高等代數典型問題精講

前言

　　高等代數是數學本科專業(yè)的三門主干基礎課程之一，又是基礎數學、應用數學專業(yè)碩士研究生招生考試必考的兩門核心課程之一。它的思想豐富，但是理論抽象，解題方法與技巧靈活多變，致使初學者和考研學生都會對該門課程的知識內涵和解題方法感到有不同程度的困難。然而在高等代數教材及課程中，學生只是學習了最基本的知識，一些重要的內容（如λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的相似標準形、哈密爾頓－凱萊定理、最小多項式等）以及高等代數的思想方法，都不可能深入學習、理解與領會。但是這些卻是非常重要的，既是考研數學的必備基礎，又是數學后繼學勻、研究與應用的基礎。所以無論是為了研究及應用，還是為了考研而深造，進一步充實與深化高等代數知識，進一步領悟與掌握高等代數思想方法，無疑是十分必要且重要的?！　”緯庠诔鋵嵟c深化高等代數課程的內容，旨在提高學生的數學學習、研究及創(chuàng)新能力，提高學生的高等代數解題能力。所以本書既是“高等代數選講”課程的優(yōu)秀教材，又是考研數學之高等代數或線性代數的精品指導書，也是“高等代數”課程良好的教學參考書?！　”緯哂幸韵绿厣骸　√厣獳：突破灌輸模式，實現返璞歸真。我國現行的高等數學教材基本上都是“定義－性質－定理一例題”的純理論模式，這種模式作為數學理論的表述堪為精湛，但是作為教材，卻極不利于數學素質的提高和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。如此評說，是因為它直接告訴定義、性質、定理而舍去了數學的生成過程，使學生只看到龐大而復雜的數學機器，卻得不到發(fā)明這臺機器的真諦，只會做從已知到求證的游戲，卻不會做從已知到未知的探索，更不想從未知到未知的創(chuàng)造，于是學生只會機械地理解、記憶和模仿，卻喪失了數學精神和數學創(chuàng)造能力；是因為它只強調知識系統(tǒng)化，不注重知識的內在聯(lián)系和發(fā)展關系，把相關的知識人為地割裂開來，破壞了真實的、必然的知識生成過程和思維的發(fā)展過程，結果使學生只看見樹木而看不見森林，從而喪失了認識知識和研究問題的整體思維能力；是因為它注重理論灌輸而輕視應用實踐，使數學成為無根之木而更加抽象難懂，因此不僅使學生失去了數學的應用能力，而且使學生產生了懼學、厭學等不良行為?！　「鶕^程哲學與生成哲學理論及作者多年的教學經驗，作者倡導“過程+生成”教學：知識是生成過程，是在一定條件下從無到有或從有到有的生成過程；教材是描述知識的生成過程及由此形成的知識結構的動態(tài)文本；教學是由教師、學生及相關因素和信息組成的動態(tài)的知識生成過程；學習是學生在知識生成過程中創(chuàng)造自我、獲取知識、激發(fā)創(chuàng)新能力的活動。

內容概要

本書深入研究了矩陣的哈密爾頓-凱萊定理、矩陣的最小多項式、λ矩陣、矩陣的相似理論、矩陣的有理標準、若爾當標準形、矩陣的滿秩分解、簡單的矩陣方程、矩陣乘積的行列式等理論及其應用，全面論述了矩陣相似對角化的各種問題的證題方法，系統(tǒng)分析了多項式內容中幾類重要問題的證題方法。    本書的編寫打破了傳統(tǒng)的理論灌輸模式，采用在問題研究的過程中創(chuàng)造和生成相關的概念及結論的方式，突出創(chuàng)造思想，展現思維方法，深化解題技巧，同時還采用邏輯圖表的方式直觀地表述思維過程，有益于解題能力的提高，有益于數學素質的提升，有益于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。    書中含有的大量例題和習題基本上都精選自往年的考研試題。本書可以作為數學專業(yè)“高等代數選講”課程的教材，也可作為數學專業(yè)“高等代數”課程的教學參考書，還是考研數學之高等代數或線性代數的優(yōu)秀學習指導書。

書籍目錄

前言符號使用說明專題1  哈密爾頓-凱萊定理及其應用  1.1  定理的“發(fā)現”與證明  1.2  哈密爾頓一凱萊定理的應用  習題1專題2  λ矩陣與矩陣的相似標準形  2.1  問題的提出  2.2  λ矩陣及其基本性質  2.3  λ矩陣的等價及其標準形  2.4  λ矩陣等價標準形的唯一性  2.5  矩陣相似的條件  2.6  有理標準形  2.7  若爾當標準形  2.8  若爾當標準形的應用  2.9  知識結構  習題2專題3  矩陣的最小多項式  3.1  問題的提出  3.2  最小多項式及其性質  3.3  最小多項式的求法  3.4  相關應用問題  3.5  知識結構  習題3專題4  矩陣的相似對角化  4.1  相似對角化的條件  4.2  相似對角化的方法  4.3  相似對角化的證題方法  4.4  特殊矩陣的相似對角化  4.5  同時對角化問題  習題4專題5  矩陣的標準形及其應用  5.1  矩陣常用的標準形  5.2  等價標準形的應用  5.3  相似標準形的應用  5.4  合同標準形的應用  5.5  正交相似（合同）標準形的應用  5.6  λ矩陣標準形的應用  習題5專題6  矩陣的滿秩分解及應用  6.1  問題的提出  6.2  行（列）滿秩的性質  6.3  滿秩分解  6.4  滿秩分解的應用  習題6專題7  簡單的矩陣方程  7.1  方程AX=B，XA=B，AXB=C的解法  7.2  矩陣方程AX=C，AXB=C的解的討論  習題7專題8  矩陣乘積的行列式  8.1  比內一柯西（Binet—Cauchy）公式  8.2  比內一柯西公式的應用  習題8專題9  微小攝動法在矩陣問題中的應用  習題9專題10.  方陣的跡及其應用  10.1  跡的定義及其性質  10.2  相關問題及應用  習題10專題11  多項式解題方法與典型例題分析  11.1  整除性問題  11.2  最大公因式問題  11.3  互素問題  11.4  不可約問題  11.5  根的問題  習題11附錄  習題提示或參考答案

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