基于Mathcad的地理數(shù)據(jù)分析

前言

要想成功地掌握一門數(shù)學方法，至少要熟悉如下幾個環(huán)節(jié)：一是基本原理，即一種方法的理論基礎和邏輯過程；二是應用范圍，任何一種方法都有其自身的特長和功能局限，認識其優(yōu)勢和不足，才能真正有效地運用；三是算法或者運算規(guī)則系統(tǒng)，即一種為在有限步驟內解決數(shù)學問題而建立的可重復應用的計算流程體系；四是計算過程，即在一種方法的適用范圍內，給定一組觀測數(shù)據(jù)，如何借助一定的算法獲取所要求的計算結果；五是典型實例，亦即一種數(shù)學方法應用于實際問題的具體案例。如果還想進一步加深對一種數(shù)學方法的了解，還有第六個環(huán)節(jié)，那就是不同方法的融會貫通。目前學習絕大多數(shù)數(shù)學方法的基本原理都要求讀者具備良好的高等數(shù)學知識，包括微積分、線性代數(shù)和概率與數(shù)理統(tǒng)計。不過，高等數(shù)學知識僅僅是掌握一種數(shù)學方法的必要條件。有了高等數(shù)學知識，就可以比較透徹地了解一種數(shù)學方法的邏輯結構，從而明確其內在原理。掌握了一種方法的基本原理，大體上可以懂得其適用范圍和功能局限。但所有這些，僅僅限于理論層面。要想借助相應的算法，將一種數(shù)學原理有效地應用于實際問題，學會計算過程是非常關鍵的一個環(huán)節(jié)。任何一個數(shù)學方法的應用者，只有打通這一個環(huán)節(jié)，才能在方法的運用方面盡可能地揚長避短。計算過程和典型實例是相輔相成的，典型實例是計算過程的結果，計算過程通常借助典型實例來顯示其技術路線。以最基本的數(shù)學方法-一回歸分析為例，學習該方法涉及如下過程。在基本思想方面，回歸建模就是用數(shù)學語言刻畫一組變量與某個變量之間的相關關系或者因果關系。關系的強弱通過回歸系數(shù)表現(xiàn)出來，回歸分析的核心問題就是模型參數(shù)值的估計。為此，需要一種有效的算法。目前的回歸分析算法主要采用誤差平方和最小的方法，即所謂最小二乘法。在這個過程中，首先要采用線性方程組進行描述，理論上用到線性代數(shù)的知識；其次尋求誤差平方和最小時的參數(shù)估計結果，理論上用到微積分的條件極值方法；在回歸結果檢驗過程中，涉及誤差的正態(tài)分布思想，這在理論上又用到大量的概率論和統(tǒng)計學原理。可是，雖然很多讀者明白上述道理，但在具體應用過程中依然覺得似是而非。究其原因，主要在于不了解計算過程，沒有掌握簡明易懂的計算范例。

內容概要

本書面向地理問題，基于Mathcad軟件，講述了大量數(shù)學方法的應用思路和過程。教學內容涉及回歸分析、主成分分析、聚類分析、時(空)間序列分析、Markov鏈、R／S分析、線性規(guī)劃、層次分析法、灰色系統(tǒng)GM(1，N)建模和預測方法等。通過模仿本書介紹的計算過程，讀者可以加深對有關數(shù)學方法的認識和理解，并且掌握很多Mathcad的應用技巧。    本書雖然是以地理數(shù)據(jù)為分析對象展開論述，但所涉及的內容絕大多數(shù)為通用方法。只要改變數(shù)據(jù)的來源，書中論述的計算流程完全可以應用到其他領域。    本書的初稿和修改稿先后在北京大學城市與環(huán)境專業(yè)研究生教學中試用八年，可供地理學、生態(tài)學、環(huán)境科學、地質學、經濟學、城市規(guī)劃學乃至醫(yī)學、生物學等領域的學生、研究人員以及工程技術人員參考。

書籍目錄

前言第1章  一元線性回歸分析  1.1  建立數(shù)據(jù)表  1.2  繪制散點圖  1.3  回歸分析  1.4  統(tǒng)計檢驗  1.5  預測分析與計算過程總結  1.6  小結第2章  多元線性回歸分析  2.1  模型擬合  2.2  模型參數(shù)檢驗  2.3  殘差圖的繪制  2.4  第二輪回歸  2.5  小結第3章  逐步回歸分析  3.1  數(shù)據(jù)預備工作  3.2  變量引入的計算過程  3.3  參數(shù)估計和模型建立  3.4  模型參數(shù)的進一步驗證  3.5  模型檢驗  3.6  小結第4章  非線性回歸分析  4.1  常見數(shù)學模型表達式  4.2  常見實例——一變量的情形  4.3  常見實例——一變量化為多變量的情形  4.4  常見實例——多變量的情形  4.5  常見三參數(shù)模型擬合  4.6  廣義擬合  4.7  小結第5章  主成分分析  5.1  基本思路  5.2  準備工作  5.3  計算過程與相關驗證  5.4  從協(xié)方差矩陣出發(fā)  5.5  小結第6章  系統(tǒng)聚類分析  6.1  實例來源與距離公式  6.2  計算距離矩陣  6.3  聚類過程  6.4  聚類結果評價  6.5  小結第7章  距離判別分析  7.1  數(shù)據(jù)的預處理  7.2  計算過程  7.3  判別函數(shù)檢驗  7.4  樣品的判別與歸類  7.5  借助回歸分析建立判別函數(shù)  7.6  小結第8章  自相關分析  8.1  自相關函數(shù)(ACF)  8.2  偏自相關函數(shù)(PACF)  8.3  自相關分析  8.4  計算過程總結  8.5  小結第9章  自回歸分析  9.1  樣本數(shù)據(jù)的初步分析  9.2  自回歸模型的回歸估計  9.3  數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化及其自回歸模型  9.4  小結第10章  譜分析  10.1  功率譜分析  10.2  波譜分析  10.3  小結第11章  Markov鏈分析  11.1  Markov鏈的概率轉移矩陣  11.2  Markov鏈分析方法  11.3  固定向量的計算方法  11.4  小結第12章  R／S分析  12.1  R／S分析方法  12.2  編程計算  12.3  自相關系數(shù)和R／S分析  12.4  小結第13章  線性規(guī)劃  13.1  準備工作  13.2  普通規(guī)劃求解實例  13.3  整數(shù)規(guī)劃問題實例  13.4  非線性規(guī)劃及其對偶問題實例  13.5  小結第14章  層次分析法(AHP)  14.1  問題與模型  14.2  計算方法  14.3  結果解釋  14.4  小結第15章  GM(1，1)預測模型  15.1  GM(1，1)模型表示  15.2  計算過程  15.3  三參數(shù)指數(shù)模型  15.4  利用線性回歸分析估計GM(1，1)模型參數(shù)  15.5  小結第16章  GM(1，N)預測模型  16.1  模型建立  16.2  模型檢驗  16.3  小結參考文獻后記

章節(jié)摘錄

插圖：主成分分析既可以從相關系數(shù)矩陣出發(fā)，也可以從協(xié)方差矩陣出發(fā)。當數(shù)據(jù)標準化之后，相關系數(shù)矩陣和協(xié)方差矩陣理論上沒有分別，因此無論從哪一種矩陣出發(fā)都是一樣?？墒?，當數(shù)據(jù)未經標準化的時候，從協(xié)方差矩陣出發(fā)得到的結果與從相關系數(shù)矩陣出發(fā)得到的結果是不同的。在此需要明確兩點。第一，只有當數(shù)據(jù)的量綱一致的前提下，才可以在未經數(shù)據(jù)標準化的前提下從協(xié)方差矩陣出發(fā)開展主成分分析；第二，當分不清楚應該從哪種矩陣出發(fā)的情況下，不妨選擇從相關系數(shù)矩陣出發(fā)。本章僅僅給出了求解主成分模型的技術思路，沒有結合研究對象開展實例分析一～基于實例的應用分析可以參閱主教材。實際上，對于很多讀者而言，找到主成分分析的應用實例不是難事，關鍵是如何理解主成分模型的求解過程。這一章內容整理了主成分模型的較為詳細的求解路徑。模仿本章的計算過程，有助于加深對主成分分析方法的數(shù)學理解。最后再次提示如下幾點。其一，在Mathcad中，如果一個函數(shù)或者定義用到上一個函數(shù)或者定義的計算結果，則這個函數(shù)或者定義一定要排列在前一個函數(shù)或者定義的右邊或者下方，不得超過上一個函數(shù)或定義所在位置的水平線。其二，在滿足第一條的情況下，除了特征根和特征向量的計算命令要平行排列之外，其余的命令排列比較隨意。如果這一條不滿足，主成分得分的計算可能不正確。其三，Mathcad給出的主成分不完全是根據(jù)方差大小排列的，但只要滿足第二條，主成分的方差與特征根是一一對應的。由于我們實際工作僅僅用到前面幾個主成分或者因子，后面的排列順序無關緊要。

后記

Mathcad是筆者最早使用的一個數(shù)學軟件。在此之前，筆者在教學和研究中的很多數(shù)學計算是借助于高級計算器完成的，更復雜一些的工作則是編寫B(tài)ASIC程序，利用計算機計算。借助計算器開展數(shù)學計算有一個好處，那就是迫使筆者深人鉆研有關數(shù)學原理，提高數(shù)學計算水平——不明白原理就無法分解問題、利用計算器執(zhí)行計算工作。然而，利用計算器的缺陷也是非常明顯的：一是耗費時間太長，二是由于計算過程不連貫而容易出錯，三是無法處理數(shù)據(jù)量大的計算問題。采用BASIC編程固然可以解決相對復雜的問題，但也費時、費事，且結果不夠直觀。大約在2000年的時候，北京大學教育技術系的研究生陳高偉告訴筆者，他正在學習一種稱為Mathcad的數(shù)學軟件。于是，筆者請他幫我演示一下這個軟件的繪圖功能和計算功能。這兩種功能在數(shù)學建模和數(shù)理分析中非?；?。從數(shù)學方法的應用視角看來，Mathcad的繪圖功能并不顯得十分突出，但其在數(shù)學計算方面卻具有自身的顯著優(yōu)點。Mathcad的工作界面就像一張大白紙，可以在上面隨意書寫各種數(shù)學公式，按照一定的次序開展隨心所欲的運算。該軟件將菜單顯示和編程計算有效結合，應用起來相當方便。從此以后，該軟件就像Excel一樣，成為筆者教學和研究工作不可或缺的數(shù)學工具。如果說借助Excel開展數(shù)學計算是一種享受的話，利用Mathcad開展數(shù)學分析則可以獲得另外一種異曲同工的享受。陳高偉后來去香港中文大學教育學院攻讀博士學位，從此以后我們失去了聯(lián)系。不論怎樣，筆者在此要感謝陳高偉博士，是他無意中向我揭示了Mathcad的世界。筆者特別感謝筆者的博士生導師周一星先生，正是周先生大力支持和長期鼓勵筆者開展地理數(shù)學方法的教學工作。感謝北京大學城市與環(huán)境學院的陳效逑教授，是他最先破格為筆者提供了地理數(shù)學方法教學實踐的機會；感謝北京大學城市與環(huán)境學院的蔡運龍教授，他的“地理學研究方法”項目資助了本書的出版。感謝科學出版社科學分社的韓鵬先生和朱海燕女士，他們?yōu)楸緯某霭孀隽撕芏喙ぷ?。筆者還要感謝參考文獻中提到的部分作者，本書采用了他們的一些數(shù)據(jù)資料開發(fā)了本書的教學案例。最后，筆者感謝北京大學城市與環(huán)境專業(yè)的許多研究生和本科生，他們在學習作為試用教材的本書初稿過程中提出了許多改進意見。書中的疏漏之處在所難免，筆者真誠地希望讀者發(fā)現(xiàn)之后及時指正，以便今后進一步提高本書的質量。

編輯推薦

《基于Mathcad的地理數(shù)據(jù)分析(附贈光盤1張)》由科學出版社出版?！痘贛athcad的地理數(shù)據(jù)分析(附贈光盤1張)》的初稿和修改稿先后在北京大學城市與環(huán)境專業(yè)研究生教學中試用八年，可供地理學、生態(tài)學、環(huán)境科學、地質學、經濟學、城市規(guī)劃學乃至醫(yī)學、生物學等領域的學生、研究人員以及工程技術人員參考。

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