統(tǒng)一無窮理念，適于研究無窮問題的數(shù)學(xué)、哲學(xué)、邏輯、計算機(jī)科學(xué)、信息科學(xué)和人工智能的專家、博士生及廣大科學(xué)愛好者閱讀和參考，凡具有大專以上文化程度的讀者均可讀懂。

作者簡介

　　何華燦，1938年生，西北工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。1960年畢業(yè)于西北工業(yè)大學(xué)計算機(jī)專業(yè)，20世紀(jì)70年代曾經(jīng)從事航空機(jī)載計算機(jī)的設(shè)計，1980年開始從事人工智能應(yīng)用研究，1995年開始從事人工智能基礎(chǔ)和泛邏輯學(xué)研究，2006年開始研究實(shí)無窮理論。1980年參與發(fā)起成立中國人工智能學(xué)會，現(xiàn)任該學(xué)會副理事長，兼任人工智能基礎(chǔ)專業(yè)委員會主任。
　　先后主持完成國家自然科學(xué)基金項目、省部級基金項目、學(xué)?；A(chǔ)研究重點(diǎn)項目和橫向合同項目十余項，設(shè)計過8個實(shí)用專家系統(tǒng)，出版專著《人工智能導(dǎo)論》《泛邏輯學(xué)原理》和《統(tǒng)一實(shí)無窮理論》等，主編出版《信息、智能與邏輯》叢書，發(fā)表科研論文160余篇。

書籍目錄

序一
序二
前言
第1章 探迷數(shù)學(xué)的靈魂
1.1 信息時代需要統(tǒng)一的無窮概念
1.2 現(xiàn)實(shí)中沒有無窮概念的原型
1.3 人類的無窮概念在不斷演變
1.4 現(xiàn)在的無窮已陷入超窮數(shù)“迷宮”
1.5 作者有幸走出超窮數(shù)“迷宮”
1.6 無窮概念的重新統(tǒng)一
第2章 無窮從有窮處蹣跚走來
2.1 無窮是數(shù)學(xué)的基本概念
2.1.1 無窮關(guān)乎數(shù)學(xué)的完整性
2.1.2 超越大(小)數(shù)范疇的無窮概念
2.2 數(shù)學(xué)發(fā)展的四個時期
2.2.1 數(shù)學(xué)形成時期
2.2.2 常量數(shù)學(xué)時期
2.2.3 變量數(shù)學(xué)時期
2.2.4 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期
2.3 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)中的無窮概念
2.3.1 勾股定理的發(fā)現(xiàn)
2.3.2 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派
2.3.3 畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
2.3.4 人類對無窮概念的最初思考和運(yùn)用
2.3.5 兩種無窮觀對立的由來
2.3.6 無窮集合中的長期困惑
2.4 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中的無窮概念
2.4.1 實(shí)無窮觀的興起
2.4.2 貝克萊悖論和第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)
2.4.3 彌補(bǔ)微積分漏洞的最初嘗試
2.4.4 數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的潛無窮化
2.4.5 實(shí)數(shù)理論的建立
第3章 超越潛無窮的大膽嘗試
3.1 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中的無窮概念
3.1.1 康托爾的集合論和層次無窮理論
3.1.2 羅素悖論和第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
3.2 關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的大論戰(zhàn)
3.2.1 邏輯主義學(xué)派
3.2.2 直覺主義學(xué)派
3.2.3 形式主義學(xué)派
3.2.4 哥德爾不完全性定理
3.3 數(shù)理邏輯的大發(fā)展
3.4 對無窮概念的最新研究
3.4.1 非標(biāo)準(zhǔn)分析中的實(shí)無窮概念
3.4.2 我國現(xiàn)代學(xué)者對無窮概念的探索
3.4.3 本書擬解決的關(guān)鍵問題和具體思路
第4章 到達(dá)潛無窮的邊界
4.1 無窮大的各種概念模型
4.1.1 有三種可能的無窮大概念模型
4.1.2 作者的無窮探索之路
4.2 計數(shù)器是一切數(shù)的生成器
4.2.1 所有的數(shù)都可由計數(shù)器“數(shù)”出來
4.2.2 有窮位計數(shù)器的結(jié)構(gòu)和工作過程
4.2.3 計數(shù)器是自然數(shù)基本運(yùn)算規(guī)則的驗(yàn)證器
4.2.4 有窮位計數(shù)器只能生成有窮自然數(shù)
4.2.5 有窮位計數(shù)器中的一些重要規(guī)律
4.3 潛無窮和實(shí)無窮長期對立的根源
4.3.1 有窮位計數(shù)器工作模式的不變性
4.3.2 自然數(shù)有兩類完全不同的性質(zhì)
4.3.3 在數(shù)系中引入理想元∞
4.4 潛無窮過程的理想計數(shù)器模型
4.4.1 先期的約定
4.4.2 無窮位理想計數(shù)器的構(gòu)造
4.4.3 潛無窮位理想計數(shù)器
4.4.4 -/ω的極限編碼悖論
4.4.5 潛無窮序列不是無窮集合
第5章 深入實(shí)無窮的領(lǐng)地
5.1 實(shí)無窮過程的理想計數(shù)器模型
5.1.1 實(shí)無窮位理想計數(shù)器
5.1.2 實(shí)無窮過程中的趨近無窮自然數(shù)
5.1.3 第∞個計數(shù)脈沖的編號問題
5.1.4 科學(xué)無窮觀中的三大要素
5.2 重新認(rèn)識各種無窮主張
5.2.1 無窮概念是最原始的基本概念
5.2.2 對歷史上各種無窮觀的綜合評價
5.3 完整的自然數(shù)譜及其性質(zhì)
5.3.1 完整的自然數(shù)譜
5.3.2 完整的自然數(shù)譜中的極限對和分區(qū)
5.3.3 超窮自然數(shù)的增值運(yùn)算性質(zhì)
5.3.4 自然數(shù)的阿基米得性
5.3.5 為什么越前進(jìn)問題越多
5.4 無窮編碼的不變性
5.4.1 有窮數(shù)和無窮大的本質(zhì)差別
5.4.2 ICI原理
5.4.3 ICI原理的物理意義
5.5 康托爾對無窮理論的貢獻(xiàn)和不足
5.5.1 歷史上的三種無窮觀
5.5.2 康托爾對無窮理論的巨大貢獻(xiàn)
5.5.3 康托爾層次無窮理論的瑕疵
第6章 闖入無窮小的禁區(qū)
6.1 必須進(jìn)一步放下的思維定式
6.1.1 實(shí)數(shù)是連續(xù)統(tǒng)
6.1.2 自然數(shù)不是無窮位編碼
6.1.3 無窮沒有邊界
6.1.4 無窮是一個變化過程
6.2 無窮大唯一性的更多證明
6.2.1 關(guān)于n+∞=∞的證明
6.2.2 關(guān)于n×∞=∞的證明
6.2.3 關(guān)于∞/n=∞的證明
6.2.4 用無窮集合的冪集證明2/∞=∞
6.3 無窮小的概念模型
6.3.1 無窮小概念的鏡像計數(shù)器模型
6.3.2 無窮小概念的閃點(diǎn)計數(shù)器模型
6.3.3 無窮小概念的實(shí)無窮層滿二叉樹模型
6.4 觀察編碼數(shù)的多種視角
6.4.1 編碼數(shù)的兩種命名習(xí)慣
6.4.2 兩種命名習(xí)慣之間的關(guān)系
6.4.3 一般實(shí)數(shù)中的命名習(xí)慣
6.5 無窮小的性質(zhì)及實(shí)數(shù)譜
6.5.1 定義無窮小概念的科學(xué)依據(jù)
6.5.2 單位區(qū)間實(shí)數(shù)譜和正實(shí)數(shù)譜
6.5.3 單位區(qū)間實(shí)數(shù)的減值運(yùn)算性質(zhì)
6.5.4 無窮小的定義及基本運(yùn)算性質(zhì)
6.5.5 單位區(qū)間實(shí)數(shù)的其他重要性質(zhì)
第7章 數(shù)的理想模型
7.1 自然數(shù)的理想模型
7.1.1 自然數(shù)的編碼是原始編碼
7.1.2 完全編碼算法CEA
7.1.3 自然數(shù)概念的周界
7.1.4 自然數(shù)集中的極限自守性
7.2 單位區(qū)間實(shí)數(shù)的理想模型
7.2.1 完全譯碼算法的一般描述
7.2.2 單位區(qū)間實(shí)數(shù)的理想模型CDA-11
7.2.3 單位區(qū)間實(shí)數(shù)中的極限編碼自守性
7.3 常見人工數(shù)的理想模型
7.3.1 整數(shù)的完全譯碼算法CDA-22
7.3.2 正整數(shù)冪集的完全譯碼算法CDA-13
7.3.3 正實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-34
7.4 所有無窮集合的數(shù)學(xué)模型
7.4.1 正整數(shù)的完全譯碼算法CDA-15
7.4.2 有限區(qū)間實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-46
7.4.3 實(shí)數(shù)的完全譯碼算法CDA-57
7.4.4 會計數(shù)的完全譯碼算法CDA-48
7.4.5 復(fù)數(shù)的完全譯碼算法CDA-69
7.4.6 其他更復(fù)雜人工數(shù)的理想模型
7.4.7 自然數(shù)集是所有無窮集的數(shù)學(xué)模型
7.5 規(guī)范模及其應(yīng)用
7.5.1 規(guī)范模的定義及其性質(zhì)
7.5.2 常見的無理數(shù)和超越數(shù)
7.5.3 規(guī)范型的應(yīng)用
參考文獻(xiàn)
附錄
附錄A 人物列表
附錄B 特殊術(shù)語的中英文對照
后記

章節(jié)摘錄

　　第1章探迷數(shù)學(xué)的靈魂無窮是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)如影隨形，相輔而行，不可分離?！　〃D―作者眾所周知，數(shù)學(xué)是從認(rèn)識有窮（finite）自然數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)開始的，為了在論證中窮盡所有的自然數(shù)（所有的可能性），數(shù)學(xué)中需要有一個無窮（infinity）概念?！　∪欢?，所有能夠具體寫出來的自然數(shù)都是有窮數(shù)，它們不是無窮，無窮只存在于人的抽象思維中，屬于理想世界。在數(shù)學(xué)中，一方面不具體地說出有窮自然數(shù)，就說不清楚什么是數(shù)，更不知道它們的運(yùn)算概念和運(yùn)算規(guī)則；另一方面，不抽象地說到無窮，就說不完所有的可能性，只能是天外有天，沒完沒了。自數(shù)學(xué)誕生以來，有窮和無窮就這樣如影隨形，相輔而行，不可分離。所以，無窮對于數(shù)學(xué)來說，如同靈魂對于肉身一樣重要，一旦分離，就會出現(xiàn)大問題。難怪德國數(shù)學(xué)家外爾（Weyl，1885～1955）說：“無窮是數(shù)學(xué)的靈魂”（趙煥光，2008）。　　本書要傳遞給讀者的思想理念是：數(shù)學(xué)只能有一個無窮大，認(rèn)為存在無限多個越來越大的無窮大，這本身就是對無窮大概念的否定，在邏輯上是不成立的；無窮?。╥nfinitesimal）和無窮大密切相關(guān)，是同一個無窮概念的兩個不同側(cè)面；層次無窮理論在引入“實(shí)無窮”概念的同時，已經(jīng)造成了數(shù)學(xué)靈魂的迷失，應(yīng)該引起大家的注意！　　無窮概念是從有窮概念中反向演化出來的，歷史上出現(xiàn)過各種無窮概念和無窮主張，它們雖然都說出了無窮大的部分特征和性質(zhì)，具有相對的合理性，但也都不同程度地保留了有窮自然數(shù)或趨近無窮自然數(shù)的部分特征和性質(zhì)，因此都是處在演變過程中不徹底和不完整的無窮概念。由于它們只能反映科學(xué)無窮概念的部分特征和性質(zhì)，因而頻頻引發(fā)各種悖論，甚至造成數(shù)學(xué)危機(jī)。作者分析了其中的原因，發(fā)現(xiàn)主要是人們觀察無窮概念的視角有片面性：大部分人是在數(shù)值維上孤立地考察無窮概念，并且習(xí)慣性地認(rèn)為所有的自然數(shù)都是有窮的，無窮大只是有窮自然數(shù)無限增大的外極限，它本身并不可達(dá)。只有康托爾等少數(shù)人注意到了實(shí)數(shù)的編碼維特征，但沒有把數(shù)值維和編碼維綜合起來全面思考無窮概念，因而誤入了層次無窮的歧途。至于一個無窮過程是否可以自我完成的差別，本來都是自然數(shù)的性質(zhì)，則被誤認(rèn)為是建立兩種互不相容無窮觀的依據(jù)，搞得水火不容，不共戴天。作者把無窮概念完全置身于由自然數(shù)的數(shù)值大小、數(shù)的編碼長度和數(shù)性的可窮盡性（實(shí)無窮的可達(dá)性）組成的三維空間內(nèi)，綜合全面地考察潛無窮過程和實(shí)無窮過程，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的自然數(shù)集根本不是無窮集合，而是由有窮自然數(shù)組成的、永遠(yuǎn)處在生成過程中的開放數(shù)列，康托爾通過它來定義無窮大概念是完全錯誤的，應(yīng)該徹底糾正。事實(shí)上只有完整的自然數(shù)集才是真正的無窮集合，它只能由一個實(shí)無窮過程生成，其中包括所有的有窮自然數(shù)、趨近無窮自然數(shù)和無窮大。作者在完整的自然數(shù)集基礎(chǔ)上提出了統(tǒng)一無窮概念和理論。其核心思想是：“統(tǒng)一無窮概念包括無窮大和無窮小兩個方面：無窮大比所有的有窮自然數(shù)都大，它本身不能再繼續(xù)增大了（而康托爾的超窮數(shù)本身還在繼續(xù)增大）。無窮小是無窮大的倒數(shù)，它本身不能再繼續(xù)減小了（而傳統(tǒng)的無窮小量本身還在繼續(xù)減?。８鶕?jù)數(shù)學(xué)對象自身性質(zhì)的不同，趨近統(tǒng)一無窮的過程有兩種不同的方式：在研究內(nèi)蘊(yùn)類性質(zhì)時服從潛無窮方式，使用傳統(tǒng)的有窮自然數(shù)列概念，即無窮過程只能無限制地接近無窮，而不能到達(dá)無窮；在研究排序類性質(zhì)時服從實(shí)無窮方式，使用完整的自然數(shù)集概念，即無窮過程可以最終到達(dá)無窮。所以潛無窮和實(shí)無窮可以長期共存，和平共處?！边@就是作者試圖要在一切科學(xué)思維中頑強(qiáng)確立的科學(xué)無窮觀。它綜合考慮了各種可能的因素，能夠把歷史上有價值的無窮研究成果串聯(lián)起來成為一個統(tǒng)一的無窮理論體系，是一個演化更加成熟的科學(xué)無窮概念?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)該放棄層次無窮概念，沿著統(tǒng)一無窮的方向向前發(fā)展。作者將用整本書的篇幅來詳細(xì)詮釋這一核心思想，請讀者耐心地品味。由于傳統(tǒng)的自然數(shù)集概念已有數(shù)千年的使用歷史，層次無窮概念和理論也已深入人心，占據(jù)著統(tǒng)治地位，所以許多數(shù)學(xué)家會一時難以接受本書的研究方法和結(jié)論。但是，作者堅信，事實(shí)終究是事實(shí)，真理終究是真理，數(shù)學(xué)界最終一定能夠克服各種歷史成見和學(xué)科壁壘，發(fā)現(xiàn)層次無窮概念和理論的局限性，接受統(tǒng)一無窮概念和理論，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)真正推上迅速發(fā)展的快車道。　　1.1信息時代需要統(tǒng)一的無窮概念無窮是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，與計算機(jī)科學(xué)、人工智能和邏輯學(xué)研究有什么直接關(guān)系，與當(dāng)前的信息科學(xué)理論體系建設(shè)有什么關(guān)系，值得作者花這樣大的氣力跨學(xué)科去關(guān)注和研究它嗎？作者的回答是肯定的?！　。?）從抽象的宏觀層面講，數(shù)理邏輯、形式語言與自動機(jī)理論、計算機(jī)科學(xué)和智能科學(xué)，甚至整個信息科學(xué)都是建立在圖靈機(jī)基礎(chǔ)上的。英國數(shù)學(xué)家圖靈（Turing，1912～1954）是一個超時代的奇才，他最早用抽象分析法闡明了計算的本質(zhì)。1936年圖靈根據(jù)人類思維計算的活動規(guī)律，提出了理想計算機(jī)模型（后人稱為圖靈機(jī)模型）。如圖1-1所示。他把人的計算過程簡化為在無窮長的磁帶上讀寫符號0或1，需要執(zhí)行的動作無外乎是：①在磁帶上寫符號0?！　、谠诖艓蠈懛?。　?、墼诖艓舷蜃笠埔桓??！　、茉诖艓舷蛴乙埔桓??！　、萦^察磁帶上正在掃描的符號并選擇下一步操作。　?、尥Ｖ埂！　∵@個模型十分簡單而清晰地揭示了計算過程的本質(zhì)（徐利治，2007）?！　〕橄蟮卣f，圖靈機(jī)模型由有窮狀態(tài)自動機(jī)、讀寫磁頭和無窮長磁帶三部分組成，其使用的字符表是｛0，1｝。有窮狀態(tài)自動機(jī)是一個邏輯自動機(jī)，由有窮條用二值邏輯表達(dá)式書寫的規(guī)則組成，詳細(xì)規(guī)定了磁頭如何讀、寫、移位和停機(jī)。磁帶是一個具有無窮多個存儲單元的記憶裝置，每個存儲單元可通過磁頭寫0、寫1或不寫，也可以通過磁頭把單元中的內(nèi)容讀出來，送給有窮狀態(tài)自動機(jī)進(jìn)行處理。磁頭受有窮狀態(tài)自動機(jī)的控制，在磁帶上完成讀、寫、移位和停機(jī)等動作。研究證明，所有可計算的函數(shù)都可以在圖靈機(jī)上運(yùn)行，所有在圖靈機(jī)上運(yùn)行的函數(shù)都是可計算的。1950年圖靈在“計算機(jī)能思維嗎？”一文中明確提出了機(jī)器能思維的觀點(diǎn)，并設(shè)計了一種檢驗(yàn)機(jī)器智能的實(shí)驗(yàn)，即著名的圖靈測驗(yàn)。圖靈機(jī)是20世紀(jì)提出的最重要的數(shù)學(xué)概念之一，它不僅奠定了數(shù)理邏輯、形式語言與自動機(jī)理論、計算機(jī)科學(xué)和人工智能的理論基礎(chǔ)，也是整個信息科學(xué)理論體系的重要基礎(chǔ)理論之一（何華燦，何智濤，2006）?！　∮蓤D1-1可以清楚地看出，邏輯和無窮是圖靈機(jī)模型中的兩個基本概念，它們對目前正在開展的信息科學(xué)理論體系的建設(shè)有決定性的影響。例如，在無窮概念中，由于存在無限多個越來越大的無窮大，其中只有最小的與自然數(shù)集對應(yīng)的無窮大是可數(shù)無窮0（是希伯來字母，讀阿列夫），它是圖靈機(jī)可以處理的。其他還有與實(shí)數(shù)集對應(yīng)的不可數(shù)無窮1，與所有實(shí)函數(shù)集對應(yīng)的更大的無窮2等，共有無限多個越來越高的層次，都是圖靈機(jī)處理不了的。又如，在邏輯概念中，盡管從理論上講二值的剛性邏輯可以描述所有可計算的函數(shù)并在圖靈機(jī)上運(yùn)行，但是從實(shí)際的使用效率和應(yīng)用方便性上講，連續(xù)值的柔性邏輯可能會更好。這就好比說：盡管從原則上講，由黑白兩色組成的圖畫可以描述整個世界中的萬事萬物，如早期的黑白雙色繪畫，但從實(shí)際表達(dá)效果方面講，多值圖、灰度圖、彩色圖或者視頻可能會更好（何華燦，2008）。目前在數(shù)理邏輯中的所有證明，都是基于自然數(shù)（可數(shù)無窮）進(jìn)行的，這對二值的一階邏輯當(dāng)然沒有問題。但是，對高階邏輯（涉及不可數(shù)無窮）和定義在連續(xù)統(tǒng)上的柔性邏輯（涉及更高的不可數(shù)無窮）的證明問題，目前就沒有任何辦法了。這樣就在數(shù)理邏輯中形成了許多無法逾越的禁區(qū)，妨礙了數(shù)理邏輯的廣泛應(yīng)用和深入發(fā)展（何華燦，2010）?！　∷?，由于層次無窮理論的存在，數(shù)理邏輯、形式語言與自動機(jī)理論、計算機(jī)科學(xué)、人工智能，甚至整個信息科學(xué)理論體系都只能在一個狹小的可數(shù)無窮空間內(nèi)活動，超出了這個空間去解決各級不可數(shù)無窮問題，其正確性根本沒有理論上的指導(dǎo)和保證。只能在工程上勉強(qiáng)用可數(shù)無窮的方法來近似處理更高階無窮的問題。例如，在一個智能機(jī)器人系統(tǒng)中建立時間概念模型問題。由于時間是一個連續(xù)變量，時間集合是不可數(shù)無窮集合1，以時間為自變量的函數(shù)集是更大的不可數(shù)無窮集合2，這樣就存在一個如何在計算機(jī)中為時間t和時變函數(shù)f（t）建模的問題，難道把通過采樣得到的離散時刻點(diǎn)就能當(dāng)成“時間t”嗎？在它的基礎(chǔ)上能夠進(jìn)一步定義f（t）嗎？從事信息科學(xué)研究的人每天都會遇到類似的疑惑問題。在已經(jīng)進(jìn)入信息時代高潮期的今天，科學(xué)界正在為建立與物質(zhì)科學(xué)理論體系并立的信息科學(xué)理論體系而努力，類似的問題會越來越多，越來越普遍，越來越突出。如果不統(tǒng)一無窮概念，這些問題就根本得不到解決。所以，無窮概念的統(tǒng)一問題是信息時代必須盡快優(yōu)先解決的關(guān)鍵問題（何華燦，馬盈倉，2010）?！　。?）從微觀層面上來認(rèn)識無窮概念這個信息時代的關(guān)鍵問題，可能有些人的感受會更加真切?！　　?/pre>








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