非線性橢圓型方程

前言

　　對(duì)于數(shù)學(xué)研究與培養(yǎng)青年數(shù)學(xué)人才而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用，許多成就卓越的數(shù)學(xué)家在青年時(shí)代都曾鉆研或參考過一些優(yōu)秀書籍，從中汲取營(yíng)養(yǎng)，獲得教益?！　?0世紀(jì)70年代后期，我國(guó)的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)書刊的出版由于“文化大革命”的浩劫已經(jīng)被破壞與中斷了10余年，而在這期間國(guó)際上數(shù)學(xué)研究卻在迅猛地發(fā)展著。1978年以后，我國(guó)青年學(xué)子重新獲得了學(xué)習(xí)、鉆研與深造的機(jī)會(huì)。當(dāng)時(shí)他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據(jù)此，科學(xué)出版社陸續(xù)推出了多套數(shù)學(xué)叢書，其中《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專著》叢書與《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》更為突出，前者出版約40卷，后者則逾80卷。它們質(zhì)量甚高，影響頗大，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)研究、交流與人才培養(yǎng)發(fā)揮了顯著效用?！　　冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》的宗旨是面向大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)學(xué)生、研究生以及青年學(xué)者，針對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域與研究方向，作較系統(tǒng)的介紹，既注意該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，又反映其新發(fā)展，力求深入淺出，簡(jiǎn)明扼要，注重創(chuàng)新，　　近年來，數(shù)學(xué)在各門科學(xué)、高新技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等方面取得了更加廣泛與深入的應(yīng)用，還形成了一些交叉學(xué)科，我們希望這套叢書的內(nèi)容由基礎(chǔ)數(shù)學(xué)拓展到應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)交叉學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)地介紹了二階線性橢圓算子的特征值理論，半線性橢圓型方程和方程組的上下解方法及其應(yīng)用，拓?fù)涠壤碚摵头种Ю碚摷捌鋺?yīng)用，方程組的解耦方法，Nehari流形方法及其應(yīng)用，p—Laplace算子的特征值理論和p—Laplace方程(組)的上下解方法及其應(yīng)用。    本書選題先進(jìn)、內(nèi)容新穎豐富，大部分內(nèi)容取自同行近幾年發(fā)表的論文。盡可能地做到了自封、系統(tǒng)、循序漸進(jìn)，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)理論的同時(shí)，注重具體應(yīng)用。本書深入淺出，文字通俗易懂，并配有適量難易兼顧的習(xí)題，學(xué)完本書，讀者就可以直接進(jìn)入相關(guān)研究領(lǐng)域，開展研究工作。    本書可作為微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)、泛函分析、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論與相關(guān)理工科方向研究生的教材和教學(xué)參考書，也可作為數(shù)學(xué)、工程等領(lǐng)域的青年教師和科研人員的參考書。

書籍目錄

前言 第1章 預(yù)備知識(shí)   1.1 Banach空間上的微分學(xué)   1.2 無條件局部極值   1.3 應(yīng)用   習(xí)題1 第2章 二階線性橢圓算子的特征值問題   2.1 引言   2.2 主特征值及其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)   2.3 主特征值、最大值原理與正的嚴(yán)格上解之間的關(guān)系   2.4 散度型二階線性橢圓算子的特征值   2.5 非完全耦合的二階線性橢圓型方程組的特征值問題   2.6 另一類特征值問題   2.7 特征值的完備性定理的應(yīng)用   習(xí)題2 第3章 上下解方法   3.1 完全非線性方程古典解的比較原理   3.2 一個(gè)一般形式的比較原理和正解的唯一性   3.3 方程式的上下解方法   3.4 應(yīng)用I——幾個(gè)例子   3.5 應(yīng)用II——非退化的Logistic方程   3.6 應(yīng)用III——退化的Logistic方程   3.7 弱耦合方程組的上下解方法   3.8 弱耦合方程組的例子   3.9 強(qiáng)耦合方程組的上下解方法   3.10 弱上下解方法   3.11 無界區(qū)域上的上下解方法   習(xí)題3 第4章 拓?fù)涠群头种Ю碚?  4.1 有限維空間上的拓?fù)涠?Brouwer度)   4.2 Banach空間上的拓?fù)涠?Leray-Schauder度)   4.3 隱函數(shù)定理   4.4 孤立解處的度——不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)   4.5 分支理論   4.6 穩(wěn)定性   4.7 橢圓型方程組解的穩(wěn)定性與不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)的關(guān)系   4.8 應(yīng)用   4.9 錐上的拓?fù)涠壤碚?  習(xí)題4 第5章 方程組的齊次Dirichtet邊值問題   5.1 一個(gè)帶有修正的Holling II型響應(yīng)函數(shù)的捕食模型   5.2 一個(gè)帶有HollingII型響應(yīng)函數(shù)的捕食模型   習(xí)題5 第6章 方程組的齊次Neumann邊值問題   6.1 常數(shù)解處的指數(shù)計(jì)算   6.2 一個(gè)具有約定機(jī)制的三種群模型   6.3 一個(gè)具有年齡結(jié)構(gòu)和交錯(cuò)擴(kuò)散的捕食模型   習(xí)題6 第7章 解耦方法   7.1 最大值原理與上下解方法   7.2 變分方法   習(xí)題7 第8章 Nehari流形及其應(yīng)用   8.1 Nehari流形   8.2 應(yīng)用   習(xí)題8 第9章 p-Laplace方程   9.1 解的正則性、強(qiáng)最大值原理與Harnack不等式   9.2 特征值問題   9.3 主特征值與最大值原理之間的關(guān)系   9.4 一個(gè)邊值問題解的漸近性質(zhì)   9.5 上下解方法   9.6 應(yīng)用   9.7 FLaplace方程組   習(xí)題9 附錄A Sobolev空間的若干結(jié)論   A.1 幾個(gè)常用不等式   A.2 空間lF(Ω)和Wk,p(Ω)的幾個(gè)重要性質(zhì)   A.3 Sobolev不等式   A.4 空間Wk,p(Ω)中的嵌入   A.5 空間Wk,p(Ω)中的緊嵌入 附錄B 階線性橢圓型方程的若干結(jié)論   B.1 極值原理   B.2 Schauder理論和Lp理論 參考文獻(xiàn) 索引 《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目

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