復(fù)變函數(shù)與積分變換

內(nèi)容概要

這本《復(fù)變函數(shù)與積分變換》由成立社和李夢如主編，內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)和積分變換的基本內(nèi)容：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，解析函數(shù)，解析函數(shù)的積分表示、級數(shù)表示，留數(shù)定理及其應(yīng)用，保形映射，傅里葉變換和拉普拉斯變換。此外用一章篇幅介紹了一些重要的概念、重要定理的證明以及典型的應(yīng)用，全書共9章。
《復(fù)變函數(shù)與積分變換》編寫注重基礎(chǔ)概念和基本方法的講解，知識結(jié)構(gòu)清晰。復(fù)變函數(shù)部分以四個等價條件為線索，突出了解析函數(shù)的柯西一黎曼條件、積分表示、級數(shù)表示和保角性，此外強調(diào)了刻畫具有孤立奇點的解析函數(shù)的重要特性的留數(shù)定理及其應(yīng)用。積分變換部分以傅氏變換和拉氏變換的原理和方法為主線，介紹它們的簡單應(yīng)用。闡述力求條理清晰，深入淺出。重要的概念和定理都著重講清產(chǎn)生的背景和內(nèi)涵的本質(zhì)以及與相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，易于使用和閱讀。本書可作為高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的教材或參考書。

書籍目錄

第1章  復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
  1.1 復(fù)數(shù)運算及其表示
    1.1.1 復(fù)數(shù)的概念及其代數(shù)運算
    1.1.2 復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示方法
    1.1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根
    1.1.4 復(fù)球面與無窮遠點
  1.2 平面點集的復(fù)數(shù)表示
    1.2.1 平面點集的一般概念
    1.2.2 復(fù)平面上的曲線方程
    1.2.3 簡單曲線與區(qū)域的連通性
  1.3 復(fù)變函數(shù)
    1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念
    1.3.2 復(fù)變函數(shù)的幾何意義
  1.4 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)
    1.4.1 復(fù)變函數(shù)的極限
    1.4.2 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性
  閱讀材料1 數(shù)學(xué)巨星——歐拉
  習(xí)題1
  參考答案與提示
第2章  解析函數(shù)
  2.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
    2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分
    2.1.2 函數(shù)在一點可導(dǎo)(微)的一個充要條件
  2.2 解析函數(shù)
    2.2.1 解析函數(shù)的概念
    2.2.2 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件
    2.2.3 解析函數(shù)實部與虛部的幾何特征
    2.2.4 解析函數(shù)的運算律
  2.3 調(diào)和函數(shù)
    2.3.1 調(diào)和函數(shù)的概念
    2.3.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
    2.3.3 利用解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求調(diào)和函數(shù)的穩(wěn)定點(駐點)
  2.4 初等函數(shù)
    2.4.1 指數(shù)函數(shù)
    2.4.2 對數(shù)函數(shù)
    2.4.3 冪函數(shù)
    2.4.4 三角函數(shù)
    2.4.5 反三角函數(shù)
    2.4.6 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)
  閱讀材料2 最富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家——黎曼
  習(xí)題2
  參考答案與提示
第3章  解析函數(shù)的積分表示
  3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念
    3.1.1 復(fù)積分的定義
    3.1.2 復(fù)積分的基本性質(zhì)
    3.1.3 復(fù)積分存在的條件及其基本計算法
  3.2 柯西積分定理
    3.2.1 柯西積分定理
    3.2.2 柯西積分定理的推廣
    3.2.3 多連通區(qū)域上的柯西積分定理(復(fù)合閉路定理)
  3.3 解析函數(shù)的原函數(shù)
  3.4 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式
    3.4.1 柯西積分公式
    3.4.2 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
  閱讀材料3 數(shù)學(xué)分析的奠基人——柯西
  習(xí)題3
  參考答案與提示
第4章  解析函數(shù)的級數(shù)表示
  4.1 復(fù)數(shù)項級數(shù)
    4.1.1 復(fù)數(shù)列的極限
    4.1.2 復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂性及其判別法
    4.1.3 復(fù)數(shù)項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂
  4.2 冪級數(shù)和泰勒定理
    4.2.1 復(fù)變函數(shù)項級數(shù)
    4.2.2 冪級數(shù)的概念
    4.2.3 冪級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)
    4.2.5 冪級數(shù)的性質(zhì)
    4.2.6 解析函數(shù)的泰勒定理
    4.2.7 一些初等函數(shù)的泰勒展開式
  4.3 洛朗級數(shù)
    4.3.1 雙邊級數(shù)
    4.3.2 洛朗定理
    4.3.3 函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法
  4.4 孤立奇點
    4.4.1 孤立奇點的定義及分類
    4.4.2 孤立奇點的判別方法
    4.4.3 無窮遠點的情況
  閱讀材料4 分析學(xué)嚴謹論證的開拓者——魏爾斯特拉斯
  習(xí)題4
  參考答案與提示
第5章  留數(shù)定理及其應(yīng)用
  5.1 留數(shù)
    5.1.1 留數(shù)定義及留數(shù)定理
    5.1.2 留數(shù)的計算方法
    5.1.3 函數(shù)在無窮遠點處的留數(shù)
  5.2 留數(shù)在計算定積分上的應(yīng)用
    5.2.1 三角函數(shù)有理函數(shù)的積分計算
    5.2.2 有理函數(shù)的無窮積分計算
    5.2.3 含有三角函數(shù)的無窮積分的計算
   *5.2.4 實軸上帶有奇點的積分計算
 *5.3 對數(shù)留數(shù)與輻角原理
    5.3.1 對數(shù)留數(shù)
    5.3.2 輻角原理
    5.3.3 儒歇定理
  閱讀材料5 復(fù)變函數(shù)論的建立簡述
  習(xí)題5
  參考答案與提示
第6章  保形映射
  6.1 保形映射的概念
    6.1.1 曲線切線的方向和兩條曲線的夾角
    6.1.2 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
    6.1.3 保形映射
    6.1.4 單葉解析函數(shù)的保形性
  6.2 保形映射的基本問題
  6.3 分式線性映射
    6.3.1 分式線性映射的概念
    6.3.2 分式線性映射的分解
    6.3.3 分式線性映射的保形性
    6.3.4 分式線性映射的其他性質(zhì)
    6.3.5 分式線性映射的確定及其應(yīng)用
  6.4 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射
    6.4.1 冪函數(shù)w=zn與根式函數(shù)w=n√z所構(gòu)成的映射
    6.4.2 指數(shù)函數(shù)w=ex與對數(shù)函數(shù)叫w=lnz所構(gòu)成的映射
  閱讀材料6 數(shù)學(xué)王子——高斯
  習(xí)題6
  參考答案與提示
第7章  傅里葉變換
  7.1 傅里葉積分展開公式的形式推演
  7.2 傅氏變換的概念
    7.2.1 主值意義下的廣義積分
    7.2.2 傅氏變換的定義
    7.2.3 傅氏積分定理
    7.2.4 傅氏變換的三角形式
  7.3 δ函數(shù)簡介
    7.3.1 單位躍遷函數(shù)
    7.3.2 單位脈沖函數(shù)
    7.3.3 δ函數(shù)的傅氏變換
  7.4 傅氏變換的性質(zhì)
  7.5 傅氏變換應(yīng)用舉例
 *7.6 傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用
    7.6.1 周期函數(shù)的頻譜
    7.6.2 非周期函數(shù)的頻譜
  閱讀材料7 數(shù)學(xué)物理研究新天地的開辟人——傅里葉
  習(xí)題7
  參考答案與提示
第8章  拉普拉斯變換
  8.1 拉普拉斯變換的定義
    8.1.1 拉普拉斯變換的基本概念
    8.1.2 拉氏變換的存在定理
    8.1.3 δ函數(shù)的拉氏變換
  8.2 拉氏變換的性質(zhì)
  8.3 拉普拉斯逆變換
    8.3.1 拉氏逆變換存在定理
    8.3.2 逆變換的性質(zhì)
    8.3.3 逆變換的計算
  8.4 卷積定理
  8.5 拉氏變換應(yīng)用舉例
 *8.6 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)
  閱讀材料8 天體力學(xué)之父——拉普拉斯
  習(xí)題8
  參考答案與提示
*第9章  復(fù)變函數(shù)與積分變換(續(xù))
  9.1 用復(fù)變函數(shù)表示平面場
  9.2 初等黎曼曲面
    9.3 解析函數(shù)的流體力學(xué)解釋
    9.4 最簡單孤立奇點的流體力學(xué)解釋舉例
    9.5 常型施圖姆一劉維爾問題
    9.6 儒可夫斯基映射(機翼映射)
    9.7 傅氏積分定理的證明
附錄A 傅里葉變換簡表
附錄B 拉普拉斯變換簡表
名詞索引
參考文獻

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