計(jì)算幾何

前言

　　幾何問(wèn)題涉及自然界的各個(gè)領(lǐng)域，伴隨信息科學(xué)的快速發(fā)展，計(jì)算幾何這門(mén)新興的交叉學(xué)科已悄然興起，特別是近年來(lái)（隨著）計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，信息資源急劇增長(zhǎng)，數(shù)字媒體產(chǎn)業(yè)正在蓬勃發(fā)展，可以預(yù)見(jiàn)，繼聲音、圖像和視頻之后，下一波數(shù)字媒體浪潮將是3D幾何數(shù)據(jù)，這使計(jì)算幾何的發(fā)展成為急迫需求，“計(jì)算幾何”這一術(shù)語(yǔ)最初是作為模式識(shí)別的替代語(yǔ)由M，Minsky和s，PaDert于1969年提出的，20世紀(jì)70年代初由A.R.Forrest給出了更為準(zhǔn)確的定義，即“對(duì)幾何信息的計(jì)算機(jī)表示、分析和綜合”，也就是說(shuō)，計(jì)算幾何是在計(jì)算機(jī)的環(huán)境內(nèi)來(lái)研究自然界涉及幾何目標(biāo)的一系列問(wèn)題，其中包括幾何形體的運(yùn)動(dòng)、幾何計(jì)算、幾何實(shí)體的快速表示、顯示、修改和傳輸?shù)?，該領(lǐng)域作為研究學(xué)科之所以能夠獲得成功，一方面是由于它在眾多的其他理論研究和應(yīng)用領(lǐng)域（如基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖形／圖像匹配與識(shí)別、地理信息系統(tǒng)以及機(jī)器人學(xué)等）中均發(fā)揮了重要的作用。

內(nèi)容概要

本書(shū)主要研究幾何目標(biāo)在計(jì)算機(jī)環(huán)境內(nèi)的數(shù)學(xué)表示、編輯、計(jì)算和傳輸?shù)确矫娴睦碚撆c方法及相關(guān)的應(yīng)用，其中包含連續(xù)性方法和離散性方法。書(shū)中內(nèi)容包括計(jì)算幾何相關(guān)的基礎(chǔ)理論、多元樣條函數(shù)的研究方法、局部多項(xiàng)式插值及超值插值、分片有理函數(shù)插值、多項(xiàng)式樣條空間結(jié)構(gòu)與代數(shù)曲線、NURBS曲線與曲面、曲線/曲面細(xì)分方法及曲線與曲面參數(shù)化等。本書(shū)面向具有本科數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)知識(shí)的讀者，力求容易入門(mén)、由淺入深、講透原理、聯(lián)系應(yīng)用。    本書(shū)可作為普通高等學(xué)校信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生教材，也可作為計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)碩士生、博士生相關(guān)課程的教材或參考書(shū)，還可供從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形圖像處理等相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)技術(shù)工作者參考。

書(shū)籍目錄

前言第1章  預(yù)備知識(shí)  1.1  射影幾何初步    1.1.1  射影平面    1.1.2  平面對(duì)偶原理  1.2  關(guān)于代數(shù)曲線    1.2.1  多項(xiàng)式的結(jié)式    1.2.2  Bezout定理    1.2.3  Nother定理  1.3  關(guān)于曲線、曲面的基礎(chǔ)    1.3.1  向量的內(nèi)積與向量積    1.3.2  正則曲線    1.3.3  正則曲面  1.4  三角剖分  1.5  Weierstrass逼近定理  1.6  一元樣條函數(shù)與Bezier曲線    1.6.1  樣條函數(shù)的定義及基本性質(zhì)    1.6.2  B樣條函數(shù)    1.6.3  Bezier曲線及B樣條曲線第2章  多元樣條函數(shù)的研究方法  2.1  光滑余因子方法  2.2  B網(wǎng)方法  2.3  B樣條方法第3章  局部多項(xiàng)式插值及超限插值  3.1  局部多項(xiàng)式插值    3.1.1  HCT格式    3.1.2  Powell-Sabin格式  3.2  插值算子的布爾和  3.3  矩形域上的超限插值  3.4  四邊形Coons曲面片  3.5  三角Coons曲面片    3.5.1  BBG超限插值格式    3.5.2  Nielson的邊頂點(diǎn)格式    3.5.3  對(duì)稱的Gregory公式第4章  分片有理函數(shù)插值  4.1  任意凸多邊形上的C0有理函數(shù)  4.2  三角剖分上的C1插值有理樣條函數(shù)    4.2.1  C1廣義楔函數(shù)    4.2.2  三角剖分上C1插值有理樣條的表現(xiàn)    4.2.3  三階逼近基和插值有理樣條的等價(jià)表示  4.3  三角剖分上的C2插值有理樣條函數(shù)    4.3.1  C2廣義楔函數(shù)及其構(gòu)造    4.3.2  三角剖分上C2插值有理樣條的表現(xiàn)    4.3.3  C2插值有理樣條的等價(jià)表示  4.4  正則四邊形剖分上的插值有理樣條  4.5  曲邊元上的C1有理樣條插值曲面第5章  多項(xiàng)式樣條空間結(jié)構(gòu)與代數(shù)曲線  5.1  K[X]mm中模的生成基及其計(jì)算    5.1.1  序，約化定理及生成基    5.1.2  計(jì)算生成基的算法  5.2  二元樣條空間的奇異性條件    5.2.1  最簡(jiǎn)單的樣條奇異性現(xiàn)象    5.2.2  Morgan-Scott剖分上的S12樣條空間    5.2.3  S(Δ)空間的奇異性條件  5.3  代數(shù)曲線的幾何不變量    5.3.1  射影幾何中新的基本概念    5.3.2  代數(shù)曲線的特征數(shù)  5.4  特征數(shù)的應(yīng)用    5.4.1  特征數(shù)在代數(shù)曲線理論中的應(yīng)用    5.4.2  特征數(shù)在樣條空間奇異性研究中的應(yīng)用  *5.5  任意剖分上低次樣條空間的結(jié)構(gòu)    5.5.1  S1K(Δ)樣條函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)矩陣    5.5.2  樣條函數(shù)空間S13(Δ)和S12(Δ)維數(shù)的討論    5.5.3  三角剖分中網(wǎng)點(diǎn)的序    5.5.4  樣條空間維數(shù)上界的改進(jìn)    5.5.5  三角剖分的拓?fù)湫再|(zhì)和它的結(jié)構(gòu)矩陣的關(guān)系    5.5.6  關(guān)于非奇異三角剖分的生成方法第6章  NURBS曲線與曲面  6.1  NURBS曲線與曲面的定義  6.2  NURBS曲線與曲面的基本性質(zhì)  6.3 NURBS曲線與曲面的基本幾何算法    6.3.1  NURBS曲線與曲面的幾何作圖法    6.3.2  NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)插入算法第7章  曲線、曲面細(xì)分方法  7.1  細(xì)分方法概述  7.2  均勻節(jié)點(diǎn)上B樣條及細(xì)分    7.2.1  B樣條的節(jié)點(diǎn)細(xì)分    7.2.2  卷積方法  7.3  正規(guī)細(xì)分的收斂性及光滑性分析  7.4  曲面細(xì)分奇異點(diǎn)處的連續(xù)性分析  7.5  常用的幾種細(xì)分方法介紹    7.5.1  Catmull-Clark細(xì)分    7.5.2  Doo-Sabin細(xì)分    7.5.3  Loop細(xì)分    7.5.4  四點(diǎn)插值細(xì)分    7.5.5  改進(jìn)的Butterfly細(xì)分    7.5.6  根號(hào)3細(xì)分    7.5.7  四點(diǎn)逼近的曲線細(xì)分方法    7.5.8  非靜態(tài)的曲線細(xì)分方法  7.6  算法及實(shí)現(xiàn)    7.6.1  數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)    7.6.2  Loop細(xì)分算法第8章  曲線與曲面參數(shù)化  8.1  曲線參數(shù)化方法    8.1.1  均勻參數(shù)化    8.1.2  累加弦長(zhǎng)參數(shù)化    8.1.3  向心參數(shù)化    8.1.4  修正弦長(zhǎng)參數(shù)化  8.2  關(guān)于累加弦長(zhǎng)參數(shù)化的進(jìn)一步討論  8.3  曲面參數(shù)化方法的畸變度量  8.4  重心映射參數(shù)化方法    8.4.1  三角網(wǎng)格曲面表示    8.4.2  重心映射方法  8.5  幾種常見(jiàn)的重心映射參數(shù)化算法    8.5.1  均勻參數(shù)化    8.5.2  保形參數(shù)化    8.5.3  離散調(diào)和映射參數(shù)化    8.5.4  中值坐標(biāo)參數(shù)化    8.5.5  基于Ricci流的曲面參數(shù)化  8.6  數(shù)值結(jié)果與分析參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

　　借助于多項(xiàng)式來(lái)逼近，雖然有許多優(yōu)點(diǎn)，但其在一點(diǎn)附近的性質(zhì)足以決定它的整體性質(zhì)，然而自然界較大范圍內(nèi)的許多現(xiàn)象，如物理或生物現(xiàn)象間的關(guān)系往往呈現(xiàn)互不關(guān)聯(lián)、互相分割的本性。亦即在不同區(qū)域內(nèi)，它們的性狀可以完全不相關(guān)。因此在實(shí)際應(yīng)用中，人們常采用樣條函數(shù)來(lái)逼近。所謂樣條函數(shù)（spline functcion）就是具有一定光滑性的分段或分片定義的函數(shù)，如果在每段或每片上定義的函數(shù)都是多項(xiàng)式，則稱為多項(xiàng)式樣條函數(shù)，本章僅考慮多項(xiàng)式樣條函數(shù)?！　⊙芯繕訔l最根本的是光滑余因子方法，它適合于任何剖分，因此2.1節(jié)將簡(jiǎn)單介紹這種方法；在實(shí)際應(yīng)用中，由于剖分的特殊性，我們還考慮針對(duì)特殊剖分的特殊方法，如單純形剖分域上的B網(wǎng)方法和多面體剖分區(qū)域上的Box樣條方法，這兩種方法分別在2.2節(jié)和2.3節(jié)給予簡(jiǎn)單介紹。必須指出后兩種方法得出的關(guān)于樣條的結(jié)論原則上都可由光滑余因子方法推出，有興趣的讀者可試著推導(dǎo)一下。

編輯推薦

　　為了便于讀者掌握本書(shū)的內(nèi)容，編者們把必要的關(guān)于射影幾何、代數(shù)曲線、曲線曲面、三角剖分、一元逼近理論等方面的基礎(chǔ)知識(shí)作為預(yù)備知識(shí)在第1章中給出簡(jiǎn)介；第2章介紹研究多元分片多項(xiàng)式——多元樣條函數(shù)的基本理論與方法；第3章給出實(shí)際應(yīng)用中常用的局部多項(xiàng)式插值及超限插值方法；第4章著重介紹任意多邊形單元上的多元有理插值樣條方法和曲邊元上的有理插值樣條方法；第5章側(cè)重多元樣條空間結(jié)構(gòu)的研究與代數(shù)曲線研究之間的等價(jià)性，并由此首次給出了代數(shù)曲線的新的整體幾何不變量——特征數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)也介紹了任意三角剖分上低次樣條空間的一些新近研究結(jié)果；第6章介紹NURBS曲線/曲面的基本方法和理論；第7、8章分別較為詳細(xì)地給出目前廣受人們關(guān)注的曲線/曲面細(xì)分和參數(shù)化方法的基本知識(shí)和理論。

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