微積分原理與嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)

前言

　　大家都知道，微積分是牛頓和萊布尼茨發(fā)明的，時(shí)間大約在17世紀(jì)六七十年代，微積分何時(shí)傳人中國的呢？這里我們介紹一份可供參考的資料：《商務(wù)印書館算學(xué)書目》（光緒三十四年，即1908年），在這份書目中列入了當(dāng)年出版的數(shù)學(xué)書44種，其中，算術(shù)筆算之部，14種；算術(shù)珠算之部，7種；代數(shù)之部，9種；幾何之部，9種；三角之部及微積，5種，在“三角之部及微積”之中，包括三角教科書4種，以及一本微積分的教科書，書名全稱為《最新高等學(xué)堂教科書，微積學(xué)》，定價(jià)一元六角，在這44種圖書中，屬于小學(xué)和中學(xué)的數(shù)學(xué)教材計(jì)43種，這表明一百年以前，我國已有相當(dāng)完備的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，另一方面，“微積學(xué)”僅僅一種，且附屬于“三角之部”，由此可見微積分這門學(xué)問這時(shí)剛剛被介紹到中國，遠(yuǎn)未普及，另外，楊振寧先生在一次演講中提到：“一百年前中國懂微積分的人只有幾個(gè)，現(xiàn)在學(xué)數(shù)學(xué)的大學(xué)生都懂，”（2009年4月19日在揚(yáng)州大學(xué)的演講）楊振寧之父楊武之先生1928年獲美國芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，同年回國任教于清華大學(xué)，對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)引入中國的情況非常熟悉，因此，楊振寧先生的說法是可信的，總之，大約一百余年以前，微積分開始傳人中國。

內(nèi)容概要

本書由兩部分組成，重點(diǎn)討論兩個(gè)課題，即微積分的基本原理和微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。    第一部分以函數(shù)的非均勻性兩種分類為視角，從研究對象、處理問題的方法、運(yùn)算之間的聯(lián)系和定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等不同側(cè)面，對導(dǎo)數(shù)與積分的內(nèi)涵和二者之間的互逆關(guān)系作了全面分析，并由此提煉出微積分的基本原理。    第二部分對微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)的三個(gè)組成部分(集論、ε-δ語言和實(shí)數(shù)理論)作了系統(tǒng)的討論，對ε-δ語言的實(shí)質(zhì)、確定實(shí)數(shù)系的公理化方法作了深入的評析。    本書可供學(xué)習(xí)微積分和數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)生和授課老師參考。

書籍目錄

第一部分  微積分原理  1  引言  2  函數(shù)、極限和連續(xù)性    2.1  函數(shù)    2.2  極限    2.3  連續(xù)性  3  微分學(xué)最基本的概念——導(dǎo)數(shù)    3.1  引出導(dǎo)數(shù)概念的問題    3.2  導(dǎo)數(shù)概念    3.3  關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算  4  微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用    4.1  拉格朗日中值定理    4.2  利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)  5  導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例  6  積分學(xué)最基本的概念——定積分    6.1  引出定積分概念的問題    6.2  定積分定義    6.3  定積分的幾何意義    6.4  關(guān)于面積公理  7  關(guān)于定積分定義的補(bǔ)充說明    7.1  定積分定義的各種表述    7.2  評注與建議  8  微積分基本定理    8.1  牛頓-萊布尼茨公式    8.2  廣義斯托克斯公式  9  定積分應(yīng)用舉例    9.1  幾何應(yīng)用    9.2  物理應(yīng)用    9.3  定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用    9.4  浦豐小針問題  10  微積分的基本原理    10.1  導(dǎo)數(shù)與積分的互逆關(guān)系    10.2  微積分的基本原理第二部分  微積分的嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)  11  引言  12  集論基礎(chǔ)    12.1  基本概念    12.2  集代數(shù)    12.3  點(diǎn)集拓?fù)? 13  無窮集    13.1  連續(xù)統(tǒng)假設(shè)    13.2  悖論    13.3  公理集論簡介  14  集論對于構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)的作用    14.1  集是各種不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基本框架    14.2  集論語言有助于精確刻畫數(shù)學(xué)概念    14.3  佐恩引理  15  關(guān)于鄰域?qū)?yīng)思想(ε-δ語言)    15.1  牛頓和萊布尼茨    15.2  對微積分基礎(chǔ)的質(zhì)疑    15.3  極限的ε-δ定義    15.4  ε-δ語言的實(shí)質(zhì)    15.5  鄰域?qū)?yīng)思想  16  建立實(shí)數(shù)系的幾種方案    16.1  從有理數(shù)系擴(kuò)張到實(shí)數(shù)系的方案    16.2  確定實(shí)數(shù)系的公理化方法    16.3  幾種方案的比較  17  阿基米德性質(zhì)實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)逼近    17.1  阿基米德性質(zhì)    17.2  實(shí)數(shù)的有限十進(jìn)小數(shù)逼近    17.3  實(shí)數(shù)的幾何表示  18  實(shí)數(shù)理論是微積分的邏輯基礎(chǔ)    18.1  怎樣證明根號2是無理數(shù)    18.2  關(guān)于函數(shù)的定義    18.3  關(guān)于連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)重要定理    18.4  實(shí)數(shù)系的完備性    18.5  關(guān)于緊性

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