實(shí)函數(shù)論

前言

著者從1924年到1926年，在“國立武昌大學(xué)”（當(dāng)時武昌高師改名為武昌大學(xué)，乃是武漢大學(xué)的前身），講授實(shí)變數(shù)函數(shù)論，此時所編的講義，實(shí)際上是本書最初的底稿，1929年而后，此稿屢有修改增刪，稱“實(shí)函數(shù)論”以授浙大學(xué)子，解放之后，改文言為語體，滲入蘇聯(lián)教材，1952年著者調(diào)到復(fù)旦，講實(shí)函數(shù)論，聽講人數(shù)劇增，四五年來，教學(xué)相長，有所提高，遂將此稿問世，第1章談?wù)劶囊话愀拍?，通過序數(shù)的理論，在“選取公理”的假設(shè)下，闡明任何兩集之勢，孰大孰小，是可以相比的，在這個基礎(chǔ)上，我們在第2章的開端，就設(shè)置著整數(shù)的公理系統(tǒng)，建設(shè)了整數(shù)之間的四則算法，并且導(dǎo)出一系列的重要事項(xiàng)，由是引入有理數(shù)的理論，有理數(shù)的性質(zhì)既明，乃能以（有理數(shù)的）基本數(shù)列定義實(shí)數(shù)，定義了兩數(shù)孰大孰小的關(guān)系，敷衍出實(shí)數(shù)的四則算法，這樣就形成了梅雷和康托的無理數(shù)論，然后用一般進(jìn)位法（包含十進(jìn)位法）將一切實(shí)數(shù)記出；檢查數(shù)的記號，通過叫“數(shù)”的理論，遂能區(qū)別實(shí)數(shù)之孰為有理孰為無理；順便奠定了實(shí)數(shù)的乘冪和對數(shù)的基礎(chǔ)，另一方面，我們也用戴德金的（有理數(shù)體的）分割來定義實(shí)數(shù)，作出兩個分割的孰大孰小的規(guī)約以決定實(shí)數(shù)的自然順序，并且定義了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，最后將此實(shí)數(shù)論與上述的理論統(tǒng)一，讀者庶幾明白兩種理論是一而二二而一真的。

內(nèi)容概要

從集的概念談起，通過實(shí)數(shù)和點(diǎn)集的理論，評論實(shí)函數(shù)的連續(xù)性、可微分性。導(dǎo)入黎曼積分、勒貝格積分的概念和基本性質(zhì)及有關(guān)這些積分的運(yùn)算工具。以此為基礎(chǔ)，研討了直交函數(shù)級數(shù)的性質(zhì)，這也就是理論到實(shí)踐的一種示范。最后一章是線性泛函分析，概括了很多的具體事實(shí)。

書籍目錄

序第1章  集的一般概念  1.集  2.映照  3.有限集和無限集  4.可列集與不可列集  5.計(jì)數(shù)的拓廣  6.No和N  7.勢的比較  8.有序集序相  9.良序集  10.超限數(shù)超限歸納法  11.序數(shù)之勢  12.選取公理與勢的比較  13：集的概念與數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)  習(xí)題第2章  實(shí)數(shù)  1.整數(shù)的公理  2.整數(shù)的四則運(yùn)算  3.有理數(shù)  4.無理數(shù)論  5.實(shí)數(shù)的表示法  6.乘冪方根對數(shù)  7.戴德金的無理數(shù)論  8.兩種實(shí)數(shù)論的統(tǒng)一  習(xí)題第3章  點(diǎn)集  1.有度的空間  2.開和閉  3.點(diǎn)集的包、點(diǎn)集的核、點(diǎn)集的境界  4.點(diǎn)集與其導(dǎo)集稠密與疏朗  5.聯(lián)絡(luò)點(diǎn)集  6.掩蓋定理  7.一直線上的閉集  8.平面上的閉集  習(xí)題第4章  實(shí)函數(shù)的連續(xù)性  1.實(shí)函數(shù)  2.函數(shù)之連續(xù)點(diǎn)  3.連續(xù)函數(shù)  4.連續(xù)映照  5.半連續(xù)點(diǎn)  6.半連續(xù)函數(shù)  7.不連續(xù)點(diǎn)  8.一個或兩個實(shí)變數(shù)的函數(shù)  習(xí)題第5章  連續(xù)函數(shù)列的極限  1.貝爾的函數(shù)  2.波雷爾的點(diǎn)集  3.波雷爾點(diǎn)集與貝爾函數(shù)  4.通用的連續(xù)函數(shù)列  5.存在定理  習(xí)題第6章  微分  1.導(dǎo)數(shù)  2.中值定理及其應(yīng)用  3.高次導(dǎo)數(shù)  4.單調(diào)函數(shù)  5.有界變差之函數(shù)  6.導(dǎo)數(shù)的一般性質(zhì)  7.連續(xù)函數(shù)與微分  8.偏微分  習(xí)題第7章  點(diǎn)集的測度  1.測度問題  2.勒貝格測度  3.可測點(diǎn)集之和集與通集  4.不可測的有界點(diǎn)集  5.點(diǎn)集的密度  6.測度的掩蓋定理  7.高度空間中之點(diǎn)集  8.可測函數(shù)  習(xí)題第8章  積分  第一部分  黎曼積分  1.有限區(qū)間上的函數(shù)  2.平面曲線  3.黎曼一斯蒂爾切斯積分  4.高度空間中之黎曼積分  5.區(qū)間函數(shù)  第一部分的習(xí)題  第二部分勒貝格積分  6.勒貝格積分  7.區(qū)間上的勒貝格積分  8.階梯函數(shù)  9.積分函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)  10.幾個實(shí)變數(shù)的函數(shù)  11.勒貝格積分在復(fù)變函數(shù)論上之一應(yīng)用  12.含有勒貝格積分的種種基本解析工具、分離積分法  13.佩龍積分  第二部分的習(xí)題第9章  直交函數(shù)級數(shù)  1.三角級數(shù)是一直交函數(shù)級數(shù)  2.黎曼一勒貝格的定理及其應(yīng)用  3.三角級數(shù)的絕對收斂  4.用算術(shù)平均法求級數(shù)的和  5.三角級數(shù)的實(shí)質(zhì)收斂  6.直交函數(shù)級數(shù)的實(shí)質(zhì)收斂：  7.變更收斂級數(shù)之項(xiàng)的順序  8.從權(quán)產(chǎn)生的直交多項(xiàng)式系  9.有界變差函數(shù)之傅里葉級數(shù)的絕對收斂  10.連續(xù)函數(shù)的收斂指數(shù)  習(xí)題第10章  線性泛函數(shù)  1.函數(shù)族L2（e）  2.函數(shù)族Lp（e），p≥1  3.連續(xù)函數(shù)族上的線性泛函數(shù)  4.完備空間的收縮映照  5.連續(xù)函數(shù)族的致密性  6.有度空間中的實(shí)函數(shù)和曲線  7.一般的線性泛函數(shù)  8.元素序列的弱性收斂（弱斂）與泛函數(shù)序列的弱（性收）斂  9.線性運(yùn)算子  10.廣義函數(shù)  11.線性運(yùn)算方程

章節(jié)摘錄

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