華羅庚文集

前言

本書的序文已經(jīng)寫了不止一次，修改了也不止一次，原因是十多年來作者對數(shù)學(xué)的認(rèn)識變化了，客觀要求也不同了，而本書的內(nèi)容也大大地隨時代而發(fā)展了，因此舊的序文也就不適用于今日了！一切還是那么清晰地在記憶之中，那是1940年左右在昆明聯(lián)大初次講授數(shù)論的時候，就計劃著要寫這么一本書，那時根據(jù)已有的札記和若干新作就寫了八九萬字的初稿，估計著再寫兩三萬字，就可以出版了，但是何處可以出版？因此也就上不起勁來完成這一工作了，在美國執(zhí)教的時候，又補(bǔ)充了些，改寫了些，但那時補(bǔ)充和改寫都是為了教學(xué)而并沒有考慮整個書的出版問題，真正積極認(rèn)真地工作是解放以后的事，因為我國的參考書少，因此這一本把數(shù)論做一個全面介紹的書的寫作工作就被提到日程上來，解放后工作更忙了，但是說也奇怪，在同志們的幫助下，工作進(jìn)行得反而更快了！篇幅大大地增加了，并且添了一半以上的新章節(jié)，采取了不少近年來的新成就——可以包括在本書范圍之內(nèi)的新成就，本書的目的除掉較全面地介紹數(shù)論上的若干基礎(chǔ)知識以外，作者還試圖通過本書體現(xiàn)出幾點粗淺的看法：其一，希望能通過本書具體地說明一下數(shù)論和數(shù)學(xué)中其他部分的關(guān)系，在數(shù)學(xué)史上屢見不鮮地出現(xiàn)過數(shù)論中的問題、方法和概念曾經(jīng)影響過數(shù)學(xué)的其他部分的發(fā)展，同時另一方面也屢見數(shù)學(xué)中其他部分的方法和結(jié)果幫助了數(shù)論解決其中的具體問題，但是在今天的數(shù)論入門書中往往不能看出這一關(guān)聯(lián)性，并且有一些“自給自足”的數(shù)論入門書會給讀者以不正確的印象：就是數(shù)論是數(shù)學(xué)中一個孤立的分支，作者試圖在本書中就初等數(shù)論的范圍盡可能地說明，數(shù)論和數(shù)學(xué)中的其他方面有聯(lián)系。

內(nèi)容概要

全書共二十章，前六章是屬于基礎(chǔ)知識，內(nèi)容包括：整數(shù)分解、同余式、二次剩余、多項式之性質(zhì)、素數(shù)分布概況、數(shù)論函數(shù)等；后十四章是就解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、超越數(shù)論、數(shù)的幾何這幾個數(shù)論主要分支的基礎(chǔ)部分加以介紹，內(nèi)容包括：三角和、數(shù)的分拆、素數(shù)定理、連分?jǐn)?shù)、不定方程、二元二次型、模變換、整數(shù)矩陣、p-adic數(shù)、代數(shù)數(shù)淪導(dǎo)引、超越數(shù)、Waring問題與Prouhet-Tarry問題、數(shù)的幾何等，書里引述廠許多我國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)論上的成就，也包含了許多近代數(shù)論中的重要成果，例如著者關(guān)于完整三角和及最小原根的結(jié)果、關(guān)于Prouhet-Tarry問題的結(jié)果、Basorpaaos關(guān)于最小二次非剩余的結(jié)果、Selberg關(guān)于素數(shù)定理的初等證明，RothSiegel定理、A.O.關(guān)于Hilbert第七問題的證明、Siegel關(guān)于二元二次型類數(shù)的定理 關(guān)于Waring問題的證明關(guān)于問題的結(jié)果、Selberg的篩法等等；書中也包括了著者許多未經(jīng)發(fā)表的結(jié)果。    本書是以深入淺出、循序漸進(jìn)的筆法寫成的，讀者可以通過它看出如何從一個簡單的概念逐步走向深刻的研究，看出具體與抽象之間的聯(lián)系。

書籍目錄

序符號說明第一章  整數(shù)之分解  §1  整除性  §2  素數(shù)及復(fù)合數(shù)  §3  素數(shù)  §4  整數(shù)之模  §5  唯一分解定理  §6  最大公因數(shù)及最小公倍數(shù)  §7  逐步淘汰原則  §8  一次不定方程之解  §9  完全數(shù)  §10  Mersenne數(shù)及Fermat數(shù)  §11  連乘積中素因數(shù)之方次數(shù)  §12  整值多項式  §13  多項式之分解第二章  同余式  §1  定義  §2  同余式之基本性質(zhì)  §3  縮剩余系  §4  ρ2可整除2ρ-1—1否?  §5  ф(m)之討論  §6  同余方程  §7  孫子定理  §8  高次同余式  §9  素數(shù)乘方為模之高次同余方程  §10  Wolstenholme定理第三章  二次剩余  §1  定義及Euler判別條件  §2  計算法則  §3  互逆定律  §4  實際算法  §5  二次同余式之根數(shù)  §6  Jacobi符號  §7  二項同余式  §8  原根及指數(shù)  §9  縮系之構(gòu)造第四章  多項式之性質(zhì)  §1  多項式之整除性  §2  唯一分解定理  §3  同余式  §4  整系數(shù)多項式  §5  以素數(shù)為模之多項式  §6  若干關(guān)于分解之定理  §7  重模同余式  §8  Fermat定理之推廣  §9  對模ρ之不可化多項式  §10  原根  §11  總結(jié)第五章  素數(shù)分布之概況  §1  無窮大之階  §2  對數(shù)函數(shù)  §3  引言  §4  素數(shù)之個數(shù)無限  §5  幾乎全部整數(shù)皆非素數(shù)  §6  Чебышев定理  §7  Bertrand假設(shè)  §8  以積分來估計和之?dāng)?shù)值  §9  Чебышев定理之推論  ……第六章  數(shù)論函數(shù) 第七章  三角和及特征第八章  與橢圓模函數(shù)有關(guān)的幾個數(shù)論問題第九章  素數(shù)定理第十章  漸進(jìn)法與連分?jǐn)?shù)第十一章  不定方程第十二章  二元二次型第十三章  模變換第十四章  整數(shù)矩陣及其應(yīng)用第十五章  p-adic第十六章  代數(shù)數(shù)論介紹第十七章  代數(shù)數(shù)與超越數(shù)第十八章  Waring問題及Prouhet-Tarry問題第十九章  Шнирельман密率第二十章  數(shù)的幾何參考文獻(xiàn)名詞索引

章節(jié)摘錄

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《華羅庚文集:數(shù)論卷2》是國家出版基金資助項目。

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