平面向量場的若干經(jīng)典問題

前言

　　眾所周知，由Poincare和Lyapunov在19世紀(jì)末創(chuàng)立的微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論是20世紀(jì)動(dòng)力系統(tǒng)理論的兩個(gè)重要分支。當(dāng)今作為非線性科學(xué)的基礎(chǔ)理論的一個(gè)范疇，仍然是21世紀(jì)非常活躍的研究領(lǐng)域。　　本書名為“平面向量場的若干經(jīng)典問題”。什么是“經(jīng)典問題”呢？2008年11月23日至28日，來自世界各地的數(shù)學(xué)家在加拿大Baff國際會(huì)議中心參加名為“Classical Problems on：Planar：Polynomial Vector Fields（平面多項(xiàng)式向量場的經(jīng)典問題）”的國際會(huì)議。主要涉及以下4個(gè)議題：（1）平面多項(xiàng)式向量場的可積性問題；（2）Pioncar6提出的實(shí)平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的中心問題；（3）某些特殊類型的平面多項(xiàng)式向量場的大范圍幾何問題；（4）Hilbert的第16個(gè)問題。上述問題的存在已超過100年，但迄今仍無完全解決的希望，成為經(jīng)典問題?！　槭裁次覀円芯科矫嫦蛄繄?？一個(gè)原因是其應(yīng)用非常廣泛。平面微分系統(tǒng)的模型常常出現(xiàn)在生化反應(yīng)、種群動(dòng)力學(xué)、流行病學(xué)及其他應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域。特別，數(shù)學(xué)物理中大量存在的孤立子解的非線性發(fā)展方程的行波系統(tǒng)就是平面常微分系統(tǒng)。另一個(gè)原因是，對平面向量場本身作純粹的數(shù)學(xué)研究在理論上有重要意義。我們引用加拿大數(shù)學(xué)家Dana Schlomiuk的話來說明這個(gè)事實(shí)：“定義于射影空間中的平面多項(xiàng)式向量場，或一般地，代數(shù)微分方程，其自身就是一個(gè)重要的研究對象。事實(shí)上，由于系統(tǒng)自身的解析的、代數(shù)的和幾何的性質(zhì)，它們構(gòu)成可用多種方法加工的肥沃的土壤。并且，解決該領(lǐng)域所提出的問題是否成功，很大程度上取決于人們綜合應(yīng)用這些重要性質(zhì)的能力?！薄　∵@里必須強(qiáng)調(diào)的是，對于平面向量場的相關(guān)問題，已經(jīng)出版了許多教科書和專著，各種巧妙的工具和基本的理論早已建立。目前，該領(lǐng)域的研究仍在發(fā)展，其應(yīng)用更為廣泛。本書擬介紹近年的某些研究進(jìn)展，著重于作者的工作。主要討論中心和等時(shí)中心問題、多重Hopf分支和等變平面向量場的局部和大范圍極限環(huán)分支。這些問題和Hilbert第16個(gè)問題密切相關(guān)?！　榱俗尦鯇W(xué)者更好地理解本書的內(nèi)容，我們首先簡要地介紹一下本書的研究內(nèi)容和基本的歷史。

內(nèi)容概要

本書介紹平面動(dòng)力系統(tǒng)定性理論有意義的研究進(jìn)展。內(nèi)容包括中心和等時(shí)中心問題、多重Hopf分支、平面等變向量場的局部和全局分支。這和Hilben的第16個(gè)問題直接相關(guān)。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的教材或教師的教學(xué)參考書，也可供相關(guān)專業(yè)的科研人員和工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

前言第1章  基本概念與初等奇點(diǎn)鄰域的線性化問題  1.1  基本概念與非奇異變換  1.2  Weierstrass多項(xiàng)式的結(jié)式與高次奇點(diǎn)的重次  1.3  多項(xiàng)式系統(tǒng)的簡單積分及其應(yīng)用  1.4  Cauchy長函數(shù)法與常點(diǎn)鄰域的解析性質(zhì)  1.5  復(fù)域中初等奇點(diǎn)的分類與線性化  1.6  結(jié)點(diǎn)量與倍比結(jié)點(diǎn)的線性化問題  1.7  退化結(jié)點(diǎn)的線性化問題  1.8  細(xì)臨界型奇點(diǎn)鄰域的可積性與線性化問題  1.9  共振型奇點(diǎn)鄰域的可積性與線性化問題第2章  焦點(diǎn)量、奇點(diǎn)量與廣義奇點(diǎn)量  2.1  后繼函數(shù)與焦點(diǎn)量的若干性質(zhì)  2.2  Poincare形式級(jí)數(shù)與代數(shù)等價(jià)  2.3  計(jì)算奇點(diǎn)量的線性遞推公式  2.4  特殊情況下復(fù)中心的首次積分和積分因子  2.5  奇點(diǎn)量的代數(shù)結(jié)構(gòu)  2.6  三次系統(tǒng)的基本旋轉(zhuǎn)不變量  2.7  計(jì)算廣義奇點(diǎn)量的線性遞推公式  2.8  特殊情況下廣義復(fù)中心的首次積分和積分因子  2.9  廣義奇點(diǎn)量的代數(shù)結(jié)構(gòu)  2.10  二次系統(tǒng)和缺二次項(xiàng)的三次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量    2.10.1  二次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量與可積性條件    2.10.2  缺二次項(xiàng)三次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量與可積性條件    2.10.3  二次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量的推導(dǎo)和化簡    2.10.4  一類三次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量的推導(dǎo)和化簡第3章  周期常數(shù)與等時(shí)中心  3.1  復(fù)中心與復(fù)等時(shí)中心  3.2  計(jì)算周期常數(shù)的線性遞推公式  3.3  等時(shí)中心與時(shí)角差  3.4  一類三次對稱系統(tǒng)的時(shí)角差函數(shù)第4章  由高階細(xì)焦點(diǎn)和中心點(diǎn)產(chǎn)生的極限環(huán)分支  4.1  小參數(shù)擾動(dòng)下后繼函數(shù)的零點(diǎn)  4.2  單參數(shù)擾動(dòng)下的焦點(diǎn)量與解析等價(jià)  4.3  擬后繼函數(shù)  4.4  一類二次系統(tǒng)的分支第5章  一類無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心焦點(diǎn)理論與極限環(huán)分支  5.1  無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的后繼函數(shù)與焦點(diǎn)量  5.2  化無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為有限遠(yuǎn)初等焦點(diǎn)  5.3  無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的形式級(jí)數(shù)，積分因子與奇點(diǎn)量  5.4  無窮遠(yuǎn)點(diǎn)奇點(diǎn)量的代數(shù)結(jié)構(gòu)  5.5  一類三次系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)奇點(diǎn)量與可積性條件  5.6  一類無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限環(huán)分支第6章  一類高次奇點(diǎn)的中心焦點(diǎn)理論與極限環(huán)分支  6.1  一類高次奇點(diǎn)的后繼函數(shù)與焦點(diǎn)量  6.2  問題的轉(zhuǎn)化  6.3  一類高次奇點(diǎn)的形式級(jí)數(shù)，積分因子與奇點(diǎn)量  6.4  高次奇點(diǎn)的奇點(diǎn)量的代數(shù)結(jié)構(gòu)  6.5  高次奇點(diǎn)的極限環(huán)分支  6.6  一類四次系統(tǒng)高次奇點(diǎn)的極限環(huán)分支第7章  擬解析系統(tǒng)的焦點(diǎn)量、周期常數(shù)與極限環(huán)分支  7.1  關(guān)于擬解析系統(tǒng)  7.2  化擬解析系統(tǒng)為解析系統(tǒng)  7.3  擬解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)量和周期常數(shù)  7.4  擬解析系統(tǒng)的中心積分和積分因子  7.5  擬解析系統(tǒng)的極限環(huán)分支  7.6  擬二次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量和可積性條件  7.7  擬二次系統(tǒng)的極限環(huán)分支  7.8  擬二次系統(tǒng)的等時(shí)中心  7.9  一類擬三次系統(tǒng)的奇點(diǎn)量與可積性條件  7.10  一類擬三次系統(tǒng)的極限環(huán)分支第8章  冪零奇點(diǎn)的中心焦點(diǎn)判定與極限環(huán)分支  8.1  關(guān)于冪零奇點(diǎn)的中心焦點(diǎn)判定  8.2  三次冪零奇點(diǎn)的焦點(diǎn)量與后繼函數(shù)  8.3  三次冪零奇點(diǎn)的極限環(huán)分支  8.4  3次冪零奇點(diǎn)的分類、中心積分與逆積分因子  8.5  3次奇點(diǎn)的Lyapunov常數(shù)  8.6  定理8.5.2的證明  8.7  擬Lyapunov常數(shù)的計(jì)算  8.8  一類三次系統(tǒng)的擬Lyapunov常數(shù)與極限環(huán)分支第9章  Zq等變系統(tǒng)的極限環(huán)分支和Hilbert數(shù)H(n)的增長率  9.1  等變動(dòng)力系統(tǒng)和Zq等變向量場  9.2  Zq等變擾動(dòng)Hamilton向量場的判定函數(shù)法  9.3  擾動(dòng)的Zq等變系統(tǒng)的極限環(huán)分支  9.4   Hilbert數(shù)H(n)關(guān)于n的增長率    9.4.1  幾個(gè)基本引理    9.4.2  Christopher和Lloyd得到的H(2k-1)錯(cuò)誤下界的糾正    9.4.3  H(2k-1)的新下界    9.4.4  H(3×2k-1)的下界第10章  三次Z2等變系統(tǒng)的焦點(diǎn)量和極限環(huán)分支  10.1  一類E3Z2系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式  10.2  兩個(gè)細(xì)焦點(diǎn)的Lyapunov常數(shù)和可積性條件  10.3  兩個(gè)6階細(xì)焦點(diǎn)的極限環(huán)分支  10.4  一類具有13個(gè)極限環(huán)的E3Z2系統(tǒng)  10.5  引理10.4.1與定理10.4.1的證明  10.6  引理10.4.2與引理10.43的證明  10.7  附錄參考文獻(xiàn)

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