平面向量場的若干經(jīng)典問題

前言

　　眾所周知，由Poincare和Lyapunov在19世紀末創(chuàng)立的微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論是20世紀動力系統(tǒng)理論的兩個重要分支。當今作為非線性科學的基礎理論的一個范疇，仍然是21世紀非?；钴S的研究領域?！　”緯麨椤捌矫嫦蛄繄龅娜舾山?jīng)典問題”。什么是“經(jīng)典問題”呢？2008年11月23日至28日，來自世界各地的數(shù)學家在加拿大Baff國際會議中心參加名為“Classical Problems on：Planar：Polynomial Vector Fields（平面多項式向量場的經(jīng)典問題）”的國際會議。主要涉及以下4個議題：（1）平面多項式向量場的可積性問題；（2）Pioncar6提出的實平面多項式微分系統(tǒng)的中心問題；（3）某些特殊類型的平面多項式向量場的大范圍幾何問題；（4）Hilbert的第16個問題。上述問題的存在已超過100年，但迄今仍無完全解決的希望，成為經(jīng)典問題。　　為什么我們要研究平面向量場？一個原因是其應用非常廣泛。平面微分系統(tǒng)的模型常常出現(xiàn)在生化反應、種群動力學、流行病學及其他應用數(shù)學和力學領域。特別，數(shù)學物理中大量存在的孤立子解的非線性發(fā)展方程的行波系統(tǒng)就是平面常微分系統(tǒng)。另一個原因是，對平面向量場本身作純粹的數(shù)學研究在理論上有重要意義。我們引用加拿大數(shù)學家Dana Schlomiuk的話來說明這個事實：“定義于射影空間中的平面多項式向量場，或一般地，代數(shù)微分方程，其自身就是一個重要的研究對象。事實上，由于系統(tǒng)自身的解析的、代數(shù)的和幾何的性質(zhì)，它們構成可用多種方法加工的肥沃的土壤。并且，解決該領域所提出的問題是否成功，很大程度上取決于人們綜合應用這些重要性質(zhì)的能力?！薄　∵@里必須強調(diào)的是，對于平面向量場的相關問題，已經(jīng)出版了許多教科書和專著，各種巧妙的工具和基本的理論早已建立。目前，該領域的研究仍在發(fā)展，其應用更為廣泛。本書擬介紹近年的某些研究進展，著重于作者的工作。主要討論中心和等時中心問題、多重Hopf分支和等變平面向量場的局部和大范圍極限環(huán)分支。這些問題和Hilbert第16個問題密切相關?！　榱俗尦鯇W者更好地理解本書的內(nèi)容，我們首先簡要地介紹一下本書的研究內(nèi)容和基本的歷史。

內(nèi)容概要

本書介紹平面動力系統(tǒng)定性理論有意義的研究進展。內(nèi)容包括中心和等時中心問題、多重Hopf分支、平面等變向量場的局部和全局分支。這和Hilben的第16個問題直接相關。    本書可作為高等院校數(shù)學專業(yè)研究生的教材或教師的教學參考書，也可供相關專業(yè)的科研人員和工程技術人員參考。

書籍目錄

前言第1章  基本概念與初等奇點鄰域的線性化問題  1.1  基本概念與非奇異變換  1.2  Weierstrass多項式的結式與高次奇點的重次  1.3  多項式系統(tǒng)的簡單積分及其應用  1.4  Cauchy長函數(shù)法與常點鄰域的解析性質(zhì)  1.5  復域中初等奇點的分類與線性化  1.6  結點量與倍比結點的線性化問題  1.7  退化結點的線性化問題  1.8  細臨界型奇點鄰域的可積性與線性化問題  1.9  共振型奇點鄰域的可積性與線性化問題第2章  焦點量、奇點量與廣義奇點量  2.1  后繼函數(shù)與焦點量的若干性質(zhì)  2.2  Poincare形式級數(shù)與代數(shù)等價  2.3  計算奇點量的線性遞推公式  2.4  特殊情況下復中心的首次積分和積分因子  2.5  奇點量的代數(shù)結構  2.6  三次系統(tǒng)的基本旋轉(zhuǎn)不變量  2.7  計算廣義奇點量的線性遞推公式  2.8  特殊情況下廣義復中心的首次積分和積分因子  2.9  廣義奇點量的代數(shù)結構  2.10  二次系統(tǒng)和缺二次項的三次系統(tǒng)的奇點量    2.10.1  二次系統(tǒng)的奇點量與可積性條件    2.10.2  缺二次項三次系統(tǒng)的奇點量與可積性條件    2.10.3  二次系統(tǒng)的奇點量的推導和化簡    2.10.4  一類三次系統(tǒng)的奇點量的推導和化簡第3章  周期常數(shù)與等時中心  3.1  復中心與復等時中心  3.2  計算周期常數(shù)的線性遞推公式  3.3  等時中心與時角差  3.4  一類三次對稱系統(tǒng)的時角差函數(shù)第4章  由高階細焦點和中心點產(chǎn)生的極限環(huán)分支  4.1  小參數(shù)擾動下后繼函數(shù)的零點  4.2  單參數(shù)擾動下的焦點量與解析等價  4.3  擬后繼函數(shù)  4.4  一類二次系統(tǒng)的分支第5章  一類無窮遠點的中心焦點理論與極限環(huán)分支  5.1  無窮遠點的后繼函數(shù)與焦點量  5.2  化無窮遠點為有限遠初等焦點  5.3  無窮遠點的形式級數(shù)，積分因子與奇點量  5.4  無窮遠點奇點量的代數(shù)結構  5.5  一類三次系統(tǒng)無窮遠點奇點量與可積性條件  5.6  一類無窮遠點的極限環(huán)分支第6章  一類高次奇點的中心焦點理論與極限環(huán)分支  6.1  一類高次奇點的后繼函數(shù)與焦點量  6.2  問題的轉(zhuǎn)化  6.3  一類高次奇點的形式級數(shù)，積分因子與奇點量  6.4  高次奇點的奇點量的代數(shù)結構  6.5  高次奇點的極限環(huán)分支  6.6  一類四次系統(tǒng)高次奇點的極限環(huán)分支第7章  擬解析系統(tǒng)的焦點量、周期常數(shù)與極限環(huán)分支  7.1  關于擬解析系統(tǒng)  7.2  化擬解析系統(tǒng)為解析系統(tǒng)  7.3  擬解析系統(tǒng)的奇點量和周期常數(shù)  7.4  擬解析系統(tǒng)的中心積分和積分因子  7.5  擬解析系統(tǒng)的極限環(huán)分支  7.6  擬二次系統(tǒng)的奇點量和可積性條件  7.7  擬二次系統(tǒng)的極限環(huán)分支  7.8  擬二次系統(tǒng)的等時中心  7.9  一類擬三次系統(tǒng)的奇點量與可積性條件  7.10  一類擬三次系統(tǒng)的極限環(huán)分支第8章  冪零奇點的中心焦點判定與極限環(huán)分支  8.1  關于冪零奇點的中心焦點判定  8.2  三次冪零奇點的焦點量與后繼函數(shù)  8.3  三次冪零奇點的極限環(huán)分支  8.4  3次冪零奇點的分類、中心積分與逆積分因子  8.5  3次奇點的Lyapunov常數(shù)  8.6  定理8.5.2的證明  8.7  擬Lyapunov常數(shù)的計算  8.8  一類三次系統(tǒng)的擬Lyapunov常數(shù)與極限環(huán)分支第9章  Zq等變系統(tǒng)的極限環(huán)分支和Hilbert數(shù)H(n)的增長率  9.1  等變動力系統(tǒng)和Zq等變向量場  9.2  Zq等變擾動Hamilton向量場的判定函數(shù)法  9.3  擾動的Zq等變系統(tǒng)的極限環(huán)分支  9.4   Hilbert數(shù)H(n)關于n的增長率    9.4.1  幾個基本引理    9.4.2  Christopher和Lloyd得到的H(2k-1)錯誤下界的糾正    9.4.3  H(2k-1)的新下界    9.4.4  H(3×2k-1)的下界第10章  三次Z2等變系統(tǒng)的焦點量和極限環(huán)分支  10.1  一類E3Z2系統(tǒng)的標準形式  10.2  兩個細焦點的Lyapunov常數(shù)和可積性條件  10.3  兩個6階細焦點的極限環(huán)分支  10.4  一類具有13個極限環(huán)的E3Z2系統(tǒng)  10.5  引理10.4.1與定理10.4.1的證明  10.6  引理10.4.2與引理10.43的證明  10.7  附錄參考文獻

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