數(shù)學(xué)分析

前言

　　數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)各專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，其重要性不言而喻。我們根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，在吸取一些現(xiàn)有教材優(yōu)點的基礎(chǔ)上編寫了本書?！　‖F(xiàn)有的各種數(shù)學(xué)分析教材都有其優(yōu)點和缺點。本書力求在可讀性、系統(tǒng)性和邏輯性上寫出特色，并將分層教學(xué)的理念灌注全書?！　∈紫?，在可讀性方面，對于重要概念，只給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習(xí)題中。例如，對數(shù)列極限，本書只引入了e-N定義，目的是希望學(xué)生能吃透這個概念；數(shù)列極限的另一個等價定義放在習(xí)題中，方便基礎(chǔ)較好的學(xué)生學(xué)習(xí)。對書中的例題，講解盡量詳細(xì)，方便學(xué)生自學(xué)。對定理盡量用樸素的方法證明，且對某些定理采取先用后證的方法講述。例如，在第7章，先給出區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這個結(jié)論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給出閉區(qū)間[a， 6]上的連續(xù)函數(shù)必定在[a，b]上可積這個結(jié)論，這樣可以使定積分的計算提前，然后在第8章后面再證明這兩個存在性定理?！　∑浯危谙到y(tǒng)性方面，將關(guān)系較密切的內(nèi)容放在一起。例如，將發(fā)散數(shù)列和子列的概念放在同一節(jié)，將判別數(shù)列收斂的各種方法放在同一節(jié)，將定積分的應(yīng)用與反常積分放在同一章，將各種情況下的Fourier級數(shù)和Fourier級數(shù)展開放在同一節(jié)，將第一型曲線積分、曲面積分和第二型曲線積分、曲面積分放在同一章，將各種積分之間的關(guān)系放在同一章等。另外，有理函數(shù)分解為部分分式的理論，國內(nèi)的數(shù)學(xué)分析教材幾乎都將其證明歸到高等代數(shù)課程中，而高等代數(shù)教材也不寫這部分內(nèi)容。為了彌補(bǔ)這一缺陷，在《數(shù)學(xué)分析（二）》的第7章中，將給出有理函數(shù)分解為部分分式理論的詳細(xì)證明，方便教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。

內(nèi)容概要

本書介紹了數(shù)學(xué)分析的基本概念、基本理論和方法，包括一元(多元)函數(shù)極限理論、一元函數(shù)微積分學(xué)、級數(shù)理論和多元函數(shù)微積分學(xué)等。本書在內(nèi)容的安排上深入淺出，講解清晰，系統(tǒng)性和邏輯性強(qiáng)。書中列舉了大量例題來說明數(shù)學(xué)分析的定義、定理及方法，并提供了豐富的思考題和習(xí)題，便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。每章末都有小結(jié)，對該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié)，并配有復(fù)習(xí)題，方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)。    本書可作為高等師范院校數(shù)學(xué)系各專業(yè)學(xué)生的教材，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和科技工作者參考。

書籍目錄

第13章  多元函數(shù)及其微分學(xué)  13.1  平面中的點集    13.1.1  二維Euclid空間R2    13.1.2  平面中的點集    13.1.3  點和點集之間的關(guān)系    13.1.4  開集與閉集  13.2  R2的完備性  13.3  二元函數(shù)的極限和連續(xù)性    13.3.1  二元函數(shù)和多元函數(shù)的概念    13.3.2  二元函數(shù)的重極限    13.3.3  二元函數(shù)的累次極限    13.3.4  二元函數(shù)的連續(xù)性    13.3.5  二元連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)  13.4  多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分    13.4.1  偏導(dǎo)數(shù)的概念    13.4.2  全微分的概念    13.4.3  可微的幾何意義和充分條件  13.5  復(fù)合函數(shù)的微分法    13.5.1  復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則    13.5.2  高階偏導(dǎo)數(shù)  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第14章  多元函數(shù)微分法的應(yīng)用  14.1  方向?qū)?shù)    14.1.1  方向?qū)?shù)的概念    14.1.2  方向?qū)?shù)的最大值和梯度  14.2  多元函數(shù)Taylor公式  14.3  多元函數(shù)的極值    14.3.1  多元函數(shù)極值的必要條件    14.3.2  多元函數(shù)極值的充分條件    14.3.3  多元函數(shù)的最值問題及其應(yīng)用  14.4  隱函數(shù)    14.4.1  隱函數(shù)的概念及其幾何意義    14.4.2  隱函數(shù)存在性定理    14.4.3  隱函數(shù)的求導(dǎo)法  14.5  隱函數(shù)組    14.5.1  兩個曲面所交曲線的參數(shù)化    14.5.2  反函數(shù)組及坐標(biāo)變換    14.5.3  隱函數(shù)組  14.6  幾何應(yīng)用    14.6.1  空間曲線的切線和法平面    14.6.2  曲面的切平面和法線  14.7  條件極值    14.7.1  條件極值的概念及幾何意義    14.7.2  Lagrange乘數(shù)法  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第15章  含參變量積分  15.1  含參變量正常積分及其分析性質(zhì)    15.1.1  含參變量正常積分    15.1.2  含參變量正常積分的分析性質(zhì)  15.2  含參變量反常積分及一致收斂判別法  15.3  含參變量反常積分的分析性質(zhì)  *15.4  含參變量反常積分的應(yīng)用    15.4.1  Poisson型積分的計算    15.4.2  Dirichlet型積分的計算    15.4.3  Euler型的參變量積分——Gamma函數(shù)    15.4.4  Beta函數(shù)    15.4.5  Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)之間的關(guān)系  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第16章  重積分  16.1  二重積分的概念    16.1.1  平面圖形的面積    16.1.2  二重積分的定義    16.1.3  二重積分的存在性    16.1.4  可積函數(shù)類    16.1.5  二重積分的性質(zhì)    16.1.6  例題  16.2  直角坐標(biāo)系下二重積分的計算    16.2.1  矩形區(qū)域上二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分    16.2.2  一般區(qū)域上二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分  16.3  二重積分的變量變換    16.3.1  二重積分的變量變換與面積微元    16.3.2  二重積分的變量變換公式    16.3.3  例題    16.3.4  在極坐標(biāo)系中計算二重積分  16.4  三重積分    16.4.1  三重積分的概念    16.4.2  化三重積分為累次積分(穿針法與切片法)    16.4.3  三重積分的變量變換法  16.5  重積分的應(yīng)用    16.5.1  曲面的面積    *16.5.2  重心    *16.5.3  萬有引力  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第17章  曲線積分和曲面積分  17.1  第一型曲線積分    17.1.1  第一型曲線積分的概念    17.1.2  第一型曲線積分的計算  17.2  第一型曲面積分    17.2.1  第一型曲面積分的概念    17.2.2  第一型曲面積分的計算  17.3  第二型曲線積分    17.3.1  第二型曲線積分的概念    17.3.2  第二型曲線積分的計算    *17.3.3  兩類曲線積分之間的關(guān)系  *17.4  第二型曲面積分    17.4.1  曲面的側(cè)的概念    17.4.2  第二型曲面積分的定義    17.4.3  第二型曲面積分的計算    17.4.4  第一型曲面積分與第二型曲面積分的關(guān)系  小結(jié)  復(fù)習(xí)題第18章  各種積分之間的關(guān)系  18.1  Green公式  18.2  GallSS公式  18.3  Stokes公式  18.4  曲線積分與路徑無關(guān)性    18.4.1  平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件    18.4.2  空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件  *18.5  場論    18.5.1  散度和旋度    18.5.2  Hamilton算子V    18.5.3  幾種常用的場  小結(jié)  復(fù)習(xí)題習(xí)題答案或提示參考文獻(xiàn)索引

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