高等代數(shù)典型問題精講

前言

　　高等代數(shù)是數(shù)學(xué)本科專業(yè)的三門主干基礎(chǔ)課程之一，又是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生招生考試必考的兩門核心課程之一。它的思想豐富，但是理論抽象，解題方法與技巧靈活多變，致使初學(xué)者和考研學(xué)生都會對該門課程的知識內(nèi)涵和解題方法感到有不同程度的困難。然而在高等代數(shù)教材及課程中，學(xué)生只是學(xué)習(xí)了最基本的知識，一些重要的內(nèi)容（如λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形、哈密爾頓－凱萊定理、最小多項(xiàng)式等）以及高等代數(shù)的思想方法，都不可能深入學(xué)習(xí)、理解與領(lǐng)會。但是這些卻是非常重要的，既是考研數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)后繼學(xué)勻、研究與應(yīng)用的基礎(chǔ)。所以無論是為了研究及應(yīng)用，還是為了考研而深造，進(jìn)一步充實(shí)與深化高等代數(shù)知識，進(jìn)一步領(lǐng)悟與掌握高等代數(shù)思想方法，無疑是十分必要且重要的?！　”緯庠诔鋵?shí)與深化高等代數(shù)課程的內(nèi)容，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究及創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的高等代數(shù)解題能力。所以本書既是“高等代數(shù)選講”課程的優(yōu)秀教材，又是考研數(shù)學(xué)之高等代數(shù)或線性代數(shù)的精品指導(dǎo)書，也是“高等代數(shù)”課程良好的教學(xué)參考書。　　本書具有以下特色：　　特色A：突破灌輸模式，實(shí)現(xiàn)返璞歸真。我國現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材基本上都是“定義－性質(zhì)－定理一例題”的純理論模式，這種模式作為數(shù)學(xué)理論的表述堪為精湛，但是作為教材，卻極不利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。如此評說，是因?yàn)樗苯痈嬖V定義、性質(zhì)、定理而舍去了數(shù)學(xué)的生成過程，使學(xué)生只看到龐大而復(fù)雜的數(shù)學(xué)機(jī)器，卻得不到發(fā)明這臺機(jī)器的真諦，只會做從已知到求證的游戲，卻不會做從已知到未知的探索，更不想從未知到未知的創(chuàng)造，于是學(xué)生只會機(jī)械地理解、記憶和模仿，卻喪失了數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力；是因?yàn)樗粡?qiáng)調(diào)知識系統(tǒng)化，不注重知識的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展關(guān)系，把相關(guān)的知識人為地割裂開來，破壞了真實(shí)的、必然的知識生成過程和思維的發(fā)展過程，結(jié)果使學(xué)生只看見樹木而看不見森林，從而喪失了認(rèn)識知識和研究問題的整體思維能力；是因?yàn)樗⒅乩碚摴噍敹p視應(yīng)用實(shí)踐，使數(shù)學(xué)成為無根之木而更加抽象難懂，因此不僅使學(xué)生失去了數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，而且使學(xué)生產(chǎn)生了懼學(xué)、厭學(xué)等不良行為?！　「鶕?jù)過程哲學(xué)與生成哲學(xué)理論及作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，作者倡導(dǎo)“過程+生成”教學(xué)：知識是生成過程，是在一定條件下從無到有或從有到有的生成過程；教材是描述知識的生成過程及由此形成的知識結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)文本；教學(xué)是由教師、學(xué)生及相關(guān)因素和信息組成的動(dòng)態(tài)的知識生成過程；學(xué)習(xí)是學(xué)生在知識生成過程中創(chuàng)造自我、獲取知識、激發(fā)創(chuàng)新能力的活動(dòng)。

內(nèi)容概要

本書深入研究了矩陣的哈密爾頓-凱萊定理、矩陣的最小多項(xiàng)式、λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣的滿秩分解、簡單的矩陣方程、矩陣乘積的行列式等理論及其應(yīng)用，全面論述了矩陣相似對角化的各種問題的證題方法，系統(tǒng)分析了多項(xiàng)式內(nèi)容中幾類重要問題的證題方法。    本書的編寫打破了傳統(tǒng)的理論灌輸模式，采用在問題研究的過程中創(chuàng)造和生成相關(guān)的概念及結(jié)論的方式，突出創(chuàng)造思想，展現(xiàn)思維方法，深化解題技巧，同時(shí)還采用邏輯圖表的方式直觀地表述思維過程，有益于解題能力的提高，有益于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升，有益于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。    書中含有的大量例題和習(xí)題基本上都精選自往年的考研試題。本書可以作為數(shù)學(xué)專業(yè)“高等代數(shù)選講”課程的教材，也可作為數(shù)學(xué)專業(yè)“高等代數(shù)”課程的教學(xué)參考書，還是考研數(shù)學(xué)之高等代數(shù)或線性代數(shù)的優(yōu)秀學(xué)習(xí)指導(dǎo)書。

書籍目錄

前言符號使用說明專題1  哈密爾頓-凱萊定理及其應(yīng)用  1.1  定理的“發(fā)現(xiàn)”與證明  1.2  哈密爾頓一凱萊定理的應(yīng)用  習(xí)題1專題2  λ矩陣與矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形  2.1  問題的提出  2.2  λ矩陣及其基本性質(zhì)  2.3  λ矩陣的等價(jià)及其標(biāo)準(zhǔn)形  2.4  λ矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性  2.5  矩陣相似的條件  2.6  有理標(biāo)準(zhǔn)形  2.7  若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形  2.8  若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  2.9  知識結(jié)構(gòu)  習(xí)題2專題3  矩陣的最小多項(xiàng)式  3.1  問題的提出  3.2  最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)  3.3  最小多項(xiàng)式的求法  3.4  相關(guān)應(yīng)用問題  3.5  知識結(jié)構(gòu)  習(xí)題3專題4  矩陣的相似對角化  4.1  相似對角化的條件  4.2  相似對角化的方法  4.3  相似對角化的證題方法  4.4  特殊矩陣的相似對角化  4.5  同時(shí)對角化問題  習(xí)題4專題5  矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用  5.1  矩陣常用的標(biāo)準(zhǔn)形  5.2  等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.3  相似標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.4  合同標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.5  正交相似（合同）標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.6  λ矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  習(xí)題5專題6  矩陣的滿秩分解及應(yīng)用  6.1  問題的提出  6.2  行（列）滿秩的性質(zhì)  6.3  滿秩分解  6.4  滿秩分解的應(yīng)用  習(xí)題6專題7  簡單的矩陣方程  7.1  方程AX=B，XA=B，AXB=C的解法  7.2  矩陣方程AX=C，AXB=C的解的討論  習(xí)題7專題8  矩陣乘積的行列式  8.1  比內(nèi)一柯西（Binet—Cauchy）公式  8.2  比內(nèi)一柯西公式的應(yīng)用  習(xí)題8專題9  微小攝動(dòng)法在矩陣問題中的應(yīng)用  習(xí)題9專題10.  方陣的跡及其應(yīng)用  10.1  跡的定義及其性質(zhì)  10.2  相關(guān)問題及應(yīng)用  習(xí)題10專題11  多項(xiàng)式解題方法與典型例題分析  11.1  整除性問題  11.2  最大公因式問題  11.3  互素問題  11.4  不可約問題  11.5  根的問題  習(xí)題11附錄  習(xí)題提示或參考答案

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