直來直去的微積分

前言

看到本叢書，多數(shù)人會(huì)問這樣的問題：“什么是教育數(shù)學(xué)？”“教育數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育有何不同？”簡(jiǎn)單說，改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。把學(xué)數(shù)學(xué)比作吃核桃。核桃仁美味而富有營(yíng)養(yǎng)，但要砸開才能吃到它。有些核桃，外殼與核仁緊密相依，成都人形象地叫它們“夾米子核桃”，如若砸不得法，砸開了還很難吃到。數(shù)學(xué)教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學(xué)呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更關(guān)味，更營(yíng)養(yǎng)，更容易砸開吃凈?！敖逃龜?shù)學(xué)”的提法，最早出現(xiàn)在筆者1989年所寫的《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中。其實(shí)，教育數(shù)學(xué)的活動(dòng)早已有之，如歐幾里得著《幾何原本》、柯西寫《分析教程》，都是教育數(shù)學(xué)的經(jīng)典之作。

內(nèi)容概要

本書從常識(shí)性的平凡道理出發(fā)，不用極限概念也不用無窮小概念，直截了當(dāng)?shù)囟x了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明了導(dǎo)數(shù)的常用性質(zhì)；定義了定積分，推出了微積分基本定理。嚴(yán)謹(jǐn)而不失直觀的推理，顛覆了微積分必須以極限概念為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀點(diǎn)。全書共18章，前10章用作者發(fā)現(xiàn)的新方法構(gòu)建了一元微積分的邏輯框架；后8章闡述新方法與傳統(tǒng)體系的關(guān)系和接軌的方案，以及一些重要的微積分知識(shí)。本書化解了傳統(tǒng)微積分教學(xué)的若干最大難點(diǎn)，為建立高中和大學(xué)的微積分新體系描繪了藍(lán)圖。    本書可供中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教師、需要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生、數(shù)學(xué)愛好者、數(shù)學(xué)研究者，以及數(shù)學(xué)教育的研究者參考。

作者簡(jiǎn)介

張景中，1936年12月生，男，中國(guó)科學(xué)院院士，研究員，博士生指導(dǎo)教師。在計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)和教育學(xué)等三方面的研究和實(shí)踐工作中做出了國(guó)際認(rèn)的創(chuàng)新成果，為我國(guó)科技、教育事業(yè)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。 張景中院士在數(shù)學(xué)研究工作中取得了國(guó)內(nèi)外同行公認(rèn)的成就，特別是在動(dòng)力

書籍目錄

總序代序努力掌握微積分思想的精髓前言  微積分發(fā)展過程回顧與展望第1章  微積分鳥瞰  1.1  四類問題催生微積分  1.2  局部和總體的基本關(guān)系  1.3  切線問題初探  1.4  函數(shù)的增減與最值初探  1.5  拋物線弓形的面積  1.6第1章小結(jié)第2章  乙函數(shù)和導(dǎo)數(shù)  2.1  差分和差商  2.2  甲函數(shù)和乙函數(shù)  2.3  估值不等式的初步應(yīng)用和發(fā)展  2.4  函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分  2.5第2章小結(jié)第3章  導(dǎo)數(shù)應(yīng)用初步  3.1  關(guān)于瞬時(shí)速度的思考  3.2  曲線的切線  3.3  函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)和極值點(diǎn)第4章  初等函數(shù)微分法  4.1  計(jì)算導(dǎo)數(shù)的法則  4.2  指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  4.3第4章小結(jié)第5章  導(dǎo)數(shù)的更多應(yīng)用  5.1  函數(shù)曲線的凸性  5.2  參數(shù)方程曲線的切線第6章  微積分基本定理  6.1  積分系統(tǒng)和定積分  6.2  微積分基本定理  6.3  積分系統(tǒng)惟一性的討淪第7章  定積分的初步應(yīng)用  7.1  面積和體積的計(jì)算  7.2  變力所做的功第8章  積分法初步  8.1  原函數(shù)和不定積分  8.2  基本積分表  8.3  求不定積分的分拆與分部方法  8.4  求不定積分的換元法  8.5  定積分換元積分法和分部積分法第9章  定積分的更多應(yīng)用  9.1  一般曲線包圍的面積  9.2  平面曲線的弧長(zhǎng)第10章  泰勒公式  10.1  從微積分基本定理導(dǎo)出泰勒公式  10.2  用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)估計(jì)泰勒公式余項(xiàng)  10.3  泰勒公式的初步應(yīng)用第11章  實(shí)數(shù)與連續(xù)性  11.1  實(shí)數(shù)系統(tǒng)的特性  11.2  反函數(shù)的存在性  11.3  定積分的存在性第12章  數(shù)列極限與無窮級(jí)數(shù)  12.1  數(shù)列的極限  12.2  無窮級(jí)數(shù)求和  12.3  無窮級(jí)數(shù)收斂判別法第13章  函數(shù)的極限  13.1  函數(shù)極限的概念  13.2  函數(shù)極限計(jì)算初步  13.3  廣義積分  13.4  函數(shù)圖像的漸近線第14章  點(diǎn)式連續(xù)與點(diǎn)式可導(dǎo)  14.1  函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念  14.2  閉區(qū)間上點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)  14.3  函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的概念  14.4  微分中值定理第15章  趨于無窮的量的比較  15.1  無窮大和無窮小的階  15.2  洛必達(dá)法則第16章  函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)  16.1  函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)  16.2  冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)  16.3  三角級(jí)數(shù)第17章  黎曼積分與可積性  17.1  黎曼積分的概念和黎曼可積性  17.2  黎曼可積性與積分系統(tǒng)惟一性的關(guān)系第18章  初識(shí)微分方程  18.1  多元函數(shù)的微分和偏導(dǎo)數(shù)  18.2  微分方程的概念  18.3  簡(jiǎn)單的一階常微分方程  18.4  簡(jiǎn)單的二階常微分方程參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 微積分鳥瞰總體均值必在某兩個(gè)局部均值之間微積分的基本問題都能由此獲得解答。1.1 四類問題催生微積分微積分誕生于17世紀(jì)。工業(yè)和科技的發(fā)展向數(shù)學(xué)提出了許多問題，其中有老的也有新的。對(duì)這些問題的研究，使微積分作為一門學(xué)科而誕生。主要是四類問題。第一類，求運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。第二類，求作曲線上任意點(diǎn)處的切線。第三類，求函數(shù)的最大值和最小值。第四類，求曲線長(zhǎng)、面積、體積、物體重心等。前兩類，是根據(jù)事物的總體性質(zhì)求局部性質(zhì)。后兩類，是根據(jù)事物的局部性質(zhì)求總體性質(zhì)。局部和總體之間，最基本的關(guān)系是什么呢？走進(jìn)教育數(shù)學(xué)直來直去的微積分1.2 局部和總體的基本關(guān)系先看瞬時(shí)速度問題。劉翔用12.88秒的成績(jī)創(chuàng)造了男子110米欄世界紀(jì)錄。容易算出，他在這12.88秒內(nèi)的平均速度是110/12.88≈8.54m/s，這描述了這段奔跑的總體性質(zhì)。但他在這12.88秒內(nèi)的不同時(shí)刻的速度，即所謂瞬時(shí)速度，卻可能因時(shí)而異，不盡相同。那么，瞬時(shí)速度的大小和平均速度8.54m/s之間，有沒有什么關(guān)系？對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速度等于平均速度。2對(duì)非勻速運(yùn)動(dòng)，瞬時(shí)速度有時(shí)比平均速度大，有時(shí)比平均速度小?？傊?，瞬時(shí)速度有時(shí)不小于平均速度，有時(shí)不大于平均速度。如何把這種關(guān)系數(shù)學(xué)化，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來呢？把奔跑的劉翔抽象為一個(gè)在直線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)過程可以用一個(gè)函數(shù)S＝S（t）來描述。S（t）表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t走過的路程，V＝V（t）表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度。從時(shí)刻u到v走過的路程是S（v）-S（u），于是時(shí)間段［u，v］上的平均速度＝S（v）-S（u）。

媒體關(guān)注與評(píng)論

改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。把學(xué)數(shù)學(xué)比作吃核桃。核桃仁美味而富。有營(yíng)養(yǎng)，但要樞開才能吃到它。數(shù)學(xué)教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學(xué)呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營(yíng)養(yǎng)，更容易砸開吃凈。翻翻這風(fēng)格不同并且內(nèi)容迥異的10本書，教育。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的現(xiàn)狀歷歷在目。這是一個(gè)開放求新的園地，一個(gè)蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域。在這里耕耘勞作的人們，想的是教育，做的是數(shù)學(xué)，為教育而研究數(shù)學(xué)，通過豐富發(fā)展數(shù)學(xué)而推進(jìn)教育。提出新定義新概念，建立新方法新體系，發(fā)掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味：凡此種種，無不是為教育而做數(shù)學(xué)。這樣的書，數(shù)學(xué)教師不可不讀，數(shù)學(xué)教育的研究者不可不讀?！　　獜埦爸?/pre>


編輯推薦
《直來直去的微積分》編輯推薦：拉格朗日試圖不用極限或無窮小等概念來建立微積分學(xué)而未能成功。其名著《解析函數(shù)論》的副標(biāo)題“不用無窮小或正在消失的量或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限的代數(shù)分析的藝術(shù)”描繪出他的夢(mèng)、《直來直去的微積分》中拉格朗日之夢(mèng)終于成為現(xiàn)實(shí)，但思路之平凡簡(jiǎn)單可能出乎其預(yù)料。





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