基于Mathcad的地理數(shù)據(jù)分析

前言

要想成功地掌握一門數(shù)學(xué)方法，至少要熟悉如下幾個環(huán)節(jié)：一是基本原理，即一種方法的理論基礎(chǔ)和邏輯過程；二是應(yīng)用范圍，任何一種方法都有其自身的特長和功能局限，認(rèn)識其優(yōu)勢和不足，才能真正有效地運(yùn)用；三是算法或者運(yùn)算規(guī)則系統(tǒng)，即一種為在有限步驟內(nèi)解決數(shù)學(xué)問題而建立的可重復(fù)應(yīng)用的計算流程體系；四是計算過程，即在一種方法的適用范圍內(nèi)，給定一組觀測數(shù)據(jù)，如何借助一定的算法獲取所要求的計算結(jié)果；五是典型實(shí)例，亦即一種數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于實(shí)際問題的具體案例。如果還想進(jìn)一步加深對一種數(shù)學(xué)方法的了解，還有第六個環(huán)節(jié)，那就是不同方法的融會貫通。目前學(xué)習(xí)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)方法的基本原理都要求讀者具備良好的高等數(shù)學(xué)知識，包括微積分、線性代數(shù)和概率與數(shù)理統(tǒng)計。不過，高等數(shù)學(xué)知識僅僅是掌握一種數(shù)學(xué)方法的必要條件。有了高等數(shù)學(xué)知識，就可以比較透徹地了解一種數(shù)學(xué)方法的邏輯結(jié)構(gòu)，從而明確其內(nèi)在原理。掌握了一種方法的基本原理，大體上可以懂得其適用范圍和功能局限。但所有這些，僅僅限于理論層面。要想借助相應(yīng)的算法，將一種數(shù)學(xué)原理有效地應(yīng)用于實(shí)際問題，學(xué)會計算過程是非常關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)。任何一個數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用者，只有打通這一個環(huán)節(jié)，才能在方法的運(yùn)用方面盡可能地?fù)P長避短。計算過程和典型實(shí)例是相輔相成的，典型實(shí)例是計算過程的結(jié)果，計算過程通常借助典型實(shí)例來顯示其技術(shù)路線。以最基本的數(shù)學(xué)方法-一回歸分析為例，學(xué)習(xí)該方法涉及如下過程。在基本思想方面，回歸建模就是用數(shù)學(xué)語言刻畫一組變量與某個變量之間的相關(guān)關(guān)系或者因果關(guān)系。關(guān)系的強(qiáng)弱通過回歸系數(shù)表現(xiàn)出來，回歸分析的核心問題就是模型參數(shù)值的估計。為此，需要一種有效的算法。目前的回歸分析算法主要采用誤差平方和最小的方法，即所謂最小二乘法。在這個過程中，首先要采用線性方程組進(jìn)行描述，理論上用到線性代數(shù)的知識；其次尋求誤差平方和最小時的參數(shù)估計結(jié)果，理論上用到微積分的條件極值方法；在回歸結(jié)果檢驗(yàn)過程中，涉及誤差的正態(tài)分布思想，這在理論上又用到大量的概率論和統(tǒng)計學(xué)原理?？墒?，雖然很多讀者明白上述道理，但在具體應(yīng)用過程中依然覺得似是而非。究其原因，主要在于不了解計算過程，沒有掌握簡明易懂的計算范例。

內(nèi)容概要

本書面向地理問題，基于Mathcad軟件，講述了大量數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用思路和過程。教學(xué)內(nèi)容涉及回歸分析、主成分分析、聚類分析、時(空)間序列分析、Markov鏈、R／S分析、線性規(guī)劃、層次分析法、灰色系統(tǒng)GM(1，N)建模和預(yù)測方法等。通過模仿本書介紹的計算過程，讀者可以加深對有關(guān)數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識和理解，并且掌握很多Mathcad的應(yīng)用技巧。    本書雖然是以地理數(shù)據(jù)為分析對象展開論述，但所涉及的內(nèi)容絕大多數(shù)為通用方法。只要改變數(shù)據(jù)的來源，書中論述的計算流程完全可以應(yīng)用到其他領(lǐng)域。    本書的初稿和修改稿先后在北京大學(xué)城市與環(huán)境專業(yè)研究生教學(xué)中試用八年，可供地理學(xué)、生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)乃至醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的學(xué)生、研究人員以及工程技術(shù)人員參考。

書籍目錄

前言第1章  一元線性回歸分析  1.1  建立數(shù)據(jù)表  1.2  繪制散點(diǎn)圖  1.3  回歸分析  1.4  統(tǒng)計檢驗(yàn)  1.5  預(yù)測分析與計算過程總結(jié)  1.6  小結(jié)第2章  多元線性回歸分析  2.1  模型擬合  2.2  模型參數(shù)檢驗(yàn)  2.3  殘差圖的繪制  2.4  第二輪回歸  2.5  小結(jié)第3章  逐步回歸分析  3.1  數(shù)據(jù)預(yù)備工作  3.2  變量引入的計算過程  3.3  參數(shù)估計和模型建立  3.4  模型參數(shù)的進(jìn)一步驗(yàn)證  3.5  模型檢驗(yàn)  3.6  小結(jié)第4章  非線性回歸分析  4.1  常見數(shù)學(xué)模型表達(dá)式  4.2  常見實(shí)例——一變量的情形  4.3  常見實(shí)例——一變量化為多變量的情形  4.4  常見實(shí)例——多變量的情形  4.5  常見三參數(shù)模型擬合  4.6  廣義擬合  4.7  小結(jié)第5章  主成分分析  5.1  基本思路  5.2  準(zhǔn)備工作  5.3  計算過程與相關(guān)驗(yàn)證  5.4  從協(xié)方差矩陣出發(fā)  5.5  小結(jié)第6章  系統(tǒng)聚類分析  6.1  實(shí)例來源與距離公式  6.2  計算距離矩陣  6.3  聚類過程  6.4  聚類結(jié)果評價  6.5  小結(jié)第7章  距離判別分析  7.1  數(shù)據(jù)的預(yù)處理  7.2  計算過程  7.3  判別函數(shù)檢驗(yàn)  7.4  樣品的判別與歸類  7.5  借助回歸分析建立判別函數(shù)  7.6  小結(jié)第8章  自相關(guān)分析  8.1  自相關(guān)函數(shù)(ACF)  8.2  偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)  8.3  自相關(guān)分析  8.4  計算過程總結(jié)  8.5  小結(jié)第9章  自回歸分析  9.1  樣本數(shù)據(jù)的初步分析  9.2  自回歸模型的回歸估計  9.3  數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化及其自回歸模型  9.4  小結(jié)第10章  譜分析  10.1  功率譜分析  10.2  波譜分析  10.3  小結(jié)第11章  Markov鏈分析  11.1  Markov鏈的概率轉(zhuǎn)移矩陣  11.2  Markov鏈分析方法  11.3  固定向量的計算方法  11.4  小結(jié)第12章  R／S分析  12.1  R／S分析方法  12.2  編程計算  12.3  自相關(guān)系數(shù)和R／S分析  12.4  小結(jié)第13章  線性規(guī)劃  13.1  準(zhǔn)備工作  13.2  普通規(guī)劃求解實(shí)例  13.3  整數(shù)規(guī)劃問題實(shí)例  13.4  非線性規(guī)劃及其對偶問題實(shí)例  13.5  小結(jié)第14章  層次分析法(AHP)  14.1  問題與模型  14.2  計算方法  14.3  結(jié)果解釋  14.4  小結(jié)第15章  GM(1，1)預(yù)測模型  15.1  GM(1，1)模型表示  15.2  計算過程  15.3  三參數(shù)指數(shù)模型  15.4  利用線性回歸分析估計GM(1，1)模型參數(shù)  15.5  小結(jié)第16章  GM(1，N)預(yù)測模型  16.1  模型建立  16.2  模型檢驗(yàn)  16.3  小結(jié)參考文獻(xiàn)后記

章節(jié)摘錄

插圖：主成分分析既可以從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)，也可以從協(xié)方差矩陣出發(fā)。當(dāng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化之后，相關(guān)系數(shù)矩陣和協(xié)方差矩陣?yán)碚撋蠜]有分別，因此無論從哪一種矩陣出發(fā)都是一樣?？墒牵?dāng)數(shù)據(jù)未經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的時候，從協(xié)方差矩陣出發(fā)得到的結(jié)果與從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)得到的結(jié)果是不同的。在此需要明確兩點(diǎn)。第一，只有當(dāng)數(shù)據(jù)的量綱一致的前提下，才可以在未經(jīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的前提下從協(xié)方差矩陣出發(fā)開展主成分分析；第二，當(dāng)分不清楚應(yīng)該從哪種矩陣出發(fā)的情況下，不妨選擇從相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)。本章僅僅給出了求解主成分模型的技術(shù)思路，沒有結(jié)合研究對象開展實(shí)例分析一～基于實(shí)例的應(yīng)用分析可以參閱主教材。實(shí)際上，對于很多讀者而言，找到主成分分析的應(yīng)用實(shí)例不是難事，關(guān)鍵是如何理解主成分模型的求解過程。這一章內(nèi)容整理了主成分模型的較為詳細(xì)的求解路徑。模仿本章的計算過程，有助于加深對主成分分析方法的數(shù)學(xué)理解。最后再次提示如下幾點(diǎn)。其一，在Mathcad中，如果一個函數(shù)或者定義用到上一個函數(shù)或者定義的計算結(jié)果，則這個函數(shù)或者定義一定要排列在前一個函數(shù)或者定義的右邊或者下方，不得超過上一個函數(shù)或定義所在位置的水平線。其二，在滿足第一條的情況下，除了特征根和特征向量的計算命令要平行排列之外，其余的命令排列比較隨意。如果這一條不滿足，主成分得分的計算可能不正確。其三，Mathcad給出的主成分不完全是根據(jù)方差大小排列的，但只要滿足第二條，主成分的方差與特征根是一一對應(yīng)的。由于我們實(shí)際工作僅僅用到前面幾個主成分或者因子，后面的排列順序無關(guān)緊要。

后記

Mathcad是筆者最早使用的一個數(shù)學(xué)軟件。在此之前，筆者在教學(xué)和研究中的很多數(shù)學(xué)計算是借助于高級計算器完成的，更復(fù)雜一些的工作則是編寫B(tài)ASIC程序，利用計算機(jī)計算。借助計算器開展數(shù)學(xué)計算有一個好處，那就是迫使筆者深人鉆研有關(guān)數(shù)學(xué)原理，提高數(shù)學(xué)計算水平——不明白原理就無法分解問題、利用計算器執(zhí)行計算工作。然而，利用計算器的缺陷也是非常明顯的：一是耗費(fèi)時間太長，二是由于計算過程不連貫而容易出錯，三是無法處理數(shù)據(jù)量大的計算問題。采用BASIC編程固然可以解決相對復(fù)雜的問題，但也費(fèi)時、費(fèi)事，且結(jié)果不夠直觀。大約在2000年的時候，北京大學(xué)教育技術(shù)系的研究生陳高偉告訴筆者，他正在學(xué)習(xí)一種稱為Mathcad的數(shù)學(xué)軟件。于是，筆者請他幫我演示一下這個軟件的繪圖功能和計算功能。這兩種功能在數(shù)學(xué)建模和數(shù)理分析中非?；?。從數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用視角看來，Mathcad的繪圖功能并不顯得十分突出，但其在數(shù)學(xué)計算方面卻具有自身的顯著優(yōu)點(diǎn)。Mathcad的工作界面就像一張大白紙，可以在上面隨意書寫各種數(shù)學(xué)公式，按照一定的次序開展隨心所欲的運(yùn)算。該軟件將菜單顯示和編程計算有效結(jié)合，應(yīng)用起來相當(dāng)方便。從此以后，該軟件就像Excel一樣，成為筆者教學(xué)和研究工作不可或缺的數(shù)學(xué)工具。如果說借助Excel開展數(shù)學(xué)計算是一種享受的話，利用Mathcad開展數(shù)學(xué)分析則可以獲得另外一種異曲同工的享受。陳高偉后來去香港中文大學(xué)教育學(xué)院攻讀博士學(xué)位，從此以后我們失去了聯(lián)系。不論怎樣，筆者在此要感謝陳高偉博士，是他無意中向我揭示了Mathcad的世界。筆者特別感謝筆者的博士生導(dǎo)師周一星先生，正是周先生大力支持和長期鼓勵筆者開展地理數(shù)學(xué)方法的教學(xué)工作。感謝北京大學(xué)城市與環(huán)境學(xué)院的陳效逑教授，是他最先破格為筆者提供了地理數(shù)學(xué)方法教學(xué)實(shí)踐的機(jī)會；感謝北京大學(xué)城市與環(huán)境學(xué)院的蔡運(yùn)龍教授，他的“地理學(xué)研究方法”項目資助了本書的出版。感謝科學(xué)出版社科學(xué)分社的韓鵬先生和朱海燕女士，他們?yōu)楸緯某霭孀隽撕芏喙ぷ?。筆者還要感謝參考文獻(xiàn)中提到的部分作者，本書采用了他們的一些數(shù)據(jù)資料開發(fā)了本書的教學(xué)案例。最后，筆者感謝北京大學(xué)城市與環(huán)境專業(yè)的許多研究生和本科生，他們在學(xué)習(xí)作為試用教材的本書初稿過程中提出了許多改進(jìn)意見。書中的疏漏之處在所難免，筆者真誠地希望讀者發(fā)現(xiàn)之后及時指正，以便今后進(jìn)一步提高本書的質(zhì)量。

編輯推薦

《基于Mathcad的地理數(shù)據(jù)分析(附贈光盤1張)》由科學(xué)出版社出版。《基于Mathcad的地理數(shù)據(jù)分析(附贈光盤1張)》的初稿和修改稿先后在北京大學(xué)城市與環(huán)境專業(yè)研究生教學(xué)中試用八年，可供地理學(xué)、生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)乃至醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的學(xué)生、研究人員以及工程技術(shù)人員參考。

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