高等代數(shù)典型問(wèn)題精講

前言

　　高等代數(shù)是數(shù)學(xué)本科專業(yè)的三門主干基礎(chǔ)課程之一，又是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生招生考試必考的兩門核心課程之一。它的思想豐富，但是理論抽象，解題方法與技巧靈活多變，致使初學(xué)者和考研學(xué)生都會(huì)對(duì)該門課程的知識(shí)內(nèi)涵和解題方法感到有不同程度的困難。然而在高等代數(shù)教材及課程中，學(xué)生只是學(xué)習(xí)了最基本的知識(shí)，一些重要的內(nèi)容（如λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形、哈密爾頓－凱萊定理、最小多項(xiàng)式等）以及高等代數(shù)的思想方法，都不可能深入學(xué)習(xí)、理解與領(lǐng)會(huì)。但是這些卻是非常重要的，既是考研數(shù)學(xué)的必備基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)后繼學(xué)勻、研究與應(yīng)用的基礎(chǔ)。所以無(wú)論是為了研究及應(yīng)用，還是為了考研而深造，進(jìn)一步充實(shí)與深化高等代數(shù)知識(shí)，進(jìn)一步領(lǐng)悟與掌握高等代數(shù)思想方法，無(wú)疑是十分必要且重要的。　　本書(shū)意在充實(shí)與深化高等代數(shù)課程的內(nèi)容，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究及創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的高等代數(shù)解題能力。所以本書(shū)既是“高等代數(shù)選講”課程的優(yōu)秀教材，又是考研數(shù)學(xué)之高等代數(shù)或線性代數(shù)的精品指導(dǎo)書(shū)，也是“高等代數(shù)”課程良好的教學(xué)參考書(shū)?！　”緯?shū)具有以下特色：　　特色A：突破灌輸模式，實(shí)現(xiàn)返璞歸真。我國(guó)現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材基本上都是“定義－性質(zhì)－定理一例題”的純理論模式，這種模式作為數(shù)學(xué)理論的表述堪為精湛，但是作為教材，卻極不利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。如此評(píng)說(shuō)，是因?yàn)樗苯痈嬖V定義、性質(zhì)、定理而舍去了數(shù)學(xué)的生成過(guò)程，使學(xué)生只看到龐大而復(fù)雜的數(shù)學(xué)機(jī)器，卻得不到發(fā)明這臺(tái)機(jī)器的真諦，只會(huì)做從已知到求證的游戲，卻不會(huì)做從已知到未知的探索，更不想從未知到未知的創(chuàng)造，于是學(xué)生只會(huì)機(jī)械地理解、記憶和模仿，卻喪失了數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力；是因?yàn)樗粡?qiáng)調(diào)知識(shí)系統(tǒng)化，不注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展關(guān)系，把相關(guān)的知識(shí)人為地割裂開(kāi)來(lái)，破壞了真實(shí)的、必然的知識(shí)生成過(guò)程和思維的發(fā)展過(guò)程，結(jié)果使學(xué)生只看見(jiàn)樹(shù)木而看不見(jiàn)森林，從而喪失了認(rèn)識(shí)知識(shí)和研究問(wèn)題的整體思維能力；是因?yàn)樗⒅乩碚摴噍敹p視應(yīng)用實(shí)踐，使數(shù)學(xué)成為無(wú)根之木而更加抽象難懂，因此不僅使學(xué)生失去了數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，而且使學(xué)生產(chǎn)生了懼學(xué)、厭學(xué)等不良行為?！　「鶕?jù)過(guò)程哲學(xué)與生成哲學(xué)理論及作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，作者倡導(dǎo)“過(guò)程+生成”教學(xué)：知識(shí)是生成過(guò)程，是在一定條件下從無(wú)到有或從有到有的生成過(guò)程；教材是描述知識(shí)的生成過(guò)程及由此形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)文本；教學(xué)是由教師、學(xué)生及相關(guān)因素和信息組成的動(dòng)態(tài)的知識(shí)生成過(guò)程；學(xué)習(xí)是學(xué)生在知識(shí)生成過(guò)程中創(chuàng)造自我、獲取知識(shí)、激發(fā)創(chuàng)新能力的活動(dòng)。

內(nèi)容概要

本書(shū)深入研究了矩陣的哈密爾頓-凱萊定理、矩陣的最小多項(xiàng)式、λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣的滿秩分解、簡(jiǎn)單的矩陣方程、矩陣乘積的行列式等理論及其應(yīng)用，全面論述了矩陣相似對(duì)角化的各種問(wèn)題的證題方法，系統(tǒng)分析了多項(xiàng)式內(nèi)容中幾類重要問(wèn)題的證題方法。    本書(shū)的編寫打破了傳統(tǒng)的理論灌輸模式，采用在問(wèn)題研究的過(guò)程中創(chuàng)造和生成相關(guān)的概念及結(jié)論的方式，突出創(chuàng)造思想，展現(xiàn)思維方法，深化解題技巧，同時(shí)還采用邏輯圖表的方式直觀地表述思維過(guò)程，有益于解題能力的提高，有益于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升，有益于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。    書(shū)中含有的大量例題和習(xí)題基本上都精選自往年的考研試題。本書(shū)可以作為數(shù)學(xué)專業(yè)“高等代數(shù)選講”課程的教材，也可作為數(shù)學(xué)專業(yè)“高等代數(shù)”課程的教學(xué)參考書(shū)，還是考研數(shù)學(xué)之高等代數(shù)或線性代數(shù)的優(yōu)秀學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)。

書(shū)籍目錄

前言符號(hào)使用說(shuō)明專題1  哈密爾頓-凱萊定理及其應(yīng)用  1.1  定理的“發(fā)現(xiàn)”與證明  1.2  哈密爾頓一凱萊定理的應(yīng)用  習(xí)題1專題2  λ矩陣與矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形  2.1  問(wèn)題的提出  2.2  λ矩陣及其基本性質(zhì)  2.3  λ矩陣的等價(jià)及其標(biāo)準(zhǔn)形  2.4  λ矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性  2.5  矩陣相似的條件  2.6  有理標(biāo)準(zhǔn)形  2.7  若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形  2.8  若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  2.9  知識(shí)結(jié)構(gòu)  習(xí)題2專題3  矩陣的最小多項(xiàng)式  3.1  問(wèn)題的提出  3.2  最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)  3.3  最小多項(xiàng)式的求法  3.4  相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題  3.5  知識(shí)結(jié)構(gòu)  習(xí)題3專題4  矩陣的相似對(duì)角化  4.1  相似對(duì)角化的條件  4.2  相似對(duì)角化的方法  4.3  相似對(duì)角化的證題方法  4.4  特殊矩陣的相似對(duì)角化  4.5  同時(shí)對(duì)角化問(wèn)題  習(xí)題4專題5  矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用  5.1  矩陣常用的標(biāo)準(zhǔn)形  5.2  等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.3  相似標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.4  合同標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.5  正交相似（合同）標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  5.6  λ矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用  習(xí)題5專題6  矩陣的滿秩分解及應(yīng)用  6.1  問(wèn)題的提出  6.2  行（列）滿秩的性質(zhì)  6.3  滿秩分解  6.4  滿秩分解的應(yīng)用  習(xí)題6專題7  簡(jiǎn)單的矩陣方程  7.1  方程AX=B，XA=B，AXB=C的解法  7.2  矩陣方程AX=C，AXB=C的解的討論  習(xí)題7專題8  矩陣乘積的行列式  8.1  比內(nèi)一柯西（Binet—Cauchy）公式  8.2  比內(nèi)一柯西公式的應(yīng)用  習(xí)題8專題9  微小攝動(dòng)法在矩陣問(wèn)題中的應(yīng)用  習(xí)題9專題10.  方陣的跡及其應(yīng)用  10.1  跡的定義及其性質(zhì)  10.2  相關(guān)問(wèn)題及應(yīng)用  習(xí)題10專題11  多項(xiàng)式解題方法與典型例題分析  11.1  整除性問(wèn)題  11.2  最大公因式問(wèn)題  11.3  互素問(wèn)題  11.4  不可約問(wèn)題  11.5  根的問(wèn)題  習(xí)題11附錄  習(xí)題提示或參考答案

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