數學分析

前言

　　數學分析是數學各專業(yè)的學科基礎課，其重要性不言而喻。我們根據多年的教學經驗，在吸取一些現有教材優(yōu)點的基礎上編寫了本書?！　‖F有的各種數學分析教材都有其優(yōu)點和缺點。本書力求在可讀性、系統(tǒng)性和邏輯性上寫出特色，并將分層教學的理念灌注全書?！　∈紫龋诳勺x性方面，對于重要概念，只給一種定義形式，其他的等價定義一般放在思考題或習題中。例如，對數列極限，本書只引入了e-N定義，目的是希望學生能吃透這個概念；數列極限的另一個等價定義放在習題中，方便基礎較好的學生學習。對書中的例題，講解盡量詳細，方便學生自學。對定理盡量用樸素的方法證明，且對某些定理采取先用后證的方法講述。例如，在第7章，先給出區(qū)間上的連續(xù)函數必定存在原函數這個結論，這樣就可以介紹求不定積分的各種方法；在第8章，先給出閉區(qū)間[a， 6]上的連續(xù)函數必定在[a，b]上可積這個結論，這樣可以使定積分的計算提前，然后在第8章后面再證明這兩個存在性定理?！　∑浯?，在系統(tǒng)性方面，將關系較密切的內容放在一起。例如，將發(fā)散數列和子列的概念放在同一節(jié)，將判別數列收斂的各種方法放在同一節(jié)，將定積分的應用與反常積分放在同一章，將各種情況下的Fourier級數和Fourier級數展開放在同一節(jié)，將第一型曲線積分、曲面積分和第二型曲線積分、曲面積分放在同一章，將各種積分之間的關系放在同一章等。另外，有理函數分解為部分分式的理論，國內的數學分析教材幾乎都將其證明歸到高等代數課程中，而高等代數教材也不寫這部分內容。為了彌補這一缺陷，在《數學分析（二）》的第7章中，將給出有理函數分解為部分分式理論的詳細證明，方便教師教學與學生自學。

內容概要

本書介紹了數學分析的基本概念、基本理論和方法，包括一元(多元)函數極限理論、一元函數微積分學、級數理論和多元函數微積分學等。本書在內容的安排上深入淺出，講解清晰，系統(tǒng)性和邏輯性強。書中列舉了大量例題來說明數學分析的定義、定理及方法，并提供了豐富的思考題和習題，便于教師教學與學生自學。每章末都有小結，對該章的主要內容作了歸納和總結，并配有復習題，方便學生系統(tǒng)復習。    本書可作為高等師范院校數學系各專業(yè)學生的教材，也可供相關專業(yè)的教師和科技工作者參考。

書籍目錄

第13章  多元函數及其微分學  13.1  平面中的點集    13.1.1  二維Euclid空間R2    13.1.2  平面中的點集    13.1.3  點和點集之間的關系    13.1.4  開集與閉集  13.2  R2的完備性  13.3  二元函數的極限和連續(xù)性    13.3.1  二元函數和多元函數的概念    13.3.2  二元函數的重極限    13.3.3  二元函數的累次極限    13.3.4  二元函數的連續(xù)性    13.3.5  二元連續(xù)函數的整體性質  13.4  多元函數的偏導數和全微分    13.4.1  偏導數的概念    13.4.2  全微分的概念    13.4.3  可微的幾何意義和充分條件  13.5  復合函數的微分法    13.5.1  復合函數的求導法則    13.5.2  高階偏導數  小結  復習題第14章  多元函數微分法的應用  14.1  方向導數    14.1.1  方向導數的概念    14.1.2  方向導數的最大值和梯度  14.2  多元函數Taylor公式  14.3  多元函數的極值    14.3.1  多元函數極值的必要條件    14.3.2  多元函數極值的充分條件    14.3.3  多元函數的最值問題及其應用  14.4  隱函數    14.4.1  隱函數的概念及其幾何意義    14.4.2  隱函數存在性定理    14.4.3  隱函數的求導法  14.5  隱函數組    14.5.1  兩個曲面所交曲線的參數化    14.5.2  反函數組及坐標變換    14.5.3  隱函數組  14.6  幾何應用    14.6.1  空間曲線的切線和法平面    14.6.2  曲面的切平面和法線  14.7  條件極值    14.7.1  條件極值的概念及幾何意義    14.7.2  Lagrange乘數法  小結  復習題第15章  含參變量積分  15.1  含參變量正常積分及其分析性質    15.1.1  含參變量正常積分    15.1.2  含參變量正常積分的分析性質  15.2  含參變量反常積分及一致收斂判別法  15.3  含參變量反常積分的分析性質  *15.4  含參變量反常積分的應用    15.4.1  Poisson型積分的計算    15.4.2  Dirichlet型積分的計算    15.4.3  Euler型的參變量積分——Gamma函數    15.4.4  Beta函數    15.4.5  Gamma函數和Beta函數之間的關系  小結  復習題第16章  重積分  16.1  二重積分的概念    16.1.1  平面圖形的面積    16.1.2  二重積分的定義    16.1.3  二重積分的存在性    16.1.4  可積函數類    16.1.5  二重積分的性質    16.1.6  例題  16.2  直角坐標系下二重積分的計算    16.2.1  矩形區(qū)域上二重積分轉化為累次積分    16.2.2  一般區(qū)域上二重積分轉化為累次積分  16.3  二重積分的變量變換    16.3.1  二重積分的變量變換與面積微元    16.3.2  二重積分的變量變換公式    16.3.3  例題    16.3.4  在極坐標系中計算二重積分  16.4  三重積分    16.4.1  三重積分的概念    16.4.2  化三重積分為累次積分(穿針法與切片法)    16.4.3  三重積分的變量變換法  16.5  重積分的應用    16.5.1  曲面的面積    *16.5.2  重心    *16.5.3  萬有引力  小結  復習題第17章  曲線積分和曲面積分  17.1  第一型曲線積分    17.1.1  第一型曲線積分的概念    17.1.2  第一型曲線積分的計算  17.2  第一型曲面積分    17.2.1  第一型曲面積分的概念    17.2.2  第一型曲面積分的計算  17.3  第二型曲線積分    17.3.1  第二型曲線積分的概念    17.3.2  第二型曲線積分的計算    *17.3.3  兩類曲線積分之間的關系  *17.4  第二型曲面積分    17.4.1  曲面的側的概念    17.4.2  第二型曲面積分的定義    17.4.3  第二型曲面積分的計算    17.4.4  第一型曲面積分與第二型曲面積分的關系  小結  復習題第18章  各種積分之間的關系  18.1  Green公式  18.2  GallSS公式  18.3  Stokes公式  18.4  曲線積分與路徑無關性    18.4.1  平面曲線積分與路徑無關的條件    18.4.2  空間曲線積分與路徑無關的條件  *18.5  場論    18.5.1  散度和旋度    18.5.2  Hamilton算子V    18.5.3  幾種常用的場  小結  復習題習題答案或提示參考文獻索引

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