中國(guó)科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷

前言

數(shù)學(xué)史，科學(xué)出版社，1964年。見(jiàn)：李儼錢(qián)寶琮科學(xué)史全集，第五卷，遼寧教育出版社，1998年。李迪的分期相當(dāng)細(xì)致，將中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分成兩個(gè)時(shí)期六個(gè)階段，這就是：中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成期（自遠(yuǎn)古至西漢末期），這一時(shí)期分成三個(gè)階段：約公元前2000年以前為中國(guó)數(shù)學(xué)的“史前期”，約公元前2000~前221年為中國(guó)數(shù)學(xué)的“積累期”，從秦漢之際至西漢末期為中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第一個(gè)高峰。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展期（自東漢初期至元朝前期），這一時(shí)期也分成三個(gè)階段：從約公元1世紀(jì)初期至8世紀(jì)初亦即東漢初至唐中葉為中國(guó)數(shù)學(xué)的“理論期”，從公元8世紀(jì)初至11世紀(jì)初即唐中葉至北宋初期為中國(guó)數(shù)學(xué)的“滯緩期”，從11世紀(jì)初至14世紀(jì)初為中國(guó)數(shù)學(xué)的高峰期。此外，李迪將1304~1936年稱為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)向西方數(shù)學(xué)的“過(guò)渡期”，這一時(shí)期被分成四個(gè)階段：1304~1606年即元中葉至明朝后期為“珠算期”，1607~1760年左右即明朝末期至清朝中期為“融合期”，約1760~約1850年即清朝中后期之間為中國(guó)數(shù)學(xué)的“復(fù)古期”，約1850~1936年為“西化完成期”。李迪，中國(guó)數(shù)學(xué)史大系?總論，見(jiàn)：吳文俊主編，中國(guó)數(shù)學(xué)史大系?第一卷，北京師范大學(xué)出版社，1998年。還有一些別的分期方法。我們認(rèn)為，錢(qián)寶琮的分期思想是可取的。數(shù)學(xué)史的分期應(yīng)以數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展為主要依據(jù)，同時(shí)考慮相應(yīng)時(shí)期的社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治的變革和思想、文化背景。我們根據(jù)錢(qián)寶琮的思想，結(jié)合近30年中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究成果，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)史的分期提出以下看法：中國(guó)有文字記載的歷史相當(dāng)早，然而夏、商、周三代沒(méi)有任何數(shù)學(xué)著作流傳到現(xiàn)在。不過(guò)，完成當(dāng)時(shí)世界上最方便的記數(shù)制度——十進(jìn)位值制記數(shù)法，創(chuàng)造出當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的計(jì)算工具——算籌，是兩項(xiàng)具有世界意義的成就。一些文史典籍中的鴻爪雪泥說(shuō)明當(dāng)時(shí)人們的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)達(dá)到相當(dāng)高的水平?！毒耪滤阈g(shù)》在西漢先后由張蒼、耿壽昌刪補(bǔ)成書(shū)，它奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，在分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例和比例分配算法、盈不足算法、開(kāi)方法、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)加減法則、解勾股形和勾股數(shù)組等方面走在世界的前面，有的超前其他文化傳統(tǒng)數(shù)百年，甚至上千年，是當(dāng)時(shí)世界上第一流的數(shù)學(xué)著作。人們不禁要問(wèn)，《九章算術(shù)》這么高深的著作是突然冒出來(lái)的嗎？當(dāng)然不可能。根據(jù)劉徽《九章算術(shù)注序》“九數(shù)之流，《九章》是矣”的提示和《九章算術(shù)注》所提供的資料（包括物價(jià)）的分析，《九章算術(shù)》的主體部分及主要成就在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已經(jīng)完成了。換言之，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的第一個(gè)高潮出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國(guó)，西漢完成《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》等著作的編纂，只是這個(gè)高潮的總結(jié)。20世紀(jì)80年代出土的竹簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》雖然不是《九章算術(shù)》的前身郭書(shū)春，關(guān)于《算數(shù)書(shū)》與《九章算術(shù)》的關(guān)系，曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，34（3）：1~9。，卻為上述看法提供了佐證。因此，不能將春秋戰(zhàn)國(guó)的數(shù)學(xué)與夏、商、西周混為一談。它們應(yīng)該是兩個(gè)階段。也就是說(shuō)，從遠(yuǎn)古到夏、商、西周是第一個(gè)階段，數(shù)學(xué)在某種意義上已經(jīng)形成一個(gè)學(xué)科。而春秋戰(zhàn)國(guó)秦漢是以《九章算術(shù)》為代表的第二個(gè)階段。西漢末年至東漢中葉，數(shù)學(xué)進(jìn)展不大。東漢末年之后，一直到唐中葉，中國(guó)數(shù)學(xué)最主要的成就體現(xiàn)在劉徽《九章算術(shù)注》中。由于這是一部注解《九章算術(shù)》的著作，人們往往將其與《九章算術(shù)》歸于一個(gè)階段。實(shí)際上，劉徽《九章算術(shù)注》“析理以辭，解體用圖”，提出了許多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并以演繹邏輯為主要方法全面證明了《九章算術(shù)》的算法，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。他對(duì)圓面積公式和劉徽原理的證明在世界數(shù)學(xué)史上首次將極限思想和無(wú)窮小分割方法引入數(shù)學(xué)證明，其貢獻(xiàn)主要是數(shù)學(xué)理論方面的。劉徽《九章算術(shù)注》無(wú)論是從數(shù)學(xué)的研究方向看，還是從理論高度、邏輯方法看，都與《九章算術(shù)》時(shí)代有明顯的不同，應(yīng)該屬于另一個(gè)階段。祖沖之父子的數(shù)學(xué)水平不會(huì)低于劉徽，可惜對(duì)他們的數(shù)學(xué)造詣，我們只知道只鱗片爪。此外，《數(shù)術(shù)記遺》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》等在計(jì)算工具的改進(jìn)、不定方程解法、三次方程上有貢獻(xiàn)。然而，隋唐數(shù)學(xué)明顯落后于魏晉南北朝時(shí)期，對(duì)中國(guó)古代水平最高的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》，隋唐“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”唐?李淳風(fēng)，《隋書(shū)?律歷志上》，見(jiàn)：魏征等，《隋書(shū)》，中華書(shū)局，1973年。，導(dǎo)致《綴術(shù)》失傳。自唐中葉起，人們簡(jiǎn)化乘除運(yùn)算，創(chuàng)造各種口訣，導(dǎo)致珠算最遲在南宋誕生。北宋賈憲、劉益，南宋秦九韶、楊輝，金元李冶、朱世杰等在高次方程、高次方程組解法、一次同余方程組解法、垛積術(shù)和招差術(shù)等高深數(shù)學(xué)的許多分支取得了超前其他文化傳統(tǒng)幾個(gè)世紀(jì)的成果。這就是人們常說(shuō)的宋元數(shù)學(xué)高潮。元中葉到明末，繼續(xù)改進(jìn)籌算、珠算技術(shù)，珠算得到普及，并最終在明中葉之后取代籌算。除此之外，中國(guó)傳統(tǒng)的高深數(shù)學(xué)急劇衰落。中國(guó)數(shù)學(xué)遂失去了世界領(lǐng)先的地位。明末之后，西算傳入中國(guó)，開(kāi)始了中西數(shù)學(xué)融會(huì)貫通的階段。這是學(xué)術(shù)界都知道的。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)展，既有數(shù)學(xué)內(nèi)部的自身因素，也必然受社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治、思想和文化背景的制約。人類進(jìn)入文明社會(huì)以來(lái)，世界數(shù)學(xué)研究的重心發(fā)生了幾次大的變化。郭書(shū)春，略談世界數(shù)學(xué)重心的三次大轉(zhuǎn)移，科學(xué)技術(shù)與辯證法，1986，（1）：44~48。又見(jiàn)：李文林，數(shù)學(xué)史教程，高等教育出版社，2000年，第366頁(yè)。先是約公元前31世紀(jì)開(kāi)始的尼羅河流域數(shù)學(xué)和約公元前24世紀(jì)開(kāi)始的兩河流域數(shù)學(xué)。自公元前7世紀(jì)起，希臘取代了上述地區(qū)，數(shù)學(xué)非常發(fā)達(dá)。約公元前3世紀(jì)至公元14世紀(jì)初，中國(guó)取代古希臘，成為世界數(shù)學(xué)研究的重心；公元8世紀(jì)之后，印度、阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)也發(fā)展起來(lái)。16~17世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)伴隨著文藝復(fù)興，度過(guò)了中世紀(jì)的黑暗，進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)代。從此歐洲以及20世紀(jì)的蘇聯(lián)、美國(guó)一直占據(jù)著世界數(shù)學(xué)研究的重心位置。不難看出，世界數(shù)學(xué)的重心都發(fā)生在某一種社會(huì)形態(tài)最完備，經(jīng)濟(jì)、政治和思想文化最發(fā)達(dá)的地區(qū)。值得注意的是，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個(gè)不同階段，與當(dāng)時(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治、思想和文化的變革亦即中國(guó)古代社會(huì)不同的發(fā)展階段有某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。中國(guó)歷史學(xué)界對(duì)中國(guó)古代歷史的分期不管持什么觀點(diǎn)，都認(rèn)為，中國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期發(fā)生了領(lǐng)主制崩潰并向地主制過(guò)渡的激烈社會(huì)變革，思想界出現(xiàn)諸子林立、百家爭(zhēng)鳴的活躍局面；東漢末至魏晉，莊園農(nóng)奴制占據(jù)經(jīng)濟(jì)政治舞臺(tái)的中心，思想界以談“三玄”（《周易》、《老子》、《莊子》）為主的辯難之風(fēng)取代了煩瑣的兩漢經(jīng)學(xué)，中國(guó)社會(huì)進(jìn)入一個(gè)新的階段；唐中葉至宋初，莊園制逐步解體，土地可以自由買(mǎi)賣(mài)，地主階級(jí)由按等級(jí)占田變成靠購(gòu)買(mǎi)擴(kuò)大土地占有，思想界也還比較寬松；元中葉之后，宗法地主制度走向沒(méi)落，理學(xué)占據(jù)思想界的統(tǒng)治位置，思想禁錮嚴(yán)酷。兩相對(duì)照，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在中國(guó)社會(huì)發(fā)生某種變革的初期，都給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)新的活力，從而帶來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的高潮。而在某一個(gè)社會(huì)發(fā)展階段的后期，數(shù)學(xué)不僅發(fā)展緩慢，甚至低于其前期，東漢、隋唐、元末至明末的數(shù)學(xué)就是這種情形。由于這種原因，我們將中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展分成以下幾個(gè)階段：中國(guó)數(shù)學(xué)的興起——原始社會(huì)到西周時(shí)期的數(shù)學(xué)；中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)框架的確立——春秋至東漢中期的數(shù)學(xué)；中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系的完成——東漢末至唐中葉的數(shù)學(xué)；中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的高潮——唐中葉至元中葉的數(shù)學(xué)；傳統(tǒng)數(shù)學(xué)主流的轉(zhuǎn)變與珠算的發(fā)展——元中葉至明末數(shù)學(xué);西方數(shù)學(xué)的傳入與中西數(shù)學(xué)的融會(huì)——明末至清末的數(shù)學(xué)。顯然，這種分期方法是在錢(qián)寶琮基礎(chǔ)上的修正。本書(shū)各編正是基于這種分期思想和方法設(shè)置的。本書(shū)除了論述各個(gè)階段的數(shù)學(xué)成就和特點(diǎn)外，還力圖探索各個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展與當(dāng)時(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治、思想、文化的關(guān)系。二中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重視實(shí)際應(yīng)用，以解決人們生產(chǎn)生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題為主要目的，以數(shù)學(xué)理論密切聯(lián)系實(shí)際為其特點(diǎn)。許多中國(guó)數(shù)學(xué)史著述進(jìn)而將中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作統(tǒng)統(tǒng)概括為“應(yīng)用問(wèn)題集”，特別將《九章算術(shù)》概括為“應(yīng)用問(wèn)題集”。實(shí)際上，這種概括不符合實(shí)際情況，因而并不恰當(dāng)。不言而喻，“應(yīng)用問(wèn)題集”是以問(wèn)題為中心的，而《九章算術(shù)》等著作的主體部分則是以術(shù)文為中心的?！皯?yīng)用問(wèn)題集”這種不恰當(dāng)?shù)母爬ㄔ斐闪嗽S多誤解。例如，許多沒(méi)有讀過(guò)《九章算術(shù)》或雖讀過(guò)而不求甚解的人，誤以為《九章算術(shù)》等中國(guó)古代所有的數(shù)學(xué)著作都是“一題、一答、一術(shù)”，其術(shù)文都是應(yīng)用問(wèn)題的具體解法，而不了解《九章算術(shù)》中許多術(shù)文是幾道、十幾道甚至是幾十道題目的總術(shù)，大部分術(shù)文是非常抽象的、具有普適性的嚴(yán)謹(jǐn)算法。許多學(xué)者沒(méi)有認(rèn)真考察數(shù)學(xué)著作本身，而從“應(yīng)用問(wèn)題集”的片面概括出發(fā)，推想中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中的術(shù)文都是具體問(wèn)題的演算細(xì)草。既然是演算細(xì)草，當(dāng)然都是“一題、一答、一術(shù)”。甚至有的中國(guó)數(shù)學(xué)史著述將《九章算術(shù)》中明顯屬于幾道題目的總術(shù)都說(shuō)成是專屬于某一題目的術(shù)文，并且以訛傳訛，謬種流傳。實(shí)際上，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作之間的差別相當(dāng)大。第一，它們的體例不同?！毒耪滤阈g(shù)》的主體部分是以術(shù)文為中心的，我們稱之為術(shù)文（算法）統(tǒng)率例題的形式。在這里，術(shù)文是一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的普適性、抽象性算法，含有一道、幾道、十幾道甚至幾十道例題，相當(dāng)大的部分根本不是“一題、一答、一術(shù)”。而《孫子算經(jīng)》等著作不僅是“一題、一答、一術(shù)”，而且術(shù)文都是應(yīng)用問(wèn)題的具體解法。第二，它們的內(nèi)容高深程度不同?！吨荀滤憬?jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》、《數(shù)書(shū)九章》、《測(cè)圓海鏡》、《詳解九章算法》、《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》等是具有高深內(nèi)容的著作，《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《楊輝算法》、《算法全能集》、《詳明算法》、《九章算法比類大全》、《算學(xué)寶鑒》、《算法統(tǒng)宗》等是淺顯的或普及性的著作。第三，抽象程度不同。抽象性是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)。中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作的數(shù)學(xué)表達(dá)方式的抽象性也有分野?！毒耪滤阈g(shù)》主體部分的術(shù)文大都是抽象性非常高的公式、算法，劉徽《九章算術(shù)注》、賈憲《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》和楊輝《詳解九章算法》等進(jìn)一步抽象了《九章算術(shù)》抽象得不夠的術(shù)文?！逗u算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《楊輝算法》、《算學(xué)寶鑒》等的術(shù)文是關(guān)于一種數(shù)學(xué)問(wèn)題的比較抽象的算法。《測(cè)圓海鏡》卷一展示了全書(shū)所需的基本理論，其“圓城圖式”用漢字記點(diǎn)，是個(gè)創(chuàng)舉；其“識(shí)別雜記”提出600余條抽象命題，集中國(guó)勾股容圓知識(shí)大成；卷二在“洞淵九容”基礎(chǔ)上以非常抽象的形式表示了勾股形與圓的十種基本關(guān)系。許多著作都有不同程度的抽象命題，而《九章算術(shù)》的一小部分以及《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《九章算法比類大全》、《算法統(tǒng)宗》等的術(shù)文大都是具體問(wèn)題的演算細(xì)草。例如，《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》都有開(kāi)方術(shù)，前者是非常抽象的對(duì)任何開(kāi)平方問(wèn)題都適用的程序，而后者只是演算細(xì)草。第四，嚴(yán)謹(jǐn)性不同。嚴(yán)謹(jǐn)性也是數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)著作的生命線。就算法的嚴(yán)謹(jǐn)程度而言，《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》、《數(shù)書(shū)九章》、《測(cè)圓海鏡》、《詳解九章算法》、《楊輝算法》、《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》、《算學(xué)寶鑒》、《勾股算術(shù)》、《測(cè)圓海鏡分類釋術(shù)》、《弧矢算術(shù)》、《測(cè)圓算術(shù)》等都是算法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹?。而《五曹算?jīng)》、《算法全能集》、《詳明算法》、《九章算法比類大全》等錯(cuò)誤比較多，甚至重復(fù)某些已被前人糾正了的錯(cuò)誤……此外，在是不是有數(shù)學(xué)推理和證明上，當(dāng)然更是不同的。這在下面還要談。因此，起碼從以上幾個(gè)方面看，中國(guó)古代數(shù)學(xué)實(shí)際上存在著數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)研究與普及的分野?！毒耪滤阈g(shù)》及其劉徽注、《海島算經(jīng)》、《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》、《數(shù)書(shū)九章》、《測(cè)圓海鏡》、《詳解九章算法》、《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》、《算學(xué)寶鑒》、《勾股算術(shù)》、《測(cè)圓海鏡分類釋術(shù)》、《弧矢算術(shù)》、《測(cè)圓算術(shù)》等是數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)研究著作，而《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《算法全能集》、《九章算法比類大全》、《算法統(tǒng)宗》等是普及應(yīng)用著作。中國(guó)古代某些數(shù)學(xué)家實(shí)際上也發(fā)現(xiàn)了這一區(qū)別。劉徽在闡發(fā)了自己求“弧田密率”的方法之后說(shuō)：“然于算數(shù)差繁，必欲有所尋究也。若但度田，取其大數(shù)，舊術(shù)為約耳?！蔽?劉徽，九章算術(shù)注?方田章。見(jiàn)：郭書(shū)春，匯?！毒耪滤阈g(shù)》增補(bǔ)版，遼寧教育出版社，臺(tái)灣九章出版社，2004年。尋究弧田密率，是學(xué)術(shù)研究；用來(lái)度田，是民間應(yīng)用，用不到弧田密率。南宋初年的數(shù)學(xué)家榮棨說(shuō)，當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)著作“或隱問(wèn)答以欺眾，或添歌彖以衒己。乖萬(wàn)世益人之心，為一時(shí)射利之具。以至真術(shù)淹廢，偽本滋興。學(xué)者泥于見(jiàn)聞，倀倀然入于迷望，可勝計(jì)邪！居仁由義之士，每不平之”南宋?榮棨，九章算經(jīng)序，見(jiàn)：《詳解九章算法》、《諸家算法及序記》。見(jiàn)：郭書(shū)春，匯?！毒耪滤阈g(shù)》增補(bǔ)版附，遼寧教育出版社，臺(tái)灣九章出版社，2004年。。金元大數(shù)學(xué)家李冶在批評(píng)了某些著作“惟恐學(xué)者得窺其仿佛”的錯(cuò)誤傾向之后，接著說(shuō)：“不然，則又以淺近粗俗無(wú)足觀者，致使軒轅隸首之術(shù)，三五錯(cuò)綜之妙，盡墮于市井沾沾之兒，及夫荒村下里蚩蚩之民，殊可憫悼?！痹?李冶，益古演段自序，見(jiàn)：郭書(shū)春主編，中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯?數(shù)學(xué)卷，第一冊(cè)，河南教育出版社，1993年。榮棨、李冶這里所指責(zé)的，便是在宋元時(shí)期得到高度發(fā)展的籌算乘除捷算法，這當(dāng)然是普及應(yīng)用的數(shù)學(xué)。拋開(kāi)榮棨、李冶等鄙視籌算乘除捷算法的錯(cuò)誤態(tài)度不談，顯然在他們的頭腦中，數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)研究與普及是涇渭分明的。至于就某一個(gè)數(shù)學(xué)家而言，到底是從事學(xué)術(shù)研究還是普及工作，得具體分析。像張蒼、劉徽、祖沖之、王孝通、賈憲、李冶、秦九韶、顧應(yīng)祥等這樣的學(xué)者，當(dāng)然是致力于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)研究。也有一些數(shù)學(xué)家，如贗本《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》的作者和唐中葉以后從事乘除簡(jiǎn)化運(yùn)算的許多數(shù)學(xué)家以及丁巨、賈亨、安止齋、吳敬、程大位等，則主要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的普及應(yīng)用。但是，也有一些數(shù)學(xué)家，如楊輝、朱世杰、王文素等，則在這兩方面都做了杰出的工作。三與“中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作都是應(yīng)用問(wèn)題集”這一不恰當(dāng)?shù)母爬ㄏ嗦?lián)系，國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)界和學(xué)術(shù)界，包括對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就十分推崇的學(xué)者在內(nèi)，多認(rèn)為“在古代中國(guó)的數(shù)學(xué)思想中，最大的缺點(diǎn)是缺少嚴(yán)格求證的思想”，中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有形式邏輯，尤其沒(méi)有演繹邏輯?！霸趶膶?shí)踐到純知識(shí)領(lǐng)域的飛躍中，中國(guó)數(shù)學(xué)是未曾參與過(guò)的”［英］李約瑟，中國(guó)科學(xué)技術(shù)史，第3卷，科學(xué)出版社，1978年，第337~338頁(yè)。其中關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)缺少“嚴(yán)格求證”的說(shuō)法，是李約瑟轉(zhuǎn)引日本的中國(guó)數(shù)學(xué)史家三上義夫的話。見(jiàn)：YMikami（三上義夫），The Development of Mathematics in China and Japan(《中國(guó)和日本數(shù)學(xué)之發(fā)展》)，Leipzig：Teubner,1913，所謂成就都是經(jīng)驗(yàn)的積累，沒(méi)有推理和證明?？傊瑳](méi)有數(shù)學(xué)理論。這種看法是不符合實(shí)際情況的。數(shù)學(xué)理論主要有兩個(gè)方面：首先是具有普適性、抽象性的正確算法。其次是關(guān)于這些算法的推理和論證以及數(shù)學(xué)定義，并且其推理和論證主要是演繹的。對(duì)前者，前已指出，在《九章算術(shù)》等著作中有大量關(guān)于一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的具有正確性、普適性和抽象性的術(shù)文，這本身就是數(shù)學(xué)理論。許多學(xué)者沒(méi)有認(rèn)真考察數(shù)學(xué)著作本身，而“應(yīng)用問(wèn)題集”的概括造成中國(guó)古代所有術(shù)文都是具體問(wèn)題的演算細(xì)草的錯(cuò)覺(jué)，從而“順理成章”地得出“中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有理論”的錯(cuò)誤看法。對(duì)后者，確實(shí)，《九章算術(shù)》等大多數(shù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作都沒(méi)有數(shù)學(xué)定義、推理和論證。然而，這不是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作的全部，只是其中一部分，盡管是大部分。即使是以大部取代全部，也是一種以偏概全，當(dāng)然是不恰當(dāng)?shù)?。事?shí)上，劉徽的《九章算術(shù)注》和賈憲的《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》、李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》和《楊輝算法》、王文素的《算學(xué)寶鑒》等都有不同程度的定義、推理和論證。李約瑟已經(jīng)指出，楊輝有演繹推理的傾向。［英］李約瑟，中國(guó)科學(xué)技術(shù)史?數(shù)學(xué)，科學(xué)出版社，1978年。實(shí)際上，劉徽《九章算術(shù)注》中的演繹推理和數(shù)學(xué)證明比楊輝高明得多，深刻得多。我們經(jīng)過(guò)考察發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今形式邏輯教程中關(guān)于演繹推理的幾種主要形式，劉徽都嫻熟地使用過(guò)，而且沒(méi)有任何循環(huán)推理。劉徽的數(shù)學(xué)證明是相當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。說(shuō)中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有演繹邏輯，大約是沒(méi)有讀或者沒(méi)有讀懂劉徽的《九章算術(shù)注》。西方有遠(yuǎn)見(jiàn)的學(xué)者，如以研究古希臘數(shù)學(xué)著稱的英國(guó)羅界（GLloyd）爵士多次與我討論劉徽的證明問(wèn)題，他對(duì)劉徽的評(píng)價(jià)極高。GLloyd，Préface aux Neuf Chapitres:Le Classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires(中法對(duì)照本《九章算術(shù)》序),KChemla（林力娜），Guo Shuchun(郭書(shū)春)譯，Dunod Paris，2004、2005年。法國(guó)倫理與政治科學(xué)院院長(zhǎng)EP(pán)oulle教授等認(rèn)為，劉徽在數(shù)學(xué)證明及其意義的概念上有新的突破。我們認(rèn)為，劉徽等數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)證明表明，中國(guó)古代存在著純數(shù)學(xué)研究，也就是為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)的活動(dòng)。一個(gè)明顯的事實(shí)是：就實(shí)際應(yīng)用而言，《九章算術(shù)》和許多數(shù)學(xué)著作提出的公式、算法，只要能夠無(wú)數(shù)次應(yīng)用，并且在應(yīng)用中表明它們正確就夠了，不在數(shù)學(xué)上證明它們，根本不會(huì)影響它們的應(yīng)用。劉徽的《九章算術(shù)注》對(duì)《九章算術(shù)》的公式、算法進(jìn)行了全面而且基本嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，并在證明中追求邏輯的正確、推理的明晰，這顯然是純數(shù)學(xué)的活動(dòng)。楊輝、王文素等的論證工作，也屬于純數(shù)學(xué)的范疇。此外，對(duì)計(jì)算中精確度的追求，也是純數(shù)學(xué)的工作。例如，對(duì)開(kāi)方不盡的情況，在劉徽之前，人們用a+A-a22a+1或a+A-a22a表示平方根的近似值。在實(shí)際應(yīng)用中，一般說(shuō)來(lái)，這已經(jīng)足夠了。劉徽認(rèn)為這不精確，提出求“微數(shù)”的思想，以十進(jìn)分?jǐn)?shù)逼近無(wú)理根。然而，這在實(shí)際應(yīng)用中意義不大。劉徽、祖沖之將求“微數(shù)”的思想用于求圓周率，祖沖之將其精確到8位有效數(shù)字，更不是實(shí)際應(yīng)用所需要的。實(shí)際上，祖沖之后1000多年間，在工藝技術(shù)和歷法的計(jì)算中，人們還大多使用“周三徑一”，除了數(shù)學(xué)著作中的計(jì)算外，甚至連徽率15750也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精確的歷法《授時(shí)歷》，仍然使用圓周率3。事實(shí)上，即使使用祖率355113或8位有效數(shù)字的圓周率計(jì)算出需要的數(shù)值，沒(méi)有近現(xiàn)代的精密加工技術(shù)，古代加工技術(shù)所造成的誤差，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)圓周率不精確造成的誤差。顯然，追求圓周率的精確值，不是人們?nèi)粘Ｉa(chǎn)、生活的需要，而是純數(shù)學(xué)活動(dòng)。四20世紀(jì)70年代以前，中國(guó)數(shù)學(xué)史界一般將中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特征概括為強(qiáng)烈的位值制，以計(jì)算為中心，數(shù)學(xué)理論密切聯(lián)系社會(huì)實(shí)際……這是非常明顯的，也是正確的。錢(qián)寶琮等前輩已經(jīng)做了充分的論述。然而，進(jìn)一步問(wèn)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的算法有什么特點(diǎn)？提出并解決這個(gè)問(wèn)題的是吳文俊。他說(shuō)：“我國(guó)古代數(shù)學(xué)，總的說(shuō)來(lái)就是這樣一種數(shù)學(xué)，構(gòu)造性與機(jī)械化，是其兩大特色。”吳文俊，吳文俊論數(shù)學(xué)機(jī)械化，山東教育出版社，1995年。本文凡引吳文俊語(yǔ)，均據(jù)此。構(gòu)造性和機(jī)械化的思想貫穿于整個(gè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的始終。所謂構(gòu)造性數(shù)學(xué)，是指從某些初始對(duì)象出發(fā)，通過(guò)明確規(guī)定的操作展開(kāi)的數(shù)學(xué)理論。中國(guó)古代的方程術(shù)即線性方程組解法、劉徽求圓周率的程序、開(kāi)方術(shù)和求高次方程正根的增乘開(kāi)方法、大衍總數(shù)術(shù)即一次同余方程組解法等成就都是典型的構(gòu)造性方法。所謂機(jī)械化，就是刻板化和規(guī)格化?！毒耪滤阈g(shù)》中的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則，開(kāi)平方、開(kāi)立方程序，方程術(shù)等，劉徽的求圓周率程序、解方程的互乘相消法和方程新術(shù)以及由《九章算術(shù)》的開(kāi)方術(shù)發(fā)展起來(lái)的賈憲、秦九韶的增乘開(kāi)方法，秦九韶的求解一次同余方程組的大衍總數(shù)術(shù)，宋元數(shù)學(xué)家設(shè)未知數(shù)列方程的天元術(shù)，元朝朱世杰等求解多元高次方程組的四元術(shù)，等等，都具有規(guī)格化的程序，是典型的機(jī)械化方法。另外，吳文俊特別重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中幾何問(wèn)題的代數(shù)化思想特征。自《九章算術(shù)》起，勾股測(cè)望問(wèn)題都要化成算術(shù)、代數(shù)問(wèn)題求解。到宋元時(shí)期，數(shù)學(xué)家發(fā)明了天元術(shù)，將幾何問(wèn)題通過(guò)天元多項(xiàng)式化為一元高次方程。后來(lái)，又發(fā)展為二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)，即二元、三元、四元高次方程組。四元術(shù)的核心是四元消法，即將四元高次方程組化為三元，再化為二元，最后化為一元高次方程。這就是幾何學(xué)代數(shù)化。吳文俊從中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的構(gòu)造性和機(jī)械化特征得到啟發(fā)，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)機(jī)械化理論。五吳文俊關(guān)于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特征的論述，為在理論上回答什么是世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流、徹底解決中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)屬不屬于世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流等問(wèn)題開(kāi)辟了道路。文藝復(fù)興之后，歐洲發(fā)生了資產(chǎn)階級(jí)革命，躍居世界前列，并向亞非及美洲擴(kuò)張，使他們養(yǎng)成了歐洲中心論思想，加之近代中國(guó)數(shù)學(xué)落后，西方人一般鄙視中國(guó)古代數(shù)學(xué)。當(dāng)他們從日本學(xué)者三上義夫的書(shū)［日］YMikami(三上義夫)，The Development of Mathematics in China and Japan(《中國(guó)和日本數(shù)學(xué)之發(fā)展》)，Leipzig:Teubner,1913。上知道了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多成就時(shí)，由于他們固守根深蒂固的西方中心論或其變種，便不顧起碼的編年史，也不要任何證據(jù)，就說(shuō)中國(guó)數(shù)學(xué)是從巴比倫、希臘甚至比中國(guó)晚出的印度等傳入的。他們編著的數(shù)學(xué)史著作，大都根本不提中國(guó)古代數(shù)學(xué)，甚至將中國(guó)與日本、瑪雅的數(shù)學(xué)一道列入“對(duì)于數(shù)學(xué)思想的主流沒(méi)有重大的影響”而略而不論。［美］MKline(克萊因),古今數(shù)學(xué)思想?序。見(jiàn)：古今數(shù)學(xué)思想，第1冊(cè)，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979年，Ⅴ。英國(guó)科學(xué)史家李約瑟（1900~1995）根據(jù)自己以及李儼、錢(qián)寶琮、嚴(yán)敦杰等學(xué)者的中國(guó)數(shù)學(xué)史研究成果指出，在數(shù)學(xué)上，“在公元前250年到公元1250年之間，從中國(guó)傳出去的東西比傳入中國(guó)的東西要多得多”［英］李約瑟，中國(guó)科學(xué)技術(shù)史?數(shù)學(xué)，科學(xué)出版社，1978年。，批駁了中國(guó)古代數(shù)學(xué)源于古巴比倫、古希臘和印度的謬說(shuō)。吳文俊根據(jù)錢(qián)寶琮的思想，將中世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程概括為：中國(guó)5c印度希臘9c阿拉伯10c歐洲c表示世紀(jì)。后來(lái)，他進(jìn)而指出：“貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過(guò)程中有“兩個(gè)中心思想”，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想?！辈痪?，他又將“兩個(gè)中心思想”改成“兩條發(fā)展路線”：“一條是從希臘歐幾里得系統(tǒng)下來(lái)的；另一條是發(fā)源于中國(guó)，影響到印度，然后影響到世界的數(shù)學(xué)?！苯又?，他提出這兩條發(fā)展路線互為消長(zhǎng)：“從數(shù)學(xué)有史料為依據(jù)的幾千年發(fā)展過(guò)程來(lái)看，以公理化思想為主的演繹傾向以及以機(jī)械化思想為主的算法傾向互為消長(zhǎng)?！眱赡旰螅鞔_地指出了數(shù)學(xué)發(fā)展的主流問(wèn)題：“在歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)機(jī)械化算法體系與數(shù)學(xué)公理化演繹體系曾多次反復(fù)互為消長(zhǎng)交替成為數(shù)學(xué)發(fā)展中的主流。”這就在理論上回答了什么是世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流的問(wèn)題。而“中國(guó)古代數(shù)學(xué)，乃是機(jī)械化體系的代表”，從而徹底解決了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)屬于世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流，并且是主流的兩個(gè)主要傾向之一的問(wèn)題。這就是說(shuō)，在吳文俊看來(lái)，數(shù)學(xué)發(fā)展的主流并不像以往有些西方數(shù)學(xué)史家所描述的那樣——只有單一的希臘演繹模式，還有與之平行的中國(guó)式數(shù)學(xué)，而就近代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而言，后者甚至更具有決定性的（或者說(shuō)是主流的）意義。李文林，古為今用的典范——吳文俊教授的數(shù)學(xué)史研究，見(jiàn)：林東岱、李文林、虞言林主編，數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)機(jī)械化，山東教育出版社，2001年。正是以中國(guó)數(shù)學(xué)為其源頭和重要組成部分的東方數(shù)學(xué)，包括數(shù)學(xué)方法和用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的傳統(tǒng)，傳到歐洲，與發(fā)掘出來(lái)的古希臘數(shù)學(xué)相結(jié)合，導(dǎo)致數(shù)學(xué)模式和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)觀改變，重視數(shù)學(xué)計(jì)算，走向幾何問(wèn)題的代數(shù)化，從而開(kāi)辟了文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的繁榮，并開(kāi)辟了通向解析幾何和微積分的道路。古希臘數(shù)學(xué)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)各有所長(zhǎng)，厚此薄彼，褒一貶一，不是恰當(dāng)?shù)膽B(tài)度。正確的態(tài)度是取兩者之長(zhǎng)，兼收并蓄。如果現(xiàn)代數(shù)學(xué)家既能施用古希臘的抽象方法，又長(zhǎng)于中國(guó)式的算法，便可以同時(shí)進(jìn)行深入的證明和準(zhǔn)確的計(jì)算，對(duì)當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展可能會(huì)起到無(wú)法預(yù)料的作用。這是中西數(shù)學(xué)思想的一種新的融會(huì)貫通，可以說(shuō)是較明末至清末更高的、完全不同的一種融會(huì)貫通?？傊灰私獠⒖陀^、公正地評(píng)價(jià)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它是世界數(shù)學(xué)主流中極其重要的一部分。六數(shù)學(xué)史是歷史學(xué)的一部分。它要求研究者站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，用歷史學(xué)的方法整理此前產(chǎn)生的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。不言而喻，反映這些遺產(chǎn)的載體——原始文獻(xiàn)，是我們研究的主要對(duì)象，是數(shù)學(xué)史研究的出發(fā)點(diǎn)。因此，尊重并認(rèn)真研讀原始文獻(xiàn)，是對(duì)數(shù)學(xué)史工作者的起碼要求。這不是杞人憂天。事實(shí)上，不認(rèn)真研究原始文獻(xiàn)，以自己現(xiàn)有的知識(shí)理解甚至取代古文；對(duì)原始文獻(xiàn)棄而不用，只靠自己的臆測(cè)得出某些結(jié)論；讀不懂古文，便對(duì)古文亂加改竄；因原始文獻(xiàn)的記載與自己的觀點(diǎn)相左，便對(duì)古文進(jìn)行曲解，甚至不加說(shuō)明便隨意刪節(jié)，強(qiáng)古人以就我的態(tài)度……在我們的數(shù)學(xué)史研究中并不鮮見(jiàn)。中國(guó)數(shù)學(xué)史研究經(jīng)常發(fā)生一些爭(zhēng)論，原因當(dāng)然各異。然而，不尊重原始文獻(xiàn)，甚至有意無(wú)意地篡改古文，曲解古義，是一個(gè)重要原因。我們以清中葉以來(lái)學(xué)術(shù)界對(duì)《九章算術(shù)》的編纂、劉徽的割圓術(shù)及求圓周率的程序、對(duì)秦九韶大衍總數(shù)術(shù)的認(rèn)識(shí)、李冶《測(cè)圓海鏡》為何而作、對(duì)天元式的認(rèn)識(shí)等問(wèn)題的偏頗為例說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。劉徽關(guān)于《九章算術(shù)》是“九數(shù)之流”，張蒼、耿壽昌等在秦火遺殘基礎(chǔ)上“各稱刪補(bǔ)”而成的論述不僅是最早的，而且被對(duì)《九章算術(shù)》的結(jié)構(gòu)和體例的分析郭書(shū)春，古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽，山東科學(xué)技術(shù)出版社，1992年。又見(jiàn)：繁體字修訂本，明文書(shū)局，1995年。、對(duì)《九章算術(shù)》所反映的物價(jià)的分析［日］堀毅，秦漢物價(jià)考，見(jiàn)：秦漢法制史論考，法律出版社，1988年，第268~307頁(yè)。所證實(shí)，因而是最正確的。自清中葉戴震整理《九章算術(shù)》（1774）時(shí)開(kāi)始否定劉徽的說(shuō)法清?戴震，九章算術(shù)提要，見(jiàn)：《武英殿聚珍版叢書(shū)》本。見(jiàn)：郭書(shū)春主編，中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯?數(shù)學(xué)卷，第1冊(cè)，河南教育出版社，1993年。起，此后整整200年間，人們不再考慮劉徽的說(shuō)法是不是正確，卻沿著戴震的思路走下去，提出一些或者似是而非，或者毫無(wú)根據(jù)、純屬臆測(cè)的《九章算術(shù)》成書(shū)說(shuō)。事實(shí)上，1983年底張家山漢墓中與《算數(shù)書(shū)》同時(shí)出土了關(guān)于“均輸律”的竹簡(jiǎn)李學(xué)勤，中國(guó)數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)，文物天地，1985，（1）。之后，劉徽的說(shuō)法不再與任何歷史事實(shí)相矛盾，是不能輕易懷疑的。我們認(rèn)為，今天的研究者不能將劉徽關(guān)于《九章算術(shù)》編纂的論述與近人、今人關(guān)于《九章算術(shù)》成書(shū)的一些猜測(cè)放在同等的位置上來(lái)考察。只有首先駁倒劉徽，才能再考慮其他說(shuō)法。因?yàn)閯⒒盏脑捠窃凇毒耪滤阈g(shù)》成書(shū)二三百年后，而戴震等的話則在2000多年之后。劉徽去古未遠(yuǎn)，他不僅能師承前輩關(guān)于《九章算術(shù)》編纂的可靠說(shuō)法，而且能看到比近人、今人多得多的資料。乾嘉學(xué)派特別是戴震等的考據(jù)功夫極深，但是，疑古傾向太嚴(yán)重。且不說(shuō)當(dāng)時(shí)大規(guī)模的文物考古發(fā)掘尚未展開(kāi)，只就典籍而言，由于時(shí)代久遠(yuǎn)及各種天災(zāi)人禍，古代出現(xiàn)過(guò)的典籍能流傳到清中葉的百無(wú)一二；有幸流傳到清中葉的，一個(gè)人即使如戴震這樣聰明博學(xué)的大才，能讀到的亦百無(wú)一二。因此，戴震等以一己之知識(shí)，便隨意否定歷史文獻(xiàn)的記載，其偏頗是顯而易見(jiàn)的。尊重原始文獻(xiàn)，走出疑古，這就是結(jié)論。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在20世紀(jì)初中斷，從事中國(guó)數(shù)學(xué)史研究的學(xué)者絕大多數(shù)是受西方現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的，這就存在著一個(gè)既站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，又回到中國(guó)古代的問(wèn)題。然而，在研治中國(guó)數(shù)學(xué)史的時(shí)候，往往囿于自己的知識(shí)修養(yǎng)，離開(kāi)原始文獻(xiàn)，自覺(jué)或不自覺(jué)地用我們所熟悉的希臘的或現(xiàn)代的方法取代中國(guó)傳統(tǒng)的方法，從而造成誤解。即使是一些造詣相當(dāng)高的學(xué)者的某些嚴(yán)肅的論著在使用原始文獻(xiàn)方面也會(huì)造成失誤。對(duì)劉徽割圓術(shù)及求圓周率程序的理解偏頗就是一個(gè)典型的例子。劉徽為《九章算術(shù)》圓田術(shù)寫(xiě)了一個(gè)很漂亮的注。這個(gè)注首先記述了前人用出入相補(bǔ)原理對(duì)圓田術(shù)的論證方法，當(dāng)然是不嚴(yán)格的。接著，劉徽創(chuàng)造了用極限思想和無(wú)窮小分割方法嚴(yán)格證明圓田術(shù)的方法，其畫(huà)龍點(diǎn)睛之處是“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪”。這幾句話清楚地表明劉徽完成了對(duì)《九章算術(shù)》圓面積公式的證明。然后，劉徽指出，《九章算術(shù)》圓田術(shù)中的周、徑“謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也”。因此需要求這個(gè)“至然之?dāng)?shù)”，就是圓周率。他在批評(píng)了前人沿用“周三徑一之率”的錯(cuò)誤之后，提出了求圓周率近似值的程序。他從直徑為2尺的圓的內(nèi)接正六邊形逐步割圓，計(jì)算出314寸2作為圓面積的近似值。將其代入圓田術(shù)，反求出圓周長(zhǎng)的近似值628寸。將其與圓直徑20寸相約，便得到圓周率15750。劉徽的整個(gè)圓田術(shù)注，論點(diǎn)明確，論據(jù)充分，邏輯清晰，沒(méi)有任何費(fèi)解之處。顯然，劉徽割圓術(shù)的主旨和他的幾個(gè)極限過(guò)程是為了證明《九章算術(shù)》的圓田術(shù)。可是，“文化大革命”前約半個(gè)世紀(jì)，幾乎所有關(guān)于劉徽割圓術(shù)的文章都沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。甚至一篇逐字逐句用現(xiàn)代漢語(yǔ)翻譯圓田術(shù)注的文章勵(lì)乃驥，《九章算經(jīng)》圓田題和劉徽注的今釋，數(shù)學(xué)教學(xué)，1957，（6）：1~11。對(duì)上面提到的畫(huà)龍點(diǎn)睛的幾句話，竟然略而不譯。并且由于這個(gè)失誤，人們對(duì)劉徽求圓周率的程序也統(tǒng)統(tǒng)搞錯(cuò)了。首先，誤以為整個(gè)割圓術(shù)，特別是幾個(gè)極限過(guò)程，就是為了求圓周率。實(shí)際上，求圓周率是極限思想在近似計(jì)算中的應(yīng)用，用不到極限過(guò)程。其次，誤以為求出圓面積近似值314寸2之后，使用現(xiàn)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中的圓面積公式S=πr2求圓周率。這不僅背離了劉徽注，而且還會(huì)把劉徽置于他從未犯過(guò)的循環(huán)推理錯(cuò)誤的境地。對(duì)劉徽割圓術(shù)的誤解延續(xù)時(shí)間之長(zhǎng)，涉及范圍之廣，是罕見(jiàn)的。究其原因，除了離開(kāi)原文并囿于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)外，對(duì)許多作者而言，是犯了“天下文章一大抄”的錯(cuò)誤。研究數(shù)學(xué)史，認(rèn)真研讀原著是第一要?jiǎng)?wù)。在這里，沒(méi)有捷徑可走。人們常把南宋數(shù)學(xué)家秦九韶《數(shù)書(shū)九章》中求解一次同余方程組的方法稱為“大衍求一術(shù)”。實(shí)際上，這是一個(gè)誤解。秦九韶求解一次同余方程組的方法是“大衍總數(shù)術(shù)”，它包括四個(gè)部分：諸問(wèn)數(shù)的定義、將不兩兩互素的問(wèn)數(shù)化為相當(dāng)于兩兩互素的定數(shù)的程序、求乘率的程序即“大衍求一術(shù)”、求率數(shù)即答案的程序。“大衍求一術(shù)”只是其中一部分，盡管是其相當(dāng)重要甚或核心的一部分，但不是一次同余方程組解法的全部。自清中葉以來(lái)，許多推演秦九韶方法的著作清中葉之后推演秦九韶求解一次同余方程組方法的著作幾乎全部冠以“求一術(shù)”之名，如張敦仁的《求一算術(shù)》、焦循的《大衍求一術(shù)》、時(shí)曰醇的《求一術(shù)指》、黃宗憲的《求一術(shù)通解》等。及20世紀(jì)的數(shù)學(xué)史著述錢(qián)寶琮，秦九韶《數(shù)書(shū)九章》研究，見(jiàn)：錢(qián)寶琮等，宋元數(shù)學(xué)史論文集，科學(xué)出版社，1966年，第67~77頁(yè)。大都將“大衍求一術(shù)”說(shuō)成是秦九韶的一次同余方程組解法，這是不恰當(dāng)?shù)?。自清阮元?764~1849）提出“《測(cè)圓海鏡》何為而作也？所以發(fā)揮立天元一之術(shù)也”清?阮元，重刻《測(cè)圓海鏡細(xì)草》序，見(jiàn)：郭書(shū)春主編，中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯?數(shù)學(xué)卷，第1冊(cè)，河南教育出版社,1993年。的說(shuō)法之后，許多中國(guó)數(shù)學(xué)史著述便將《測(cè)圓海鏡》說(shuō)成是一部研究天元術(shù)的著作，而李冶的《益古演段》是一部普及天元術(shù)的著作。誠(chéng)然，《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》是現(xiàn)存使用天元術(shù)的最早的兩部著作，人們重視它們關(guān)于天元術(shù)的內(nèi)容，這是完全正確的。但是，說(shuō)它們是李冶為天元術(shù)而寫(xiě)的，是不符合歷史事實(shí)的。實(shí)際上，李冶自序已經(jīng)說(shuō)明他的《測(cè)圓海鏡》是為了闡釋洞淵九容，而《益古演段》是在《益古集》上“移補(bǔ)條段，細(xì)翻圖式”，為了使初學(xué)數(shù)學(xué)者能看懂。在李冶自序中，沒(méi)有一個(gè)字談到天元術(shù)。在他的朋友和子侄輩為他的兩部書(shū)寫(xiě)的序跋中，也都沒(méi)有一個(gè)字談到天元術(shù)?？梢?jiàn)，《測(cè)圓海鏡》是闡釋勾股容圓的著作，《益古演段》是闡發(fā)《益古集》中田畝問(wèn)題的著作，二者都不是以闡述天元術(shù)為目的的著作。天元術(shù)只是李冶在這兩部著作中使用的主要方法，當(dāng)時(shí)業(yè)已成熟。對(duì)天元式的表示自清中葉以來(lái)也有一些模糊認(rèn)識(shí)。應(yīng)當(dāng)指出，天元式主要是指含有“天元”的多項(xiàng)式或單項(xiàng)式，而不是指開(kāi)方式。許多數(shù)學(xué)史著述說(shuō)，在天元術(shù)中，開(kāi)方式也稱為天元式，甚至稱為“天元開(kāi)方式”，說(shuō)“‘天元開(kāi)方式’就是一元高次方程”，并在開(kāi)方式中以“元”字或“太”字表示一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)。這是不恰當(dāng)?shù)?。一般說(shuō)來(lái)，在天元術(shù)中，經(jīng)過(guò)“如積相消”，得出的開(kāi)方式中的常數(shù)項(xiàng)或天元的一次項(xiàng)便不再標(biāo)以“太”或“元”。有的學(xué)者在引用開(kāi)方式時(shí)加上原文沒(méi)有的“元”字，是上述誤解所致。經(jīng)過(guò)李儼、錢(qián)寶琮等中國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)科奠基者和歷代數(shù)學(xué)史工作者的努力，中國(guó)數(shù)學(xué)史研究有相當(dāng)深厚的基礎(chǔ)和成就。在這種情況下，更應(yīng)該力求準(zhǔn)確地表述這些成就，既不夸大，也不縮小。為此，除了尊重原始文獻(xiàn)之外，別無(wú)他途。同時(shí)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就雖然輝煌，然而歷史上產(chǎn)生的尤其是元中葉以前的大量數(shù)學(xué)著作，流傳到現(xiàn)今的只是極少一部分。就是說(shuō)，我們實(shí)際上只知道中國(guó)數(shù)學(xué)史的幾個(gè)“點(diǎn)”。如何將這些“點(diǎn)”串聯(lián)成“線”、“面”或“體”，成為一部完整的中國(guó)數(shù)學(xué)史，是數(shù)學(xué)史工作者的任務(wù)。李儼、錢(qián)寶琮、嚴(yán)敦杰等前輩站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度，用歷史學(xué)的方法研究中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，為中國(guó)數(shù)學(xué)史奠定了實(shí)事求是的研究方法。吳文俊進(jìn)而提出了“古證復(fù)原”的“三原則”：原則之一，證明應(yīng)符合當(dāng)時(shí)本地區(qū)數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況，而不能套用現(xiàn)代的或其他地區(qū)的數(shù)學(xué)成果與方法。原則之二，證明應(yīng)有史實(shí)史料上的依據(jù)，不能憑空臆造。原則之三，證明應(yīng)自然地導(dǎo)致所求證的結(jié)果或公式，而不應(yīng)為了達(dá)到預(yù)知結(jié)果以致出現(xiàn)不合情理的人為雕琢痕跡。這里雖然講的是復(fù)原古證的問(wèn)題，但對(duì)數(shù)學(xué)史研究的其他問(wèn)題也是適用的。我們認(rèn)為，這“三原則”的核心是尊重歷史，尊重原始文獻(xiàn)。只有尊重原始文獻(xiàn)，深入研究這些“點(diǎn)”，才有可能做好串聯(lián)成“線”、“面”或“體”的工作，形成完整、準(zhǔn)確的中國(guó)數(shù)學(xué)史。這是本書(shū)力求達(dá)到的目標(biāo)。正因?yàn)槿绱?，本?shū)凡是闡述重大成就或重要觀點(diǎn)，必定引征古文獻(xiàn)的原文藝為佐證。

內(nèi)容概要

數(shù)學(xué)是中國(guó)古代最為發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)科之一，約公元前3世紀(jì)至公元14世紀(jì)初領(lǐng)先于世界先進(jìn)水平。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的思想和方法既可用于現(xiàn)今的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，也對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)研究有某些啟迪作用。本書(shū)根據(jù)對(duì)原始文獻(xiàn)的深刻研究，以重新劃分的中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展各階段為序，試圖系統(tǒng)論述遠(yuǎn)古至清末中國(guó)數(shù)學(xué)的主要成就、思想、理論貢獻(xiàn)以及重要的數(shù)學(xué)典籍、杰出的數(shù)學(xué)家，并探討其產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政治、思想和文化背景，是對(duì)截止到21世紀(jì)初中國(guó)數(shù)學(xué)史研究成果的最新全面總?。本書(shū)既是數(shù)學(xué)史專業(yè)工作者的參考讀物，也適合從事數(shù)學(xué)、歷史、文化、教育工作的各界人士和愛(ài)好者閱讀。

作者簡(jiǎn)介

郭書(shū)春，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員、黨委委員、學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任、工會(huì)主席，全國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)、博士生導(dǎo)師。長(zhǎng)期從事中國(guó)數(shù)學(xué)史研究，在《九章算術(shù)》的編纂，劉徽《九章算術(shù)注》的結(jié)構(gòu)、成就，劉徽的數(shù)學(xué)體系、邏輯思想淵源、時(shí)代背景，以及賈憲、秦九韶、楊輝

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總序前言第一編  中國(guó)數(shù)學(xué)從興起到形成一門(mén)學(xué)科——原始社會(huì)到西周時(shí)期的數(shù)學(xué)  第一章  中國(guó)數(shù)學(xué)的興起——原始社會(huì)的數(shù)學(xué)    第一節(jié)  圖形觀念的形成      一  圖形觀念的產(chǎn)生      二  從方位觀念看圖形觀念      三  原始的作圖工具——規(guī)矩準(zhǔn)繩    第二節(jié)  數(shù)概念的形成與原始的記數(shù)方法      一  數(shù)概念的產(chǎn)生      二  原始的記數(shù)方法    第三節(jié)  傳說(shuō)中的數(shù)學(xué)人物      一  伏羲      二  黃帝和隸首      三  堯、舜、禹和倭    第四節(jié)  從原始社會(huì)晚期的社會(huì)結(jié)構(gòu)看當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展  第二章  數(shù)學(xué)形成一門(mén)學(xué)科——夏、商、西周三代的數(shù)學(xué)    第一節(jié)  十進(jìn)位值制記數(shù)法的形成      一  甲骨文和金文中的數(shù)字      二  十進(jìn)位值制記數(shù)法    第二節(jié)  數(shù)學(xué)成為一門(mén)學(xué)科      一  社會(huì)管理和工作的需要與數(shù)學(xué)的發(fā)展      二  數(shù)學(xué)進(jìn)入教學(xué)科目      三  商高及其所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)第二編  中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)框架的確立——春秋至東漢中期的數(shù)學(xué)第三編  中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系的完成——東漢末至唐中葉的數(shù)學(xué)第四編  中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的高潮——唐中葉至元中葉的數(shù)學(xué)第五編  傳統(tǒng)數(shù)學(xué)主流的轉(zhuǎn)變與珠算的發(fā)展——元中葉至明末數(shù)學(xué)第六編  西方數(shù)學(xué)的傳入與中西數(shù)學(xué)的會(huì)通——明末至清末的數(shù)學(xué)主要參考文獻(xiàn)后記總跋

章節(jié)摘錄

二十進(jìn)位值制記數(shù)法（一）十進(jìn)位值制記數(shù)法在原始社會(huì)，各部落和氏族在各自的環(huán)境和條件以及習(xí)慣下形成多種多樣的記數(shù)方法和記數(shù)系統(tǒng)，其中十進(jìn)、二進(jìn)、五進(jìn)、十二進(jìn)、六十進(jìn)等大概都有過(guò)。當(dāng)氏族社會(huì)發(fā)展到它的高級(jí)階段形成部落聯(lián)盟時(shí)，交流、形成共同力量和進(jìn)行公共管理等方面的需要促進(jìn)了一種共用的記數(shù)法的形成?！渡袝?shū)?堯典》說(shuō)帝舜時(shí)“協(xié)時(shí)月、正日，同律度量衡”，這種規(guī)范歷日和度量衡的活動(dòng)，也需要先在一定范圍內(nèi)規(guī)范記數(shù)法。而進(jìn)入夏代奴隸制社會(huì)以后，各方國(guó)都要受夏王朝節(jié)制，對(duì)夏盡貢賦、征發(fā)等各種義務(wù)，這時(shí)統(tǒng)一歷日、度量衡和記數(shù)法的需要就更加迫切，而統(tǒng)一的歷日、度量衡和記數(shù)法的行用范圍也會(huì)更加深廣。對(duì)十進(jìn)制的認(rèn)知以身體的十指為基礎(chǔ)，十分自然，大概是中國(guó)境內(nèi)各部落采用較多的記數(shù)法。據(jù)張政烺研究，存在著一種“十進(jìn)制氏族組織”，居統(tǒng)治地位的氏族對(duì)被統(tǒng)治氏族的原有血緣組織進(jìn)行調(diào)整，使每一氏族都含有一百個(gè)壯丁，從氏族到宗族再到部族都成為一種十進(jìn)制組織，這樣每一部族便包含一百個(gè)氏族一萬(wàn)個(gè)壯丁，“這便是《尚書(shū)?堯典》上所說(shuō)的‘平章百姓，百姓昭明’”張政烺,古代中國(guó)的十進(jìn)制氏族組織,歷史教學(xué)，1951,3(2)：13~19。4:14~17。。較為廣泛的社會(huì)基礎(chǔ)使十進(jìn)制成為統(tǒng)一記數(shù)法的首選。至遲到殷商的時(shí)候，它已經(jīng)普遍使用，并發(fā)展到比較完善的程度，這從上面討論的甲骨文和金文的準(zhǔn)十進(jìn)位值制記數(shù)法中可以看到充分的證據(jù)。據(jù)《甲骨文字典》，商周時(shí)代也用簡(jiǎn)策來(lái)書(shū)寫(xiě)。甲骨文“冊(cè)”作、諸形，正是簡(jiǎn)牘編成冊(cè)的樣子；“典”字作、，像雙手持冊(cè)的樣子。在傳世文獻(xiàn)中用到的數(shù)字單位有比萬(wàn)更大的億、兆、京等單位,也都是十進(jìn)制，除偶爾用到廿、卅、、卌外，都不用合書(shū)?！吨荀滤憬?jīng)》載公元前11世紀(jì)商高答周公問(wèn)說(shuō)“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，這說(shuō)明“九九”已為商高掌握?！熬啪拧迸c先進(jìn)的記數(shù)法是互為表里的。從甲骨金文看，其中所用的準(zhǔn)十進(jìn)位值制記數(shù)法到算籌的十進(jìn)位值制記數(shù)法，在道理上是很容易過(guò)渡的參考王青建,算籌記數(shù)思想,第七屆國(guó)際中國(guó)科學(xué)史會(huì)議文集，大象出版社，1999年，第220~225頁(yè)。。我們認(rèn)為算籌記數(shù)法的形成大約有三個(gè)階段：第一階段約在商代之前，竹、木或草莖等用于計(jì)算，但用途尚不固定，我們稱為前算籌期；第二階段是商末之前，某些長(zhǎng)條形的竹、木棍（片）被賦予一項(xiàng)計(jì)數(shù)的專門(mén)功能，我們稱為算籌形成期；第三階段是商末至西周末年，逐漸形成后世算籌記數(shù)制度，可以稱為算籌完善期。（二）干支記數(shù)法除十進(jìn)制外，夏商西周時(shí)期還有一種記數(shù)法，就是干支法。它主要用來(lái)記時(shí)。干就是天干，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)；支是地支，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)。天干可能來(lái)源于原始社會(huì)曾把一年分為十個(gè)時(shí)節(jié)的十月太陽(yáng)歷，地支有人認(rèn)為出于日月之會(huì)一年中有十二次陳久金,天干十日考,陳久金集,黑龍江教育出版社，1993年，第59~75頁(yè)。。干支搭配形成60種組合：甲子，乙丑，丙寅，丁卯，戊辰，己巳，庚午，辛未，壬申，癸酉；甲戌，乙亥，丙子，丁丑，戊寅，己卯，庚辰，辛巳，壬午，癸未；甲申，乙酉，丙戌，丁亥，戊子，己丑，庚寅，辛卯，壬辰，癸巳；甲午，乙未，丙申，丁酉，戊戌，己亥，庚子，辛丑，壬寅，癸卯；甲辰，乙巳，丙午，丁未，戊申，己酉，庚戌，辛亥，壬子，癸丑；甲寅，乙卯，丙辰，丁巳，戊午，己未，庚申，辛酉，壬戌，癸亥。這60個(gè)組合由于以“甲子”開(kāi)頭，又稱為甲子。干支記日法是一種序數(shù)記法，它與60進(jìn)制有關(guān)，但不能算作60進(jìn)制，從甲子到癸亥，再往下又回到甲子，確實(shí)只用60個(gè)符號(hào)。但是，干支的記日不出現(xiàn)某“干支”周期的某“干支”日，因此，它決算不上是60進(jìn)制。第二節(jié)數(shù)學(xué)成為一門(mén)學(xué)科從夏代進(jìn)入階級(jí)社會(huì)開(kāi)始，國(guó)家的社會(huì)結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)提出了更高的要求從而刺激了數(shù)學(xué)的進(jìn)步，另外，數(shù)學(xué)在管理者和世代相傳的勞動(dòng)者手中成長(zhǎng)，從而具有更加穩(wěn)定的傳承紐帶。數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和社會(huì)的需要，使它終于在西周時(shí)期發(fā)展成為一門(mén)學(xué)科。一社會(huì)管理和工作的需要與數(shù)學(xué)的發(fā)展原始社會(huì)晚期促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的諸多因素，在中國(guó)步入奴隸社會(huì)以后依然存在并得到了加強(qiáng)。夏、商、周三個(gè)王朝，國(guó)家機(jī)構(gòu)日趨完善，所統(tǒng)轄的范圍越來(lái)越廣，以華夏族活動(dòng)區(qū)域?yàn)橹行牡膹V大地區(qū)的民族沖突和融合逐漸形成越來(lái)越大的社會(huì)共同體，當(dāng)然也就為數(shù)學(xué)提出了越來(lái)越高的要求。特別是大的工程和戰(zhàn)爭(zhēng)，必然要求其領(lǐng)導(dǎo)對(duì)人力、物力有較好的方法進(jìn)行安排和調(diào)配，還須要解決一些技術(shù)問(wèn)題。國(guó)家龐大和復(fù)雜的管理系統(tǒng)，既對(duì)管理人員提出較高的要求，也使他們能脫離機(jī)械的體力勞動(dòng)，有時(shí)間和精力完備制度，提高管理能力。同時(shí)，手工業(yè)的分工也越來(lái)越細(xì)，經(jīng)過(guò)經(jīng)驗(yàn)的不斷總結(jié)和技藝的世代相傳，生產(chǎn)力和工藝水平就會(huì)越來(lái)越高。這些都會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生刺激作用。《史記?夏本紀(jì)》云，禹與益和后稷奉帝舜之令治水，“命諸侯百姓興人徒以傅土，行山表木，定高山大川?！鬁?zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道?！边@里提到要用規(guī)矩準(zhǔn)繩等工具來(lái)測(cè)定高山大川的高低寬窄、地勢(shì)迂直，確立地域的疆界，開(kāi)通道路。這就需要對(duì)工程量大小、用工人數(shù)、工具和糧食等進(jìn)行估算，其中肯定會(huì)用到測(cè)望、加減乃至某種形式的乘除和比例分配方法等數(shù)學(xué)知識(shí)。這為三代的數(shù)學(xué)提供了基礎(chǔ)。夏商西周不僅要繼續(xù)興建水利工程，也要筑王城，夏、商都多次遷都，每次都要大興土木，西周建立不久就興修洛邑。各諸侯卿大夫也都要修筑城邑。夏商周時(shí)候的國(guó)家機(jī)構(gòu)要管理大量的財(cái)物，了解國(guó)家的資源，在遇到大型工程和重大事情時(shí)，要合理調(diào)配大量人力物力。同時(shí)，國(guó)家又擁有一大批世代相傳的工匠，他們?cè)谥谱鳟a(chǎn)品時(shí)，都形成越來(lái)越完備的規(guī)程。這些既應(yīng)用了已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。《孟子?滕文公上》說(shuō)：“夏后氏五十而貢，殷人七十而助，周人百畝而徹。其實(shí)皆什一也?！曊?，校數(shù)歲之中以為之常。”注云：“民耕五十畝，貢上五畝；耕七十畝者，以七畝助公家；耕百畝者，徹取十畝以為賦。雖異名而多少同，故曰‘什一’也?！睉?zhàn)國(guó)?孟軻，孟子，十三經(jīng)注疏，中華書(shū)局，1981年。夏王朝向王畿地區(qū)的平民，按耕種50畝收取5畝的實(shí)物收獲征稅。這和商代70畝收7畝、周100畝收10畝的稅率相等，都是十分之一的稅率。這里需要用比例算法?！秶?guó)語(yǔ)?周語(yǔ)上》說(shuō)“《夏書(shū)》有之曰：‘關(guān)石、和鈞，王府則有’”注云：“言征賦調(diào)鈞，則王之府藏常有也?！鄙虾煼洞髮W(xué)古籍整理研究所校點(diǎn)，國(guó)語(yǔ)，上海古籍出版社，1990年，第121頁(yè)。如是則夏代已開(kāi)始征收商業(yè)稅了。在商代，平民的商品交換已經(jīng)很活躍，商王室和貴族的用品也有很多是通過(guò)商品交換得到的。商代已經(jīng)有貝幣作為流通的一般等價(jià)物。楊升南，商代經(jīng)濟(jì)史，貴州人民出版社，1992年，第590~607頁(yè)。商品交換的發(fā)展必然刺激相關(guān)計(jì)算方法的進(jìn)步。上面我們看到甲骨文已經(jīng)有大到三萬(wàn)的數(shù)和準(zhǔn)十進(jìn)位值制記數(shù)法，這就為商品交換時(shí)準(zhǔn)確快捷的計(jì)算提供了基礎(chǔ)。戰(zhàn)爭(zhēng)與數(shù)學(xué)也有密切關(guān)系。三代有些戰(zhàn)爭(zhēng)規(guī)模很大。例如,《呂氏春秋?簡(jiǎn)選》提到商湯伐夏桀用70輛軍車(chē)，6000人的敢死隊(duì)秦?呂不韋，呂氏春秋，《諸子集成》本，上海書(shū)店，1991年，第79頁(yè)。，加上其他的部隊(duì)，人數(shù)會(huì)多得多。甲骨文中有一些用兵人數(shù)的記載，多數(shù)為3000~5000。最多的一次是13000人，由武丁妻子的封邑提供3000人，王室的軍隊(duì)提供10000人。楊升南，商代經(jīng)濟(jì)史，貴州人民出版社，1992年，第48~49頁(yè)。《史記?周本紀(jì)》載周武王伐紂，“率戎車(chē)三百乘，虎蕡三千人，甲士四萬(wàn)五千人”，并有“諸侯兵會(huì)者車(chē)四千乘”。而據(jù)說(shuō)商紂王則匆匆集結(jié)了七十萬(wàn)人的軍隊(duì)。《逸周書(shū)?世俘》說(shuō)，周滅商以后，“武王遂征四方，凡憝國(guó)九十有九國(guó)，馘魔億有萬(wàn)七千七百七十有九，俘人三億萬(wàn)有二百三十”，“凡武王俘商，得舊寶玉萬(wàn)四千，佩玉億有八萬(wàn)”黃懷信、張懋镕、田旭東，逸周書(shū)匯校集注，上海古籍出版社，1995年。原文“萬(wàn)”前衍“十”，今從章太炎校。“凡武王俘商，得舊寶玉萬(wàn)四千，佩玉億有八萬(wàn)”原文作“凡武王俘商舊玉億有百萬(wàn)”，今從王念孫校。。不管這些數(shù)字是否有傳抄錯(cuò)誤，它們的獲得必定用到統(tǒng)計(jì)方法，其中必定有整數(shù)運(yùn)算問(wèn)題。而且發(fā)動(dòng)這些大規(guī)模的戰(zhàn)爭(zhēng)，肯定需要在戰(zhàn)前對(duì)雙方實(shí)力有合適的估計(jì)，對(duì)地勢(shì)、路程、人數(shù)、糧草、器械等有合理的安排。這就必然用到很多相關(guān)的數(shù)學(xué)方法。商代的手工業(yè)有青銅、建筑、陶瓷、紡織等各種行業(yè)楊升南，商代經(jīng)濟(jì)史，貴州人民出版社，1992年。，其中肯定要用到很多數(shù)學(xué)方法。例如，建筑、木作中用到長(zhǎng)寬、體積的計(jì)算等多種幾何方法，青銅鑄造、釀造業(yè)中都有原料的配伍問(wèn)題，需要比例算法，等等?！犊脊び洝分杏涗涥P(guān)于各種手工業(yè)的規(guī)范，涉及大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中很多可能來(lái)源于前代。歷法的制定有兩項(xiàng)重要工作，一是觀測(cè)，二是計(jì)算，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。觀測(cè)天象除用肉眼外，還借助工具。立桿測(cè)影大概在原始社會(huì)時(shí)代就已經(jīng)有了。商代已經(jīng)采用圭表法測(cè)日影。商玉芝，殷商歷法研究，中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，1987年，第87頁(yè)。《考工記》“正朝夕”的測(cè)影法用到平分和垂直的概念。其源當(dāng)遠(yuǎn)在《考工記》形成前。商高的測(cè)望方法也與歷法的制定有關(guān)系。能在一定程度上反映西周制度的《周禮》特別強(qiáng)調(diào)數(shù)量化和負(fù)擔(dān)均平。其“天官冢宰”說(shuō)大宰要“均萬(wàn)民”，就是要讓萬(wàn)民的負(fù)擔(dān)相等；小宰輔佐大宰執(zhí)用九貢九賦九式，合理調(diào)配國(guó)家的財(cái)用，并采用定期會(huì)計(jì)的方法管理財(cái)物的出入。司會(huì)“掌邦之六典八法八則之貳，以逆邦國(guó)都鄙官府之治?！茋?guó)之官府郊野縣都之百物財(cái)用，凡在書(shū)契版圖者之貳，以逆群吏之治，而聽(tīng)其會(huì)計(jì)。以參互考日成，以月要考月成，以歲會(huì)考?xì)q成，以周知四國(guó)之治，以詔王及冢宰廢置”周?周禮，十三經(jīng)注疏，中華書(shū)局，1981年。本編凡引《周禮》文字，均據(jù)此。。對(duì)國(guó)家財(cái)貨的出入，每日每月每年都要有會(huì)計(jì)并登記在冊(cè)，并以之作為考核官吏的成績(jī)?！吨芏Y》甚至還主張用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)醫(yī)生、酒官、卜筮之類的官員進(jìn)行考核。因此，周代的貴族子弟所受的教育中就有數(shù)學(xué)一門(mén)?！?/pre>


后記
《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》是“八五”計(jì)劃中國(guó)科學(xué)院重大課題，《數(shù)學(xué)卷》是其子課題之一，由于種種原因沒(méi)有按時(shí)完成。在陳美東先生和中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所領(lǐng)導(dǎo)反復(fù)動(dòng)員下，我在2004年夏應(yīng)允出任《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史?數(shù)學(xué)卷》（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)卷》）主編，至于我參加《數(shù)學(xué)卷》的工作，則是在1988年秋宣州梅文鼎會(huì)議期間杜石然先生約請(qǐng)的，二年后杜先生即退休去國(guó)。我則在90年代初完成了我承擔(dān)部分的初稿。



編輯推薦
《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史?數(shù)學(xué)卷》是《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》叢書(shū)之一，此系中國(guó)科學(xué)院“八五”重點(diǎn)研究課題，國(guó)家自然科學(xué)基金資助，國(guó)家“九五”重點(diǎn)圖書(shū)出版項(xiàng)目。叢書(shū)共28卷，分綜合類、專史類、工具類三類，是一套系統(tǒng)、完整的中國(guó)科學(xué)技術(shù)史的大型著作。綜合類：通史卷，科學(xué)思想卷，中外交流卷，人物卷，教育、機(jī)構(gòu)與管理卷。專史類：數(shù)學(xué)卷，物理學(xué)卷，化學(xué)卷，天文學(xué)卷，地學(xué)卷，生物學(xué)卷，農(nóng)學(xué)卷，醫(yī)學(xué)卷，水利卷，機(jī)械卷，建筑卷，橋梁卷，礦冶卷，紡織卷，陶瓷卷，造紙與印刷卷，交通卷，軍事技術(shù)卷，度量衡卷。工具類：詞典卷，圖錄卷，年表卷，論著索引卷。





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