直來直去的微積分

前言

看到本叢書，多數(shù)人會問這樣的問題：“什么是教育數(shù)學？”“教育數(shù)學和數(shù)學教育有何不同？”簡單說，改造數(shù)學使之更適宜于教學和學習，是教育數(shù)學為自己提出的任務。把學數(shù)學比作吃核桃。核桃仁美味而富有營養(yǎng)，但要砸開才能吃到它。有些核桃，外殼與核仁緊密相依，成都人形象地叫它們“夾米子核桃”，如若砸不得法，砸開了還很難吃到。數(shù)學教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更關味，更營養(yǎng)，更容易砸開吃凈。“教育數(shù)學”的提法，最早出現(xiàn)在筆者1989年所寫的《從數(shù)學教育到教育數(shù)學》中。其實，教育數(shù)學的活動早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》、柯西寫《分析教程》，都是教育數(shù)學的經(jīng)典之作。

內(nèi)容概要

本書從常識性的平凡道理出發(fā)，不用極限概念也不用無窮小概念，直截了當?shù)囟x了函數(shù)的導數(shù)，證明了導數(shù)的常用性質(zhì)；定義了定積分，推出了微積分基本定理。嚴謹而不失直觀的推理，顛覆了微積分必須以極限概念為基礎的傳統(tǒng)觀點。全書共18章，前10章用作者發(fā)現(xiàn)的新方法構(gòu)建了一元微積分的邏輯框架；后8章闡述新方法與傳統(tǒng)體系的關系和接軌的方案，以及一些重要的微積分知識。本書化解了傳統(tǒng)微積分教學的若干最大難點，為建立高中和大學的微積分新體系描繪了藍圖。    本書可供中學和大學的數(shù)學教師、需要學習高等數(shù)學的大學生、數(shù)學愛好者、數(shù)學研究者，以及數(shù)學教育的研究者參考。

作者簡介

張景中，1936年12月生，男，中國科學院院士，研究員，博士生指導教師。在計算機科學、數(shù)學和教育學等三方面的研究和實踐工作中做出了國際認的創(chuàng)新成果，為我國科技、教育事業(yè)的發(fā)展做出了重大貢獻。 張景中院士在數(shù)學研究工作中取得了國內(nèi)外同行公認的成就，特別是在動力

書籍目錄

總序代序努力掌握微積分思想的精髓前言  微積分發(fā)展過程回顧與展望第1章  微積分鳥瞰  1.1  四類問題催生微積分  1.2  局部和總體的基本關系  1.3  切線問題初探  1.4  函數(shù)的增減與最值初探  1.5  拋物線弓形的面積  1.6第1章小結(jié)第2章  乙函數(shù)和導數(shù)  2.1  差分和差商  2.2  甲函數(shù)和乙函數(shù)  2.3  估值不等式的初步應用和發(fā)展  2.4  函數(shù)的導數(shù)和微分  2.5第2章小結(jié)第3章  導數(shù)應用初步  3.1  關于瞬時速度的思考  3.2  曲線的切線  3.3  函數(shù)的穩(wěn)定點和極值點第4章  初等函數(shù)微分法  4.1  計算導數(shù)的法則  4.2  指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)  4.3第4章小結(jié)第5章  導數(shù)的更多應用  5.1  函數(shù)曲線的凸性  5.2  參數(shù)方程曲線的切線第6章  微積分基本定理  6.1  積分系統(tǒng)和定積分  6.2  微積分基本定理  6.3  積分系統(tǒng)惟一性的討淪第7章  定積分的初步應用  7.1  面積和體積的計算  7.2  變力所做的功第8章  積分法初步  8.1  原函數(shù)和不定積分  8.2  基本積分表  8.3  求不定積分的分拆與分部方法  8.4  求不定積分的換元法  8.5  定積分換元積分法和分部積分法第9章  定積分的更多應用  9.1  一般曲線包圍的面積  9.2  平面曲線的弧長第10章  泰勒公式  10.1  從微積分基本定理導出泰勒公式  10.2  用導數(shù)性質(zhì)估計泰勒公式余項  10.3  泰勒公式的初步應用第11章  實數(shù)與連續(xù)性  11.1  實數(shù)系統(tǒng)的特性  11.2  反函數(shù)的存在性  11.3  定積分的存在性第12章  數(shù)列極限與無窮級數(shù)  12.1  數(shù)列的極限  12.2  無窮級數(shù)求和  12.3  無窮級數(shù)收斂判別法第13章  函數(shù)的極限  13.1  函數(shù)極限的概念  13.2  函數(shù)極限計算初步  13.3  廣義積分  13.4  函數(shù)圖像的漸近線第14章  點式連續(xù)與點式可導  14.1  函數(shù)在一點連續(xù)的概念  14.2  閉區(qū)間上點點連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  14.3  函數(shù)在一點可導的概念  14.4  微分中值定理第15章  趨于無窮的量的比較  15.1  無窮大和無窮小的階  15.2  洛必達法則第16章  函數(shù)項級數(shù)  16.1  函數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)  16.2  冪級數(shù)的性質(zhì)  16.3  三角級數(shù)第17章  黎曼積分與可積性  17.1  黎曼積分的概念和黎曼可積性  17.2  黎曼可積性與積分系統(tǒng)惟一性的關系第18章  初識微分方程  18.1  多元函數(shù)的微分和偏導數(shù)  18.2  微分方程的概念  18.3  簡單的一階常微分方程  18.4  簡單的二階常微分方程參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 微積分鳥瞰總體均值必在某兩個局部均值之間微積分的基本問題都能由此獲得解答。1.1 四類問題催生微積分微積分誕生于17世紀。工業(yè)和科技的發(fā)展向數(shù)學提出了許多問題，其中有老的也有新的。對這些問題的研究，使微積分作為一門學科而誕生。主要是四類問題。第一類，求運動物體的瞬時速度。第二類，求作曲線上任意點處的切線。第三類，求函數(shù)的最大值和最小值。第四類，求曲線長、面積、體積、物體重心等。前兩類，是根據(jù)事物的總體性質(zhì)求局部性質(zhì)。后兩類，是根據(jù)事物的局部性質(zhì)求總體性質(zhì)。局部和總體之間，最基本的關系是什么呢？走進教育數(shù)學直來直去的微積分1.2 局部和總體的基本關系先看瞬時速度問題。劉翔用12.88秒的成績創(chuàng)造了男子110米欄世界紀錄。容易算出，他在這12.88秒內(nèi)的平均速度是110/12.88≈8.54m/s，這描述了這段奔跑的總體性質(zhì)。但他在這12.88秒內(nèi)的不同時刻的速度，即所謂瞬時速度，卻可能因時而異，不盡相同。那么，瞬時速度的大小和平均速度8.54m/s之間，有沒有什么關系？對勻速運動，瞬時速度等于平均速度。2對非勻速運動，瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小。總之，瞬時速度有時不小于平均速度，有時不大于平均速度。如何把這種關系數(shù)學化，并用數(shù)學符號表達出來呢？把奔跑的劉翔抽象為一個在直線上運動的質(zhì)點，其運動過程可以用一個函數(shù)S＝S（t）來描述。S（t）表示質(zhì)點在時刻t走過的路程，V＝V（t）表示質(zhì)點在時刻t的瞬時速度。從時刻u到v走過的路程是S（v）-S（u），于是時間段［u，v］上的平均速度＝S（v）-S（u）。

媒體關注與評論

改造數(shù)學使之更適宜于教學和學習，是教育數(shù)學為自己提出的任務。把學數(shù)學比作吃核桃。核桃仁美味而富。有營養(yǎng)，但要樞開才能吃到它。數(shù)學教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營養(yǎng)，更容易砸開吃凈。翻翻這風格不同并且內(nèi)容迥異的10本書，教育。數(shù)學領域的現(xiàn)狀歷歷在目。這是一個開放求新的園地，一個蓬勃發(fā)展的領域。在這里耕耘勞作的人們，想的是教育，做的是數(shù)學，為教育而研究數(shù)學，通過豐富發(fā)展數(shù)學而推進教育。提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味：凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學。這樣的書，數(shù)學教師不可不讀，數(shù)學教育的研究者不可不讀。　　——張景中

編輯推薦

《直來直去的微積分》編輯推薦：拉格朗日試圖不用極限或無窮小等概念來建立微積分學而未能成功。其名著《解析函數(shù)論》的副標題“不用無窮小或正在消失的量或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限的代數(shù)分析的藝術”描繪出他的夢、《直來直去的微積分》中拉格朗日之夢終于成為現(xiàn)實，但思路之平凡簡單可能出乎其預料。

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