隨機(jī)微分方程及其在數(shù)理金融中的應(yīng)用

前言

　　隨機(jī)微分方程作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，其理論基礎(chǔ)的建立是在20世紀(jì)60年代。該學(xué)科在很多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。隨著隨機(jī)分析理論的迅速發(fā)展，隨機(jī)微分方程理論被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)科學(xué)、工程科學(xué)和生態(tài)科學(xué)等各個(gè)方面?！　㈦S機(jī)微分方程應(yīng)用于金融領(lǐng)域是最近三十年的一個(gè)熱門話題。例如，用隨機(jī)微分方程來解決期權(quán)定價(jià)問題是隨機(jī)微分方程在金融中的一個(gè)成功應(yīng)用。1973年：Fischer Black和：Myron Scholes利用無風(fēng)險(xiǎn)投資理論和隨機(jī)微分方程理論，得到了著名的：Black-Scholes隨機(jī)偏微分方程，并利用相應(yīng)的邊界條件和概率方法得到了歐式看漲（跌）期權(quán)價(jià)格的計(jì)算公式，從而奠定了金融工程的核心基礎(chǔ)，開拓了金融工程從定性分析進(jìn)入定量分析的時(shí)代。　　本書的目的是系統(tǒng)介紹隨機(jī)微分方程的基礎(chǔ)理論及其在數(shù)理金融中的應(yīng)用。要達(dá)到此目的，必須解決兩個(gè)問題：一個(gè)是隨機(jī)微分方程的基本理論；另一個(gè)是隨機(jī)微分方程在數(shù)理金融中的具體應(yīng)用。本書的前9章主要介紹隨機(jī)微分方程的一些基礎(chǔ)理論，后9章主要介紹隨機(jī)微分方程在數(shù)理金融中的具體應(yīng)用?！　”緯容^注重基本理論、原理、基本方法和實(shí)例等方面的介紹，以求達(dá)到拋磚引玉的作用。但本書作為隨機(jī)微分方程應(yīng)用的概括還不盡全面，如濾波、隨機(jī)控制、隨機(jī)系統(tǒng)的性能分析和隨機(jī)脈沖隨機(jī)微分方程等方面涉及很少，有興趣的讀者可以自行查找相關(guān)文獻(xiàn)了解；或者根據(jù)讀者意見，再版時(shí)再進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充和修改。　　本書是在很多人的關(guān)心和幫助下完成的。在編寫過程中，吳慧蓮老師、楊春德教授和鄭繼明老師給予了諸多幫助，并提出了很多的建議，科學(xué)出版社的相關(guān)老師也為本書的出版付出了辛勤的勞動(dòng)，還有研究生張軍、孫凱和曾凡海也對(duì)本書格式作了一些修訂，在此一并表示感謝。

內(nèi)容概要

　　《隨機(jī)微分方程及其在數(shù)理金融中的應(yīng)用》系統(tǒng)介紹了隨機(jī)微分方程的基礎(chǔ)理論，并重點(diǎn)敘述了隨機(jī)微分方程在數(shù)理金融中的具體應(yīng)用。前9章主要介紹了布朗運(yùn)動(dòng)、Ito積分、隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性、伊藤分布、擴(kuò)散理論、隨機(jī)微分方程在邊界值問題和最優(yōu)停時(shí)問題中的應(yīng)用。后9章主要介紹了非均衡市場(chǎng)中套利選擇、市場(chǎng)完備性條件、完備市場(chǎng)下期權(quán)定價(jià)和套期交易策略的選擇Black-Scholes公式及其應(yīng)用、期權(quán)價(jià)格的計(jì)算、與期權(quán)定價(jià)密切相關(guān)的利率模型、特殊類型的金融模型、Hamilton-Jacobi-Bellman方程與風(fēng)險(xiǎn)投資等金融工程中的一些核心內(nèi)容?！　　峨S機(jī)微分方程及其在數(shù)理金融中的應(yīng)用》可供高等院校本科生、研究生、教師和相關(guān)研究單位的科研人員參考

書籍目錄

前言第1章 緒論1.1 隨機(jī)微分方程的起源和應(yīng)用1.2 隨機(jī)微分方程的經(jīng)典應(yīng)用舉例1.3 隨機(jī)微分方程與數(shù)理金融的關(guān)系1.4 本書的主要內(nèi)容第2章 預(yù)備知識(shí)2.1 概率空間、隨機(jī)變量和隨機(jī)過程2.2 布朗運(yùn)動(dòng)2.3 布朗運(yùn)動(dòng)與金融數(shù)學(xué)第3章 Ito積分3.1 Ito積分的構(gòu)造3.2 Ito積分的一些性質(zhì)3.3 Ito積分的推廣3.4 Ito積分與Stratonovich積分的比較第4章 伊藤公式與鞅表示定理4.1 一維的伊藤公式4.2 多維的伊藤公式4.3 鞅表示定理第5章 隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性5.1 隨機(jī)微分方程的一些實(shí)例和求解方法5.2 隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性定理5.3 隨機(jī)微分方程強(qiáng)解和弱解第6章 伊藤分布的基本性質(zhì)6.1 馬爾可夫性6.2 強(qiáng)馬爾可夫性6.3 伊藤分布算子6.4 Dynkin公式6.5 特征算子第7章 擴(kuò)散理論7.1 Kolmogorov倒向方程7.2 Feynman.-Kac公式7.3 鞅問題7.4 伊藤過程函數(shù)的擴(kuò)散條件7.5 隨機(jī)時(shí)間變化7.6 Girsanov定理第8章 在邊界值問題中的應(yīng)用8.1 復(fù)合Dirichlet-Poisson問題的解的唯一性8.2 Dirichlet問題8.3 Poisson問題第9章 在最優(yōu)停時(shí)問題中的應(yīng)用9.1 時(shí)齊情形9.2 非時(shí)齊的情形9.3 積分限制下的最優(yōu)停時(shí)問題9.4 與變分不等式的聯(lián)系第10章 非均衡市場(chǎng)中投資組合套利分析10.1 基本定義10.2 基本引理]10.3 非均衡市場(chǎng)套利機(jī)會(huì)的存在性定理10.4 舉例說明]第11章 基于隨機(jī)微分方程的市場(chǎng)完備性理論研究11.1 基本定義11.2 基本引理11.3 市場(chǎng)完備性的判別定理與推論11.4 舉例說明第12章 基于隨機(jī)微分方程在完備市場(chǎng)下的期權(quán)定價(jià)與套期交易策略的選擇12.1 基本定義12.2 兩個(gè)引理12.3 均衡價(jià)格的存在性定理第13章 Black-Scholes公式及其應(yīng)用13.1.Black-Scholes公式的推導(dǎo)13.2 Black-Scholes公式的應(yīng)用13.3 Black-Scholes公式下的美式期權(quán)第14章 期權(quán)價(jià)格的計(jì)算14.1 歐式期權(quán)與美式看漲期權(quán)價(jià)格的計(jì)算14.2 美式看跌期權(quán)價(jià)格的數(shù)字化計(jì)算14.3 有限維不等式的數(shù)字解法14.4 美式看跌期權(quán)的二項(xiàng)計(jì)算方法第15章 與期權(quán)定價(jià)密切相關(guān)的利率模型15.1 模型的基本性質(zhì)15.2 幾個(gè)古典模型第16章 其他金融模型16.1 不連續(xù)的隨機(jī)金融模型16.2 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)模型第17章 與期權(quán)價(jià)格計(jì)算相關(guān)的幾個(gè)函數(shù)的模擬與程序設(shè)計(jì)17.1 均勻分布［0，1]上的模擬17.2 高斯分布的模擬程序設(shè)計(jì)17.3 指數(shù)分布的模擬17.4 泊松隨機(jī)變量的模擬17.5 布朗運(yùn)動(dòng)的模擬17.6 隨機(jī)微分方程的模擬17.7 跳躍分布模型模擬17.8 高斯變量分布函數(shù)的估計(jì)17.9 Brennan和Schwartz方法的補(bǔ)充第18章 Hamilton-Jacobi-Bellman方程與風(fēng)險(xiǎn)投資18.1 隨機(jī)控制問題描述18.2 Hamilton-Jacobi-Bellman方程18.3 Hamilton-Jacobi-Bellman方程的應(yīng)用參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　將布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格行為聯(lián)系在一起，進(jìn)而建立起維納過程的數(shù)學(xué)模型是本世紀(jì)的一項(xiàng)具有重要意義的金融創(chuàng)新，在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)中占有重要地位。迄今，普遍的觀點(diǎn)仍認(rèn)為，股票市場(chǎng)是隨機(jī)波動(dòng)的，隨機(jī)波動(dòng)是股票市場(chǎng)最根本的特性，是股票市場(chǎng)的常態(tài)。　　布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)是現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論的核心假設(shè)?，F(xiàn)代資本市場(chǎng)理論認(rèn)為證券期貨價(jià)格具有隨機(jī)性特征。所謂隨機(jī)性，是指數(shù)據(jù)的無記憶性，即過去數(shù)據(jù)不構(gòu)成對(duì)未來數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)基礎(chǔ)。同時(shí)不會(huì)出現(xiàn)驚人相似的反復(fù)。隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)定義是：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性；在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。描述股價(jià)行為模型之一的布朗運(yùn)動(dòng)之維納過程是馬爾可夫隨機(jī)過程的一種特殊形式；而馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是建立在概率空間上的概率模型，被認(rèn)為是概率論的動(dòng)力學(xué)，即它的研究對(duì)象是隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象。所以，隨機(jī)行為是一種具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的行為。股價(jià)行為模型通常用著名的維納過程來表達(dá)。假定股票價(jià)格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預(yù)測(cè)不相關(guān)。股價(jià)的馬爾可夫性質(zhì)與弱型市場(chǎng)有效性（the weak form of market，efficiencyl相一致，也就是說，一種股票的現(xiàn)價(jià)已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價(jià)格記錄。但是當(dāng)人們開始采用分形理論研究金融市場(chǎng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行并不遵循布朗運(yùn)動(dòng)，而是服從更為一般的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

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