應用偏微分方程

內容概要

本書各個部分形成獨立的模塊，重點討論了偏微分方程中四種最基本的方程：傳輸方程、波動方程、熱傳導方程和位勢方程的特點和相應定解問題的求解方法，特別對偏微分方程模型在物理、力學等學科中的應用問題給予了極大的關注，目的在于將偏微分方程的基本理論與其在實際問題中的應用之間架設一座橋梁，幫助讀者了解近代物理學等學科中一些重要的偏微分方程的來龍去脈，從而掌握運用這些偏微分方程解決實際問題的基本方法。

書籍目錄

第1章  緒論  1.1  典型方程和定解條件的物理背景和數學描述    1.1.1  牛頓運動定律與弦振動方程    1.1.2  能量守恒與熱傳導方程    1.1.3  靜電位勢與拉普拉斯方程    1.1.4  質量守恒與連續(xù)性方程  1.2  偏微分方程的基本概念    1.2.1  基本概念    1.2.2  二階線性偏微分方程的分類    1.2.3  線性方程的疊加原理  1.3  定解問題的適定性  習題1第2章  傳輸方程  2.1  一階線性方程的特征線法    2.1.1  一階線性常系數偏微分方程    2.1.2  種群分析與存貨量分析    2.1.3  一階線性變系數偏微分方程    2.1.4  對氣體流的應用    2.1.5  一階線性方程解的參數形式    2.1.6  三維一階線性偏微分方程  2.2  傳輸方程  習題2第3章  波動方程  3.1  一維初值問題    3.1.1  無界弦自由振動問題的行波法    3.1.2  無界弦自由振動問題的傅里葉變換法    3.1.3  依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域    3.1.4  無界弦的強迫振動問題  3.2  高維初值問題    3.2.1  三維波動方程的球面平均法    3.2.2  惠更斯原理    3.2.3  二維波動方程的降維法與泊松公式    3.2.4  波的彌散  3.3  初邊值問題    3.3.1  有界弦自由振動問題的分離變量法    3.3.2  有界弦自由振動問題的積分變換法    3.3.3  有界弦強迫振動問題的特征函數展開法    3.3.4  具有非齊次邊界條件的定解問題    3.3.5  圓形薄膜對稱振動問題  3.4  波動方程定解問題探究    3.4.1  波動方程定解問題的齊次化原理    3.4.2  半無界弦的振動問題    3.4.3  矩形區(qū)域上波動方程的初邊值問題    3.4.4  圓形薄膜振動問題    3.4.5  高頻傳輸線中的電壓波動問題    3.4.6  非齊次邊界條件的齊次化  習題3第4章  熱傳導方程  4.1  一維初值問題    4.1.1  無限長桿上初值問題的傅里葉變換法    4.1.2  半無限長桿上初值問題的拉普拉斯變換法  4.2  一維初邊值問題    4.2.1  無熱源有限長桿上初邊值問題的分離變量法義    4.2.2  有熱源有限長桿上初邊值問題的特征函數展開法    4.2.3  具有非齊次邊界條件的熱傳導問題  4.3  高維初邊值問題    4.3.1  圓盤上軸對稱熱傳導問題    4.3.2  無限長圓柱上對稱熱傳導問題  4.4  熱傳導方程定解問題探究    4.4.1  熱傳導方程定解問題的齊次化原理    4.4.2  球上徑向對稱熱傳導方程的初邊值問題    4.4.3  有限長圓柱上軸對稱熱傳導問題  習題4第5章  拉普拉斯方程  5.1  二維拉普拉斯方程的邊值問題    5.1.1  矩形域上拉普拉斯方程的分離變量法    5.1.2  圓域上拉普拉斯方程的分離變量法    5.1.3  二維泊松方程的特征函數展開法    5.1.4  泊松方程的試探法    5.1.5  上半平面拉普拉斯方程的積分變換法  5.2  三維拉普拉斯方程的邊值問題    5.2.1  圓柱內穩(wěn)定溫度分布問題的分離變量法    5.2.2  球域內穩(wěn)定溫度分布問題的分離變量法  5.3  拉普拉斯方程的格林函數法    5.3.1  拉普拉斯方程的基本解    5.3.2  格林公式    5.3.3  調和函數的積分表示    5.3.4  調和函數的基本性質    5.3.5  格林函數    5.3.6  格林函數的基本性質    5.3.7  上半平面的格林函數    5.3.8  圓域上的格林函數  5.4  拉普拉斯方程定解問題探究    5.4.1  長方體上拉普拉斯方程的邊值問題    5.4.2  球域上拉普拉斯方程的狄利克雷外問題    5.4.3  上半空間的格林函數    5.4.4  球域中的格林函數  習題5第6章  偏微分方程常用數學工具  6.1  傅里葉分析    6.1.1  正交函數系與正交級數展開    6.1.2  傅里葉級數    6.1.3  傅里葉積分    6.1.4  傅里葉變換  6.2  拉普拉斯變換    6.2.1  拉普拉斯變換的定義    6.2.2  拉普拉斯變換的性質  6.3  常微分方程特征值問題    6.3.1  常見線性常微分方程    6.3.2  施圖姆-劉維爾特征值問題  6.4  貝塞爾方程與貝塞爾函數    6.4.1  貝塞爾方程的無窮級數解    6.4.2  貝塞爾函數的性質    6.4.3  傅里葉-貝塞爾級數  6.5  勒讓德方程與勒讓德多項式    6.5.1  勒讓德方程的無窮級數解    6.5.2  勒讓德多項式    6.5.3  勒讓德多項式的性質    6.5.4  傅里葉-勒讓德級數  習題6參考文獻附錄  兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類習題參考答案

編輯推薦

　　《應用偏微分方程》突出常微分方程和偏微分方程的自然聯系和銜接，充分利用已經掌握的數學工具討論偏微分方程定解問題的求解。注重自然現象和物理背景的數學描述，像彈性體的振動、電磁波的傳播、熱量的傳導、粒子的擴散、流體的運動、種群分析和存貨量分析等，從具體的自然現象出發(fā)建立各種偏微分方程及其定解條件，引導讀者熟練掌握用數學理論和工具描述各種物理現象的基本方法，為進一步學習其他專業(yè)課程奠定基礎。

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