常微分方程簡明教程

前言

　　按照恩格斯的說法，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。從恩格斯那時到現(xiàn)在，盡管數(shù)學(xué)的內(nèi)涵已經(jīng)大大拓展了，人們對現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的認識和理解已今非昔比，數(shù)學(xué)科學(xué)已構(gòu)成包括純粹數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)內(nèi)含的眾多分支學(xué)科和許多新興交叉學(xué)科的龐大的科學(xué)體系，但恩格斯的這一說法仍然是對數(shù)學(xué)的一個中肯而又相對來說易于為公眾了解和接受的概括，科學(xué)地反映了數(shù)學(xué)這一學(xué)科的內(nèi)涵。正由于忽略了物質(zhì)的具體形態(tài)和屬性、純粹從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度來研究現(xiàn)實世界，數(shù)學(xué)表現(xiàn)出高度抽象性和應(yīng)用廣泛性的特點，具有特殊的公共基礎(chǔ)地位，其重要性得到普遍的認同?！　≌麄€數(shù)學(xué)的發(fā)展史是和人類物質(zhì)文明和精神文明的發(fā)展史交融在一起的。作為一種先進的文化，數(shù)學(xué)不僅在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，而且是人類文明的一個重要的支柱。數(shù)學(xué)教育對于啟迪心智、增進素質(zhì)、提高全人類文明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重視。數(shù)學(xué)教育本質(zhì)是一種素質(zhì)教育；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，更要著重領(lǐng)會數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)和思想方法。在大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的階段，更應(yīng)該自覺地去意識并努力體現(xiàn)這一點。　　作為面向大學(xué)本科生和研究生以及有關(guān)教師的教材，教學(xué)參考書或課外讀物的系列，本叢書將努力貫徹加強基礎(chǔ)、面向前沿、突出思想、關(guān)注應(yīng)用和方便閱讀的原則，力求為各專業(yè)的大學(xué)本科生或研究生（包括碩士生及博士生）走近數(shù)學(xué)科學(xué)、理解數(shù)學(xué)科學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)科學(xué)提供必要的指引和有力的幫助，并歡迎其中相當一些能被廣大學(xué)校選用為教材，相信并希望在各方面的支持及幫助下，本叢書將會愈出愈好。

內(nèi)容概要

本書是一本常微分方程本科生教材，傳統(tǒng)意義的微分方程是講解求解微分方程解析解的特殊技巧，本書的特別之處在于首先將數(shù)學(xué)建模貫穿全書，然后以不同的方法進行解的表達，在解的表達中，不僅僅限于解析解，主要以定性為主，通過斜率場、解的圖像、相平面上的向量場及軌線等工具，到達對解的漸近行為的最好理解，最后以數(shù)值方法與計算機模擬為工具加深對解的行為的直覺理解。全書的圖形演示課件可登陸本書指明的課程網(wǎng)站下載。    全書分5章，主要包括一階微分方程、一階二維微分方程組、二階線性常系數(shù)微分方程、一階二維非線性方程組和一階n維線性微分方程組。    本書適合高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生作為教材，也適合其他相關(guān)的人員參考。

書籍目錄

《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》序前言第1章  一階微分方程  1.1  一階微分方程模型    1.1.1  Malthus入口模型    1.1.2  Logistic入口模型  1.2  解析方法：變量分離    1.2.1  變量分離方程    1.2.2  可化為變量分離方程的方程：齊次方程  1.3  一階線性微分方程    1.3.1  基本概念    1.3.2  線性原理    1.3.3  一階線性微分方程的求解    1.3.4  一階線性微分方程求解的常數(shù)變易法    1.3.5  一階線性微分方程求解的積分因子法  1.4  定性方法與數(shù)值方法    1.4.1  一階微分方程的幾何意義    1.4.2  斜率場的兩種特例    1.4.3  解析方法與定性方法相結(jié)合的分析方法    1.4.4  應(yīng)用舉例    1.4.5  數(shù)值方法：歐拉方法  1.5  解的存在性、唯一性及解對初值的連續(xù)相依性    1.5.1  解的存在性    1.5.2  解的唯一性    1.5.3  解對初值的連續(xù)相依性  1.6  自治方程的平衡點與相線    1.6.1  自治方程的相線    1.6.2  運用相線畫解的圖像的簡圖    1.6.3  相線與解的漸近行為    1.6.4  平衡點的分類    1.6.5  判斷平衡點類型的線性化方法    1.6.6  具有Allee效應(yīng)的Logistic模型  1.7  分歧    1.7.1  單參數(shù)微分方程的分歧    1.7.2  分歧圖解與分歧類型    1.7.3  應(yīng)用舉例  1.8  種群生態(tài)學(xué)模型的進一步探討  附錄  習(xí)題1第2章  一階二維微分方程組  2.1  一階二維微分方程組模型    2.1.1  兩生物種群生態(tài)模型    2.1.2  傳染病模型    2.1.3  質(zhì)點-彈簧系統(tǒng)模型  2.2  定性方法：相平面與軌線    2.2.1  捕食-食餌模型的相圖分析    2.2.2  Logistic捕食-食餌模型的相圖分析    2.2.3 相平面與軌線  2.3  定性方法：向量場與解的幾何刻畫    2.3.1  向量場與方向場    2.3.2  解的幾何刻畫    2.3.3  相圖分析    2.3.4  解的存在唯一性定理  2.4  解析方法與數(shù)值方法    2.4.1  解析方法I：半耦合方程組    2.4.2  解析方法II：猜測-檢驗方法    2.4.3  方程組數(shù)值解的歐拉方法  2.5  一階二維線性微分方程組的一般理論    2.5.1  一階二維線性微分方程組模型    2.5.2  一階二維齊次線性微分方程組的通解    2.5.3  一階二維齊次線性微分方程組的平衡解與直線解  2.6  一階二維齊次線性微分方程組的通解、相圖與平衡點分類    2.6.1  具有不同實特征值的線性微分方程組    2.6.2  具有復(fù)特征值的一階二維線性微分方程組    2.6.3  具有重特征值的一階二維微分方程組    2.6.4  跡-行列式平面  習(xí)題2第3章  二階線性常系數(shù)微分方程  3.1  簡諧振動模型    3.1.1  質(zhì)點彈簧系統(tǒng)模型    3.1.2  單擺振動模型    3.1.3  RCL電路數(shù)學(xué)模型  3.2  二階齊次線性常系數(shù)微分方程    3.2.1  線性原理    3.2.2  求通解的特征根法    3.2.3  定性分析的跡-行列式方法  3.3  二階非齊次線性微分方程    3.3.1  拓廣的線性原理    3.3.2  比較系數(shù)法I    3.3.3  比較系數(shù)法II  3.4  無阻尼強制振動的節(jié)拍與共振  習(xí)題3第4章  一階二維非線性方程組  4.1  一階二維非線性方程組模型的進一步探索    4.1.1  捕食-食餌模型    4.1.2  化學(xué)反應(yīng)模型    4.1.3  非量綱化  4.2  平衡解、線性化定理，零水平線    4.2.1  平衡解、線性化定理    4.2.2  零水平線  4.3  同宿、異宿軌線，分離軌線    4.3.1  同宿、異宿軌線    4.3.2  分離軌線  4.4  周期軌線，Poincare-Bendixon定理  4.5  平衡解分歧，Hopf分歧    4.5.1  平衡解分歧    4.5.2  Hopf分歧  4.6  生態(tài)學(xué)模型分析    4.6.1  Lotka-Volterra競爭模型    4.6.2  Klausmeier生態(tài)模型    4.6.3  Rosenzwing-MacArthur 捕食-食餌模型  附錄：Lorenz方程組  習(xí)題4第5章  一階n維線性微分方程組  5.1  一階n維線性方程組的一般理論    5.1.1  一階n維齊次線性微分方程組    5.1.2  一階n維非齊次線性微分方程組  5.2  一階n維常系數(shù)線性方程組    5.2.1  矩陣指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)    5.2.2  一階n維常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣  5.3  高階線性微分方程    5.3.1  Laplace變換的定義    5.3.2  Laplace變換性質(zhì)    5.3.3  Laplace變換的應(yīng)用  附錄  習(xí)題5參考文獻《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》已出版書目

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