模型降階方法

前言

　　近年來，在眾多工程應(yīng)用領(lǐng)域，如電子系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、力學(xué)系統(tǒng)、流體機械系統(tǒng)等，都涉及大型或復(fù)雜動力系統(tǒng)的計算機設(shè)計、仿真、優(yōu)化與控制，這些工程系統(tǒng)一般都是由微分方程來描述的，方程的維數(shù)通常比較高，在某些領(lǐng)域方程組的規(guī)模極其龐大，因而給工程人員的設(shè)計和仿真模擬帶來了巨大的挑戰(zhàn)，長期以來，工程技術(shù)人員和數(shù)學(xué)研究者一直致力于尋找一些能夠在降低系統(tǒng)規(guī)模的同時，還能夠保持原有問題的一些固有性質(zhì)或結(jié)構(gòu)的有效方法，模型降階就是處理大型系統(tǒng)近似過程的一類有效方法，在許多工業(yè)領(lǐng)域都有著獨特的應(yīng)用，例如，隨著現(xiàn)代集成電路技術(shù)的快速發(fā)展，在單塊芯片上集成的晶體管數(shù)目已呈指數(shù)規(guī)律增長，為了在合理時間內(nèi)分析與模擬大量互連電路的性能，必須有效降低所設(shè)計的電路系統(tǒng)的規(guī)模，在這種情況下，如何將一個較大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個近似的較小系統(tǒng)，以降低系統(tǒng)分析的難度和減少相應(yīng)算法的計算量，便形成了電路系統(tǒng)中模型降階這一理論問題，事實上，近幾年模型降階方法已被成功地應(yīng)用于許多高新工業(yè)技術(shù)和應(yīng)用領(lǐng)域，模型降階這一基本而樸素的思想，雖多年前就散見于一些工程界的文獻中，但其作為一類具有理論依據(jù)的較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法還是近年來的事情，模型降階問題早期多出現(xiàn)在自動控制和電路系統(tǒng)領(lǐng)域，尤其是隨著現(xiàn)代大型集成電路的發(fā)展，模型降階理論在電路設(shè)計與模擬過程中得到了進一步豐富和完善，同時，近十年來如何快速數(shù)值模擬大型復(fù)雜系統(tǒng)也得到了包括數(shù)學(xué)工作者在內(nèi)的廣大研究者和工程師的廣泛關(guān)注，我們知道，要設(shè)計一個復(fù)雜系統(tǒng)，如機器人、飛船、移動電話、計算機以及各類電子產(chǎn)品等，需要花費很長的時間進行研發(fā)，為了保證最后得到的設(shè)計產(chǎn)品能滿足各項規(guī)定的性能指標(biāo)，就必須在此之前對系統(tǒng)進行分析和計算模擬，這主要是為了避免因為設(shè)計缺陷而導(dǎo)致的產(chǎn)品浪費，基于這些考慮，在現(xiàn)代工業(yè)制造中人們設(shè)計出多種電子設(shè)計自動化計算機仿真軟件來輔助電子產(chǎn)品的設(shè)計和生產(chǎn)，對于現(xiàn)代大型或復(fù)雜系統(tǒng)，由于其高維數(shù)或復(fù)雜性，直接進行分析相對困難或數(shù)值模擬耗時過長，甚至對某些問題無法模擬，在這樣的背景下，對模型的規(guī)?；螂A數(shù)進行有效的降階處理就顯得尤為重要了，事實上，基于模型降階方法的數(shù)值模擬算法也是電子設(shè)計自動化軟件的理論基礎(chǔ)之一，目前，模型降階方法已經(jīng)開始被運用到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理模型中，這類模型包括流體模型和電磁場模型等，模型降階方法也因其具有高效快速計算性能而正在被應(yīng)用到各類偏微分方程的數(shù)值求解中。

內(nèi)容概要

本書主要討論大型系統(tǒng)近似過程的模型降階方法的理論與應(yīng)用。除緒論外，全書共分10章，其基本內(nèi)容包括輸入輸出系統(tǒng)理論、漸近波形估計方法、Krylov子空間類方法、多點擬合方法、正交分解方法、平衡截斷方法、積分全等變換與最優(yōu)化方法，以及一些特殊系統(tǒng)的模型降階方法。全書系統(tǒng)性強，詳略得當(dāng)，由淺入深，循序漸進，每章內(nèi)容自成體系，又相互關(guān)聯(lián)。    本書可供計算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、電路與系統(tǒng)、電力系統(tǒng)與自動控制，以及計算機科學(xué)等相關(guān)專業(yè)的研究生和科研工作者閱讀，同時也可作為理工類有關(guān)專業(yè)的教師以及從事科學(xué)和工程問題的模型分析與模擬的廣大技術(shù)人員的理論參考書。

書籍目錄

前言緒論  0.1  模型降階的基本思想  0.2  模型降階的基本方法第1章  矩陣分解和矩陣方程  1.1  矩陣分解    1.1.1  QR分解    1.1.2  LU分解    1.1.3  SVD分解  1.2  矩陣方程    1.2.1  Kronecker積    1.2.2  Sylvester方程    1.2.3  方程求解方法第2章  輸入輸出系統(tǒng)特征  2.1  系統(tǒng)的概念    2.1.1  系統(tǒng)描述與實現(xiàn)    2.1.2  可控性與可觀性  2.2  系統(tǒng)的范數(shù)    2.2.1  H2和H∞范數(shù)    2.2.2  Hankel范數(shù)  2.3  系統(tǒng)的穩(wěn)定性  2.4  系統(tǒng)的無源性第3章  漸近波形估計模型降階方法  3.1  基本過程    3.1.1  矩的概念和計算    3.1.2  傳遞函數(shù)的Pade逼近    3.1.3  系統(tǒng)的降階過程  3.2  矩匹配定理  3.3  典型系統(tǒng)應(yīng)用    3.3.1  線性時不變系統(tǒng)    3.3.2  傳輸線系統(tǒng)第4章  Arnoldi和Lanczos模型降階方法  4.1  正交化過程    4.1.1  Arnoldi過程    4.1.2  Lanczos過程  4.2  Arnokli降階方法    4.2.1  基本降階過程    4.2.2  誤差估計和穩(wěn)定性    4.2.3  塊Arnoldi算法  4.3  Lanczos降階方法    4.3.1  基本降階過程    4.3.2  誤差估計    4.3.3  穩(wěn)定的降階過程第5章  Krylov子空間模型降階方法  5.1  基本降階過程    5.1.1  Krylov子空間    5.1.2  插值函數(shù)    5.1.3  切線插值方法  5.2  保持系統(tǒng)性質(zhì)的降階方法    5.2.1  雙線性變換方法    5.2.2  交替Krylov子空間方法    5.2.3  PRIMA算法    5.2.4  SPRIM算法  5.3  二階系統(tǒng)與高階系統(tǒng)的降階方法    5.3.1  二階系統(tǒng)的Krylov子空間方法    5.3.2  二階系統(tǒng)的二重Krylov子空間方法    5.3.3  高階系統(tǒng)的降階方法    5.3.4  線性電路系統(tǒng)的應(yīng)用第6章  多點擬合模型降階方法  6.1  線性系統(tǒng)的降階方法    6.1.1  單輸入單輸出系統(tǒng)    6.1.2  多輸入多輸出系統(tǒng)  6.2  非線性系統(tǒng)的降階方法    6.2.1  線性化和二次化過程    6.2.2  多點擬合降階    6.2.3  性質(zhì)分析第7章  正交分解模型降階方法  7.1  時間域正交多項式降階方法    7.1.1  Chebyshev多項式降階    7.1.2  Laguerre多項式降階  7.2  Laguerre-SVD降階方法    7.2.1  傳遞函數(shù)正交分解    7.2.2  頻率域Laguerre多項式正交分解  7.3  本征正交分解降階方法    7.3.1  本征正交分解    7.3.2  基本降階過程    7.3.3  誤差估計和穩(wěn)定性第8章  平衡截斷模型降階方法  8.1  基本降階方法    8.1.1  平衡截斷過程    8.1.2  平衡變換構(gòu)造    8.1.3  誤差估計和穩(wěn)定性  8.2  SVD分解和頻率加權(quán)降階方法    8.2.1  SVD分解截斷降階    8.2.2  頻率加權(quán)截斷降階  8.3  二階系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的降階方法    8.3.1  二階系統(tǒng)情形    8.3.2  離散系統(tǒng)情形第9章  積分全等變換和最優(yōu)化模型降階方法  9.1  積分全等變換降階方法    9.1.1  常系數(shù)系統(tǒng)    9.1.2  變系數(shù)系統(tǒng)  9.2  最優(yōu)化降階方法    9.2.1  基本思想    9.2.2  最優(yōu)Hankel范數(shù)逼近    9.2.3  頻率加權(quán)最優(yōu)Hankel范數(shù)逼近    9.2.4  擬凸優(yōu)化逼近第10章  特殊系統(tǒng)的模型降階方法  10.1  雙線性系統(tǒng)的降階方法    10.1.1  雙線性化過程    10.1.2  多重Arnoldi降階    10.1.3  衡截斷降階  10.2  耦合系統(tǒng)的降階方法    10.2.1  歸一化系統(tǒng)降階    10.2.2  保結(jié)構(gòu)系統(tǒng)降階  10.3  定常系統(tǒng)的降階方法    10.3.1  單變量參數(shù)系統(tǒng)    10.3.2  多變量無參數(shù)系統(tǒng)  10.4  偏微分系統(tǒng)的降階方法    10.4.1  Fourier分解降階    10.4.2  系統(tǒng)分解降階參考文獻

章節(jié)摘錄

　　相對線性問題而言，非線性系統(tǒng)由于自身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其模型降階方法的誤差估計比較復(fù)雜，穩(wěn)定性分析也有一定的難度，尤其是非線性系統(tǒng)不具有類似線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，因而需要在時間域上給出無源性判定條件，這使得無源性的分析變得相對困難?！　≡谀Ｐ徒惦A中，一般要重點考慮降階系統(tǒng)逼近原始系統(tǒng)的程度如何，通常，可以分時間域和頻率域兩種情形討論降階系統(tǒng)與原始系統(tǒng)之間的誤差，在時間域上，可以直接比較降階系統(tǒng)與原始系統(tǒng)的輸出函數(shù)在某種范數(shù)下的大小，這種刻畫誤差的方式較為麻煩，需要用到豐富的微分方程理論，甚至還需要定義一些特殊的范數(shù)，在頻率域上，需要對原始系統(tǒng)和降階系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程做Laplace變換以獲得各自的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，然后通過比較傳遞函數(shù)的矩來衡量降階系統(tǒng)逼近原始系統(tǒng)的程度，這種誤差刻畫方式由于可借助的數(shù)學(xué)工具較多，其理論研究結(jié)果往往很豐富也很深刻，但無論是從時間域還是頻率域出發(fā)，由于模型降階研究的對象是系統(tǒng)的整體近似問題，不是以往單純的函數(shù)計算或方程的求解等，這當(dāng)中需要更多和更深奧的數(shù)學(xué)理論是自然的，其結(jié)果是相關(guān)的研究工作無疑會大大豐富和擴充現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論。

編輯推薦

　　本書的基本內(nèi)容散見于國際上有關(guān)模型降階的諸多文獻中，部分內(nèi)容作為西安交通大學(xué)博士研究生學(xué)位課程已多次講授。為方便不同知識背景的讀者閱讀，本書盡量采用比較通俗易懂的語句敘述，側(cè)重從方程和系統(tǒng)的角度闡述方法的機理，注重方法的基本內(nèi)涵和本質(zhì)。在內(nèi)容選取方面，注重條理性、系統(tǒng)性和方法的普適性。同時，本書既重視已有理論基礎(chǔ)，也注重最新研究進展，努力使讀者閱讀本書后一方面能夠了解模型降階的整體面貌，并且能夠進入模型降階研究的前沿，另一方面也能夠直接利用有關(guān)方法去解決實際問題。

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