偏微分方程理論與方法

內(nèi)容概要

《偏微分方程理論與方法》(作者馬天)是一部關(guān)于偏微分方程理論與方法的專著，本專著共有六章，第一章系統(tǒng)地介紹了經(jīng)典的線性偏微分理論，第二章較詳細(xì)地介紹了泛函分析的拓?fù)涠壤碚?，變分原理，線性算子半群理論及Banach空間上的動力系統(tǒng)理論，后四章主要是作者的工作，它們包括非線性橢圓及完全非線性橢圓邊值問題存在性與正則性；退化橢圓及非負(fù)特征形式方程邊值問題；非線性耗散型演化方程全局存在性及正則性；雙曲型波方程及量子Hamilton系統(tǒng)以及耗散結(jié)構(gòu)演化方程動力學(xué)，本書特點是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、普適性以及簡單性，同時也強(qiáng)調(diào)方程與自然的聯(lián)系。
《偏微分方程理論與方法》適合于從事數(shù)學(xué)、物理、大氣海洋物理等方面的科研、教學(xué)人員及研究生，大學(xué)高年級本科生學(xué)習(xí)與參考。

書籍目錄

第1章  偏微分方程基本知識
  1．1  概況性介紹
  1．1．1  偏微分方程的科學(xué)意義
  1．1．2  一些重要的方程類型
  1．1．3  主要問題與方法
  1．2  Sobolev空間
  1．2．1  一些重要的函數(shù)空間
  1．2．2  H6lder不等式
  1．2．3  Sob01ev嵌入
  1．2．4  R．e11ich—Kondrachov緊嵌入定理
  1．2．5  跡定理
  l．2．6  內(nèi)插不等式
  1．3  線性橢圓方程的基本理論
  1．3．1  橢圓方程與弱解
  1．3．2  Garding不等式
  1．3．3  Lax—Milgram定理與弱解存在性
  1．3．4  Fredholm二擇一定理
  1．3．5  弱解的□正則性
  1．4  線性微分算子的正則性估計
  1．4．1  極值原理
  1．4．2  Schauder理論
  1．4．3  □理論
  1．4．4  一般線性橢圓微分算子的ADN理論
  l．4．5  弱解的□模估計
  l．4．6  Harnack不等式
  1．4．7  De Giorgi—Nash的H6lder模估計
  1．5  評注
第2章  非線性泛函分析基礎(chǔ)
  2．1  Brouwer拓?fù)涠扰c指標(biāo)公式
  2．1．1  引言
  2．1．2  Sard定理
  2．1．3  邊界環(huán)繞數(shù)與奇點的指標(biāo)
  2．1．4  Brouwer拓?fù)涠?br />  2．1．5  拓?fù)涠鹊幕拘再|(zhì)
  2．1．6  流形上向量場邊界環(huán)繞數(shù)與奇點指標(biāo)的公式
  2．2  Leray—Schauder度理論
  2．2．1  動機(jī)與背景介紹
  2．2．2  Leray—Schauder度
  2．2．3  連續(xù)性方法
  2．2．4  孤立奇點指標(biāo)公式
  2．3  變分原理
  2．3．1  泛函的極小值問題
  2．3．2  變分算子與微分方程的關(guān)系
  2．3．3  極小值點的存在性
  2．3．4  約束條件下的極小值
  2．3．5  線性對稱緊算子特征值問題
  2．3．6  泛函的鞍點與極大極小方法
  2．4  算子半群理論
  2．4．1  一般介紹
  2．4．2  Hille—Yosida定理
  2．4．3  Hilbert空間中的強(qiáng)連續(xù)半群
  2．4．4  保守系統(tǒng)生成u算子群的Stone定理
  2．4．5  解析半群的作用與意義
  2．4．6  扇形算子與解析半群
  2．4．7  指數(shù)算子與分?jǐn)?shù)次空間
  2．4．8  偏微分方程中的算子半群
  2．5  Banach空間上的動力系統(tǒng)
  2．5．1  基本概念
  2．5．2  耗散動力系統(tǒng)與吸引子
  2．5．3  非一致緊條件的全局吸引子
  2．5．4  梯度流
  2．6  評注
第3章  非線性橢圓及非負(fù)特征形式方程
  3．1  非線性內(nèi)積算子理論
  3．1．1  偏微分方程的抽象算子形式
  3．1．2  單調(diào)算子理論
  3．1．3  弱連續(xù)算子的銳角原理
  3．1．4  非線性算子的連續(xù)性方法
  3．2  非線性橢圓方程
  3．2．1  預(yù)備知識
  3．2．2  非線性橢圓方程的強(qiáng)解
  3．2．3  擬線性方程的弱解
  3．2．4  二階擬線性方程古典解經(jīng)典結(jié)果
  3．3  二階非線性橢圓方程組
  3．3．1  方程組的正則性問題
  3．3．2  正則性估計定理
  3．3．3  擬線性方程組的弱解
  3．3．4  非線性方程組的正則解
  3．4  一類完全非線性橢圓方程的強(qiáng)解
  3．4．1  基本概念與引理
  3．4．2  □強(qiáng)解存在性
  3．4．3  □強(qiáng)解
  3．4．4  完全非線性方程的經(jīng)典問題與結(jié)果
  3．5  二階退化橢圓Keldys—Fichera邊值問題
  3．5．1  退化問題的背景以及邊界條件
  3．5．2  擬線性問題弱解存在性
  3．5．3  □模估計
  3．5．4  □正則性定理
  3．5．5  內(nèi)部正則性
  3．6  非負(fù)特征形式方程的邊值問題
  3．6．1  高階方程邊界條件的建立
  3．6．2  所建邊值問題的合理性
  3．6．3  非線性邊值問題的存在性
  3．6．4  弱解的□正則性
  3．7評注
第4章  非線性拋物型及耗散結(jié)構(gòu)演化方程
  4．1  非線性算子方程全局存在性與正則性
  4．1．1  基本概念與引理
  4．1．2  弱連續(xù)算子方程的理論(Ⅰ)
  4．1．3  弱連續(xù)算子方程的理論(Ⅱ)
  4．1．4  強(qiáng)制弱連續(xù)算子方程
  4．1．5  具有單調(diào)結(jié)構(gòu)的算子方程
  4．2  算子方程全局解的進(jìn)一步正則性
  4．2．1  半線性方程解的表達(dá)式
  4．2．2  迭代方法的正則性理論
  4．2．3  變分結(jié)構(gòu)方程解的一致有界性
  4．2．4  正則性迭代提升程序的運作方法
  4．3  非線性拋物方程(組)全局弱解與正則性
  4．3．1  兩個嵌入引理
  4．3．2  擬線性拋物方程
  4．3．4  非線性拋物方程組
  4．3．4  退化拋物方程初邊值問題
  4．4  一類完全非線性拋物方程全局強(qiáng)解
  4．4．1  第一初邊值問題的全局存在性
  4．4．2  第二初邊值問題的全局正則解
  4．4．3  強(qiáng)解的一致有界性
  4．4．4  進(jìn)一步正則性
  4．5  Navier—Stokes方程
  4．5．1  Leray分解與弱解形式
  4．5．2  穩(wěn)態(tài)Navier—Stokes方程
  4．5．3  演化的Navier—Stokes方程
  4．5．4  二維方程解的正則性與唯一性
  4．5．5．三維方程的正則性與唯一性問題
  4．6  物理平衡相變的動力學(xué)方程
  4．6．1  平衡相變動力學(xué)統(tǒng)一模型
  4．6．2  PVT系統(tǒng)
  4．6．3  鐵磁系統(tǒng)
  4．6．4  多元體的相分離
  4．6．5  超導(dǎo)體的Ginzbur—Landau方程
  4．6．6  液態(tài)□的超流性
  4．6．7  □的超流性相變
  4．6．8  □混合相分離與相變
  4．7評注
第5章  雙曲型波方程及量子Hamilton系統(tǒng)
  5．1  波算子方程理論
  5．1．1  抽象非線性波方程
  5．1．2  帶強(qiáng)阻尼項的雙曲波方程
  5．1．3  波方程解的表達(dá)式
  5．1．4  解的正則性與唯一性
  5．2  非線性波方程全局存在性與正則性
  5．2．1  彈性連續(xù)介質(zhì)中振動波的一般模型
  5．2．2  非線性波方程全局弱存在性與唯一性
  5．2．3  帶非線性梯度項方程的存在性與正則性
  5．2．4  平板與梁振動方程
  5．2．5  完全非線性及擬線性強(qiáng)阻尼波方程
  5．3  量子Hamilton系統(tǒng)
  5．3．1  量子物理的普適性動力學(xué)原理
  5．3．2  無窮維Hamilton系統(tǒng)
  5．3．3  線性量子系統(tǒng)
  5．3．4  解的表達(dá)式
  5．3．5  Bose．Einstein凝聚(BEC)
  5．3．6  旋量BEC的Gross—Pitauevskii方程
  5．4  守恒系統(tǒng)動力學(xué)
  5．4．1  物理世界的動力學(xué)普遍原理
  5．4．2  Lagrallge系統(tǒng)的Noether定理
  5．4．3  Hamilton系統(tǒng)的守恒量
  5．4．4  U(1)規(guī)范不變性與周期解的對應(yīng)
  5．5  評注
第6章  耗散型非線性演化方程動力學(xué)
  6．1  算子方程全局吸引子理論
  6．1．1  一般算子方程全局吸引子存在性
  6．1．2  具阻尼波算子方程全局吸引子
  6．1．3  梯度流吸引子整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
  6．1．4  全局吸引子的正則性
  6．2  一些物理系統(tǒng)的C□全局吸引子
  6．2．1  反應(yīng)擴(kuò)散方程
  6．2．2  流體動力學(xué)方程
  6．2．3  二元系統(tǒng)的Calan—Hilliard方程
  6．2．4  超導(dǎo)體系統(tǒng)整體解及全局吸引子
  6．3  大氣環(huán)流系統(tǒng)的Lorenz吸引子
  6．3．1  大氣環(huán)流方程與Lorenz模型
  6．3．2  首次相變
  6．3．3  二次相變及其跳躍性
  6．3．4  Lorenz系統(tǒng)躍遷定理的物理意義
  6．3．5  全局吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
  6．3．6  非平衡耗散系統(tǒng)的混沌狀態(tài)
  6．4  赤道大氣環(huán)流與厄爾尼諾動力學(xué)
  6．4．1  Walker環(huán)流與厄爾尼諾(ENSO)現(xiàn)象
  6．4．2  赤道環(huán)流動力學(xué)方程
  6．4．3  理想條件下的Walker環(huán)流
  6．4．4  臨界溫度和對流尺度
  6．4．5  自然條件下的動力學(xué)理論
  6．4．6  厄爾尼諾亞穩(wěn)態(tài)震蕩理論
  6．5  海洋熱鹽大環(huán)流動力學(xué)理論
  6．5．1  海洋全球性大環(huán)流
  6．5．2  熱鹽環(huán)流動力學(xué)方程
  6．5．3  經(jīng)典模型的環(huán)流動力學(xué)理論
  6．5．4  對流尺度修正模型動力學(xué)理論
  6．5．5  地球海洋熱鹽大環(huán)流物理結(jié)論
  6．6  評注
參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：對于非線性演化方程來講，存在性與正則性問題只能起到理論基礎(chǔ)的作用，而真正能幫助我們理解自然，架起數(shù)學(xué)與其他科學(xué)之間橋梁的是微分方程的動力學(xué)理論，全局吸引子理論是具有耗散結(jié)構(gòu)非線性演化方程動力學(xué)理論的基礎(chǔ)，也是動力學(xué)整體結(jié)構(gòu)的一個重要組成部分，它對于用全局性眼光來審視數(shù)學(xué)與自然之間關(guān)聯(lián)，來發(fā)現(xiàn)、理解和欣賞數(shù)學(xué)與自然有機(jī)融合在一起的美是必不可少的知識環(huán)節(jié)，作者在整個這一節(jié)的安排既有知識結(jié)構(gòu)的考慮，同時也希望讀者能夠從最后兩小節(jié)中體會數(shù)學(xué)是如何與自然有機(jī)交匯在一起的，同時也了解到數(shù)學(xué)在非線性物理現(xiàn)象中并不僅僅是工具和語言作用，更主要的是它是自然奧秘的信息載體。

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