應(yīng)用復(fù)分析

前言

　　隨著教學(xué)實(shí)踐的深入進(jìn)行，現(xiàn)行大學(xué)數(shù)學(xué)教育體系已呈現(xiàn)諸多弊病。一方面，一些學(xué)生反映：數(shù)學(xué)太抽象，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)太枯燥，學(xué)完之后僅記得幾個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)和概念，難以做到學(xué)以致用；另一方面，一些高年級(jí)本科生和研究生反映：本科階段所學(xué)的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足其專業(yè)需求，學(xué)懂了的數(shù)學(xué)用不上，要用的數(shù)學(xué)沒(méi)學(xué)過(guò)。這一切都說(shuō)明，現(xiàn)行的“教”與“學(xué)”、“學(xué)”與“用”嚴(yán)重脫節(jié)，現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)代教育及高速發(fā)展的科學(xué)技術(shù)的需要，改革與創(chuàng)新勢(shì)在必行?！　∥覈?guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期以來(lái)沿用了前蘇聯(lián)的模式：從課程設(shè)置來(lái)說(shuō)，著重于近代數(shù)學(xué)而較少融人現(xiàn)代數(shù)學(xué)；從教材內(nèi)容來(lái)說(shuō)，重理論及其推導(dǎo)而輕知識(shí)拓展及其應(yīng)用。眾所周知，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)與工程技術(shù)的基礎(chǔ)，它已滲透到當(dāng)代社會(huì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域，對(duì)于培養(yǎng)和開(kāi)發(fā)學(xué)生潛能起著重要作用。如何構(gòu)建當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，使學(xué)生樂(lè)而學(xué)之、學(xué)以致用，是擺在我們每位大學(xué)數(shù)學(xué)教師面前的艱巨任務(wù)。

內(nèi)容概要

本書是大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程創(chuàng)新教材之一，是根據(jù)各重點(diǎn)理工科研究型大學(xué)對(duì)理工科(非數(shù)學(xué)專業(yè))學(xué)生數(shù)學(xué)課程教學(xué)的要求和創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)目標(biāo)而編寫的，內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，解析性與Cauchy-Riemann條件，Cauchy積分定理及其應(yīng)用，Taylor定理，Laurent定理及其應(yīng)用，留數(shù)定理及其應(yīng)用，共形映射，F(xiàn)ourier分析及其應(yīng)用和Laplace變換及其應(yīng)用等。    本書可作為理工科大學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)的教材使用，也可作為相關(guān)課程的教學(xué)參考書。

書籍目錄

第1章 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性  1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算    1.1.1 復(fù)數(shù)的概念及其四則運(yùn)算    1.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)平面    1.1.3 復(fù)數(shù)的方根  1.2 復(fù)平面上的點(diǎn)集與拓?fù)?   1.2.1 復(fù)點(diǎn)列與復(fù)級(jí)數(shù)    1.2.2 復(fù)平面上的拓?fù)?   1.2.3 復(fù)平面上的區(qū)域與若爾當(dāng)曲線定理  1.3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性    1.3.1 復(fù)變函數(shù)的概念    1.3.2 極限與連續(xù)性  1.4 擴(kuò)充復(fù)平面及其相關(guān)問(wèn)題    1.4.1 復(fù)數(shù)的幾何表示與擴(kuò)充復(fù)平面    1.4.2 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限與連續(xù)性  習(xí)題1第2章 解析性與Cauchy-Riemann條件  2.1 解析函數(shù)及其基本性質(zhì)    2.1.1 解析函數(shù)的定義    2.1.2 解析函數(shù)的運(yùn)算  2.2 Cauclay-Riemann條件  2.3 初等解析函數(shù)    2.3.1 單值初等函數(shù)    2.3.2 多值初等函數(shù)  習(xí)題2第3章 Cauchy積分定理及其應(yīng)用  3.1 復(fù)積分及其性質(zhì)    3.1.1 復(fù)積分的定義與計(jì)算公式    3.1.2 復(fù)積分的性質(zhì)  3.2 Cauchy積分定理    3.2.1 單連通區(qū)域上的Cauchy積分定理    3.2.2 復(fù)連通區(qū)域上的Cauehy積分定理  3.3 Cauchy積分公式及其應(yīng)用    3.3.1 Cauchy積分公式    3.3.2 解析函數(shù)的無(wú)限次可微性    3.3.3 LiouviUe定理    3.3.4 解析函數(shù)的等價(jià)刻畫  *3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系  *3.5 解析函數(shù)對(duì)平面流速場(chǎng)應(yīng)用簡(jiǎn)介  習(xí)題3第4章 Taylor定理Laurent定理及其應(yīng)用  4.1 冪級(jí)數(shù)與雙邊冪級(jí)數(shù)    4.1.1 收斂域與一致收斂性    4.1.2 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性    4.1.3 雙邊冪級(jí)數(shù)  4.2 Taylor定理及其應(yīng)用    4.2.1 Taylor定理    4.2.2 解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性定理    4.2.3 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式  4.3 Laurent定理及其應(yīng)用    4.3.1 環(huán)型區(qū)域上的Laurent展開(kāi)式    4.3.2 孤立奇點(diǎn)理論    4.3.3 作為孤立奇點(diǎn)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)  習(xí)題4第5章 留數(shù)定理及其應(yīng)用  5.1 留數(shù)定理    5.1.1 留數(shù)的概念    5.1.2 留數(shù)定理及其證明  5.2 留數(shù)的計(jì)算    5.2.1 有限孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算    5.2.2 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算  *5.3 輻角原理及其應(yīng)用    5.3.1 對(duì)數(shù)留數(shù)及其計(jì)算    5.3.2 輻角原理    5.3.3 應(yīng)用舉例  5.4 留數(shù)定理在定積分計(jì)算中的應(yīng)用    5.4.1 積分fπR(cosθ，sinθ)dθ的計(jì)算    5.4.2 廣義積分f+∞-∞R(x)dx的計(jì)算    5.4.3 廣義積分f+∞-∞R(x)eiwxdx出的計(jì)算  習(xí)題5第6章 共形映射  6.1 共形映射的概念    6.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義    6.1.2 共形映射  6.2 共形映射基本定理簡(jiǎn)介  6.3 分式線性映射    6.3.1 分式線性映射及其分解    6.3.2 分式線性映射的共形性    6.3.3 分式線性映射的保圓性    6.3.4 分式線性映射的保對(duì)稱點(diǎn)性    6.3.5 唯一決定分式線性映射的條件  6.4 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射    6.4.1 冪函數(shù)與根式函數(shù)    6.4.2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)  習(xí)題6第7章 Fourlier分析及其應(yīng)用  7.1 急降函數(shù)及其Fourier變換    7.1.1 急降函數(shù)的概念    7.1.2 急降函數(shù)的Fourier變換及其基本性質(zhì)    7.1.3 卷積與Fourier變換  7.2 廣義函數(shù)的概念與運(yùn)算    7.2.1 廣義函數(shù)的定義    7.2.2 廣義函數(shù)的運(yùn)算  7.3 廣義函數(shù)的Fourier變換    7.3.1 緩增廣義函數(shù)Fourier變換的定義    7.3.2 緩增廣義函數(shù)Fourier變換的性質(zhì)    7.3.3 廣義函數(shù)的卷積與Fourier變換  7.4 Fourier變換的應(yīng)用舉例  習(xí)題7第8章 Laplace變換及其應(yīng)用  8.1 Laplace變換    8.1.1 Laplace變換的定義及其存在性    8.1.2 Laplace變換的分析性質(zhì)    8.1.3 半直線上的卷積與卷積定理    8.1.4 Laplace反演  8.2 Laplace變換的應(yīng)用    8.2.1 求解常微分方程(組)    8.2.2 求解積分方程    *8.2.3 求解數(shù)學(xué)物理方程  習(xí)題8參考文獻(xiàn)附錄 常用函數(shù)積分變換公式

章節(jié)摘錄

　　第1章介紹了復(fù)數(shù)的定義及其運(yùn)算，討論了（擴(kuò)充）復(fù)平面上點(diǎn)集的拓?fù)湫再|(zhì)并由此引入了區(qū)域的概念，并且研究了復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，這些概念和結(jié)論與微積分中相應(yīng)的知識(shí)非常相似，沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別；例如我們可以把復(fù)平面和歐氏平面對(duì)等起來(lái)，其中點(diǎn)集的拓?fù)湫再|(zhì)沒(méi)有任何區(qū)別，這些表象似乎讓人們覺(jué)得復(fù)變量函數(shù)與實(shí)變量函數(shù)的分析性質(zhì)也沒(méi)有太大的區(qū)別，事實(shí)上，這是一種錯(cuò)覺(jué)！本章引入的解析函數(shù)（即在區(qū)域上處處可微的函數(shù)）將會(huì)告訴讀者它與微積分中處處可微函數(shù)的極大差別：我們可以很容易的寫出許多處處連續(xù)但處處不可微的復(fù)變函數(shù)，這在微積分中是很難做到的；我們將在下一章證明區(qū)域上處處可微的復(fù)變函數(shù)實(shí)際上是無(wú)窮次可微的，這一點(diǎn)在微積分學(xué)中也是不可想象的，另外，第3章和第4章分別給出解析函數(shù)的積分特征和冪級(jí)數(shù)表示；換句話說(shuō)，就解析函數(shù)而言，可以從微分學(xué)，積分學(xué)和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式等不同的角度來(lái)闡述它，結(jié)果是殊途同歸。　　……

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