數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（第二冊）

前言

前言學(xué)數(shù)學(xué)必須演算習(xí)題，這是大家的共識。通過演算，我們不僅能熟悉理論的意義和應(yīng)用，掌握解題的方法和操作過程，同時還可以洞察理論本身的適應(yīng)性，預(yù)測其擴展前景。因此，關(guān)于數(shù)學(xué)各分支，都編寫出了眾多習(xí)題集或?qū)W習(xí)參考書，尤以微積分（或數(shù)學(xué)分析）類為最。作者在多年的教學(xué)實踐中，積累了相當(dāng)數(shù)量的練習(xí)題，且在培訓(xùn)學(xué)生過程中收到較好的效果?，F(xiàn)在，在科學(xué)出版社編輯的鼓勵下，把它們整理并編寫出來，供讀者參考，以開闊視野和啟發(fā)解題思路。本書以上?？茖W(xué)技術(shù)出版社（2002年）出版的枟數(shù)學(xué)分析枠教材為藍(lán)本。因此，書中所選習(xí)題的起點適當(dāng)提高，側(cè)重理論性和典范性，并力求多角度展示，但減少一般性習(xí)題以及在幾何、力學(xué)方面的應(yīng)用練習(xí)。解答也從簡，不再在文字上多下功夫。書中還添加若干注記，便于讀者加深認(rèn)識和厘清某些誤解。帶“倡”的習(xí)題可酌情閱讀。第二冊共分6章：定積分，反常積分，常數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)、Taylor級數(shù)，F(xiàn)ourier級數(shù)。由于作者的水平和視野所限，書中不足之處在所難免，歡迎讀者批評指正。作者2008年技重于練，巧重于悟。

內(nèi)容概要

本書是基于作者多年教學(xué)實踐的積累。整理編寫而成的。全書共有三冊。第一冊分為6章：實數(shù)與函數(shù)，極限論，連續(xù)函數(shù)，微分學(xué)(一)，微分學(xué)(二)，不定積分。第二冊分為6章：定積分，反常積分，常數(shù)項級數(shù)。函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)、Taylor級數(shù)，F(xiàn)ourier級數(shù)。第三冊分為8章：多元函數(shù)的極限與連續(xù)性，多元函數(shù)微分學(xué)，隱函數(shù)存在定理，一般極值與條件極值，含參變量的積分，重積分，曲線積分與曲面積分，各種積分之間的聯(lián)系。本書選擇的習(xí)題起點適當(dāng)提高，側(cè)重理論性和典范性。書中還添加了若干注記，便于讀者厘清某些誤解?！　”緯m合理工科院校及師范院校的本科生、研究生及教師參考使用。

書籍目錄

第1章 定積分 　1.1 定積分的概念、可積函數(shù)及其初等性質(zhì) 　　1.1.1 定積分的概念 　　1.1.2 可積函數(shù)類 　　1.1.3 可積函數(shù)的初等性質(zhì) 　1.2 微積分基本定理 　1.3 變限積分、原函數(shù) 　1.4 定積分計算的換元積分法 　1.5 定積分計算的分部積分法 　1.6 定積分中值公式 　　1.6.1 定積分第一中值公式 　　1.6.2 定積分第二中值公式 　1.7 Wallis公式、Stirling公式簡介 　1.8 定積分幾何應(yīng)用舉例 第2章 反常積分 　2.1 函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分 　　2.1.1 積分的定義、收斂積分的基本性質(zhì) 　　2.1.2 積分收斂與發(fā)散的判別法 　　　　2.1.3 積分的其他性質(zhì) 　2.2 無界函數(shù)的積分——瑕積分 　　2.2.1 積分的定義、收斂積分的基本性質(zhì) 　　2.2.2 積分收斂與發(fā)散的判別法 　　2.2.3 積分的其他性質(zhì) 　2.3 函數(shù)帶瑕點在無窮區(qū)間上的積分 第3章 常數(shù)項級數(shù) 　3.1 級數(shù)收斂的概念和必要條件、收斂級數(shù)的運算性質(zhì) 　3.2 正項級數(shù)收斂與發(fā)散的判別法 　　3.2.1 收斂級數(shù)的特征 　　3.2.2 級數(shù)收斂與發(fā)散的比較判別法 　　3.2.3 級數(shù)收斂與發(fā)散的比值、根值判別法 　　3.2.4 級數(shù)收斂與發(fā)散的比值型、根值型判別法 　　3.2.5 級數(shù)收斂與發(fā)散的對數(shù)判別法 　　3.2.6 級數(shù)收斂與發(fā)散的積分判別法 　3.3 一般項級數(shù)收斂與發(fā)散的判別法 　　3.3.1 級數(shù)收斂的充分必要條件 　　3.3.2 交錯級數(shù)收斂的判別法 　　3.3.3 級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 　　3.3.4 乘積項級數(shù)收斂的判別法 　　3.3.5 借助級數(shù)的方法來判別積分的收斂性 　3.4 兩個級數(shù)的乘積 第4章 函數(shù)項級數(shù) 　4.1 函數(shù)項級數(shù)的收斂域 　4.2 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念 　4.3 一致收斂的函數(shù)列或級數(shù)的初等性質(zhì)及其判別法 　　4.3.1 函數(shù)列的情形 　　4.3.2 函數(shù)項級數(shù)的情形 　4.4 函數(shù)性質(zhì)的傳遞——極限次序的交換 　　4.4.1 連續(xù)性質(zhì)的傳遞 　　4.4.2 積分性質(zhì)的傳遞 　　4.4.3 微分性質(zhì)的傳遞 　　4.4.4 附錄 第5章 冪級數(shù)、Taylor級數(shù) 　5.1 冪級數(shù)收斂區(qū)域的特征——收斂半徑 　　5.1.1 冪級數(shù)收斂半徑的概念 　　5.1.2 冪級數(shù)收斂半徑的求法 　　5.1.3 冪級數(shù)的收斂區(qū)域 　5.2 冪級數(shù)的一致收斂性及其和函數(shù)的性質(zhì) 　　5.2.1 基本定理 　　5.2.2 若干推廣結(jié)果 　　5.2.3 冪級數(shù)求和、某些應(yīng)用 　5.3 函數(shù)的冪級數(shù)展式——Taylor級數(shù) 　　5.3.1 求函數(shù)的Taylor級數(shù)展式的各種方法 　　5.3.2 函數(shù)的Taylor級數(shù)展式的各種應(yīng)用 　　5.3.3 關(guān)于函數(shù)(實)解析理論的幾點補充 　5.4 多項式逼近連續(xù)函數(shù) 　　5.4.1 連續(xù)函數(shù)逼近定理的各種推廣結(jié)果 　　5.4.2 逼近定理的若干應(yīng)用 第6章 Fourier級數(shù) 　6.1 以2π為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù) 　　6.1.1 Fourier系數(shù)與Fourier級數(shù)的概念 　　6.1.2 Fourier系數(shù)的性質(zhì) 　6.2 Fourier級數(shù)的收斂 　6.3 其他函數(shù)的Fourier級數(shù) 　　6.3.1 周期為2l的函數(shù) 　　6.3.2 僅定義在有界區(qū)間上的函數(shù) 　6.4 Fourier級數(shù)的其他收斂意義 　6.5 Fourier級數(shù)的微分和積分 　6.6 Fourier級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 補記

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 定積分1暢1定積分的概念、可積函數(shù)及其初等性質(zhì)1暢1暢1定積分的概念設(shè)f（x）是定義在［a，b］上的函數(shù)。（1）把［a，b］分成有限個子區(qū)間，即在［a，b］中插入有限個分點，一般都表示為Δ：a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，并形成一組n個相連的子區(qū)間［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n）。我們稱此為［a，b］的一個分劃（分割，記為Δ），并記Δxi＝xi－xi－1（i＝1，2，…，n）。以及‖Δ‖＝max｛Δx1，Δx2，…，Δxn｝，即各子區(qū)間長度之最大值，稱為分劃Δ的模。（2）在每個子區(qū)間中任取一點：ξi∈［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n），簡稱為插點組，并記為枙ξ枛。（3）把分劃Δ的各子區(qū)間與插點組枙ξ枛上相應(yīng)的函數(shù)值組成和式SΔ＝SΔ（f，ξ）＝Σni＝1f（ξi）Δxi＝Σni＝1f（ξi）（xi－xi－1），稱為f（x）在［a，b］上的Riemann積分和，簡稱為積分和，其值與分劃Δ、插點組枙ξ枛的取法有關(guān)。定義1暢1暢1若有實數(shù)J，對任給的ε＞0，存在δ＞0，使得對滿足‖Δ‖＜δ的任意分劃Δ，以及任取的插點組枙ξ枛，均有｜SΔ（f，ξ）－J｜＜ε，則稱f（x）在［a，b］上是（Riemann）可積的，或說f（x）在［a，b］上的（Riemann）定積分存在，并簡記為lim‖Δ‖→0SΔ（f，ξ）＝J，lim‖Δ‖→0Σni＝1f（ξi）Δxi＝J。數(shù)值J稱為f（x）在［a，b］上的定積分，并記為J＝∫baf（x）dx。也簡稱為f（x）從a到b的定積分（值），a稱為積分下限，b稱為積分上限。我們約定∫aaf（x）dx＝0；∫abf（x）dx＝－∫baf（x）dx。定理1暢1暢1若f（x）在［a，b］上可積，則其積分值是唯一的。定理1暢1暢2（函數(shù)可積的必要條件）若f（x）在［a，b］上可積，則f（x）在［a，b］上有界。注有界函數(shù)不一定可積，例如Dirichlet函數(shù)D（x）＝1，x是有理數(shù)，0，x是無理數(shù)。

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《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練(第2冊)(第2版)》是由科學(xué)出版社出版的。

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