一般拓?fù)鋵W(xué)

前言

　　本書系統(tǒng)地介紹了一般拓?fù)鋵W(xué)的部分內(nèi)容，這些內(nèi)容已被證明在某些數(shù)學(xué)分支中是很有用處的，尤其希望它成為學(xué)習(xí)近代分析的基礎(chǔ)。只是由于朋友們的極力勸說，我才沒有將本書命名為《青年數(shù)學(xué)分析工作者須知》?！　”緯歉鶕?jù)作者19461947年在芝加哥大學(xué)、1948-1949年在加利福尼亞大學(xué)、1950-1951年在杜蘭大學(xué)（TulaneUniversity）幾種不同的講義為基礎(chǔ)而寫成的，原打算把它作為參考書和教科書。這兩個(gè)目的有些不太一致，特別是作為一本參考書，它應(yīng)提供這方面一個(gè)相當(dāng)全面的概括，因此在內(nèi)容上比正規(guī)教程敘述得要更廣泛一些，其中許多細(xì)節(jié)主要是為作參考書而安排的，例如，為了包含所有最常用的術(shù)語(yǔ)，我作了相當(dāng)大的努力，并把它們都羅列在索引中。但是，另一方面，因?yàn)樗质且槐窘炭茣詫?duì)前幾章論述得相當(dāng)詳細(xì)。由于同樣的原因，加入了一章預(yù)備知識(shí)，雖然不是系統(tǒng)論述的一部分，但它包羅了本書主要部分所必需的那些題材，并且我發(fā)現(xiàn)這些題材對(duì)許多學(xué)生來說還是新穎的。在這一章里比較重要的結(jié)果是有關(guān)集論方面的一些定理，而它們的系統(tǒng)論述已在附錄中給出。附錄與本書的其余部分是完全獨(dú)立的，除此而外，本書每一部分都是與其前面的論述相關(guān)聯(lián)的?！　”緯臄⑹龇绞接幸恍┡c眾不同之處。有時(shí)在節(jié)前加上一個(gè)星號(hào)，表示該節(jié)是一段題外之言。許多同樣或者更有意義的題材，放在問題中加以論述，而這些問題可看成是討論的整體的一部分。這些問題中有少數(shù)是習(xí)題，其主要目的在于幫助理解所使用到的概念。還有一些是反例，它們劃分出了可能成為定理的界限。有些小理論就其本身而言是有趣味的，又有一些是一般拓?fù)湓诓煌I(lǐng)域中應(yīng)用的引論。最后附有參考文獻(xiàn)，以便有興趣的讀者（喜愛獨(dú)立思考者）可以進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)。書末的文獻(xiàn)中包含了有關(guān)本書議題的絕大部分近代貢獻(xiàn)和一些早期的突出成就，以及少數(shù)“交叉領(lǐng)域”的參考文獻(xiàn)?！　∥也捎昧艘粋€(gè)特殊的約定①，每個(gè)證明的結(jié)尾用I來表示。這個(gè)記號(hào)是屬于哈爾莫斯（Halmos）的。

內(nèi)容概要

本書是關(guān)于一般拓?fù)涞囊徊拷?jīng)典著作．書中系統(tǒng)地介紹了一般拓?fù)涞幕局R(shí)．正文共分七章，包括拓?fù)淇臻g、Moore-Smith收斂、乘積空間和商空間、嵌入和度量化、緊空間、一致空間、函數(shù)空間．此外，還有一章預(yù)備知識(shí)和一個(gè)附錄．每章之后有大量問題，作為正文的補(bǔ)充和延伸，有助于讀者更好地理解正文的內(nèi)容．書末由譯者加寫了一個(gè)附錄，介紹了早期不分明拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的概貌．　　本書正文七章由吳從忻翻譯，其余由吳讓泉翻譯．增添的附錄由吳從忻撰寫．　　本書可供高等院校數(shù)學(xué)系師生及有關(guān)的專業(yè)工作者參考．

書籍目錄

序 第0章 預(yù)備知識(shí) 　0．1 集 　0．2 子集與余集；并與交 　0．3 關(guān)系 　0．4 函數(shù) 　0．5 序 　0．6 代數(shù)概念 　0．7 實(shí)數(shù) 　0．8 可數(shù)集 　0．9 基數(shù) 　0．10 序數(shù) 　0．11 笛卡兒乘積 　0．12 Hausdorff極大原理 第1章 拓?fù)淇臻g 　1．1 拓?fù)浜袜徲?　1．2 閉集 　1．3 聚點(diǎn) 　1．4 閉包 　1．5 內(nèi)部和邊界 　1．6 基和子基 　1．7 相對(duì)化；分離性 　1．8 連通集 　問題 第2章 Moore-Smith收斂 　2．1 引論 　2．2 有向集和網(wǎng) 　2．3 子網(wǎng)和聚點(diǎn) 　2．4 序列和子序列 　2．5* 收斂類 　問題 第3章 乘積空間和商空間 　3．1 連續(xù)函數(shù) 　3．2 乘積空間 　3．3 商空間 　問題 第4章 嵌入和度量化 　4．1 連續(xù)函數(shù)的存在 　4．2 嵌入到立方體內(nèi) 　4．3 度量和偽度量空間 　4．4 度量化 　問題 第5章 緊空間 　5．1 等價(jià)性 　5．2 緊性和分離性 　5．3 緊空間的乘積 　5．4 局部緊空間 　5．5 商空間 　5．6 緊擴(kuò)張 　5．7 Lebesgue覆蓋引理 　5．8* 仿緊性 　問題 第6章 一致空間 　6．1 一致結(jié)構(gòu)和一致拓?fù)?　6．2 一致連續(xù)性；乘積一致結(jié)構(gòu) 　6．3 度量化 　6．4 完備性 　6．5 完備擴(kuò)張 　6．6 緊空間 　6．7 度量空間特有的性質(zhì) 　問題 第7章 函數(shù)空間 　7．1 點(diǎn)式收斂 　7．2 緊開拓?fù)浜吐?lián)合連續(xù)性 　7．3 一致收斂 　7．4 在緊集上的一致收斂 　7．5 緊性和同等連續(xù)性 　7．6* 齊-連續(xù)性 　問題 參考文獻(xiàn) 附錄A 初等集論 　A．1 分類公理圖式 　A．2 分類公理圖式(續(xù)) 　A．3 類的初等代數(shù) 　A．4 集的存在性 　A．5 序偶：關(guān)系 　A．6 函數(shù) 　A．7 良序 　A．8 序數(shù) 　A．9 整數(shù) 　A．10 選擇公理 　A．11 基數(shù) 附錄B 譯者為本書增添的附錄 　B．1 不分明拓?fù)鋵W(xué)介紹 　B．2 不分明集與不分明點(diǎn) 　B．3 不分明拓?fù)淇臻g 　B．4 緊不分明拓?fù)淇臻g 　B．5 不分明連續(xù)函數(shù) 　B．6 乘積與商不分明拓?fù)淇臻g 　B．7 不分明網(wǎng)的Moore-Smith收斂 參考文獻(xiàn) 索引

章節(jié)摘錄

　　本章的目的是研究從給定的空間來構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的兩種方法。其中的第一種方法是對(duì)空間的笛卡兒乘積指定一種標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洌谑菑慕o定的一些空間就作出了一個(gè)新的空間。例如，歐幾里得平面是實(shí)數(shù)（具有通常拓?fù)洌┖退约旱某朔e空間，而歐幾里得n-空間是實(shí)數(shù)的n次乘積。在第4章中，實(shí)數(shù)的任意多次的笛卡兒乘積還提供了與其他拓?fù)淇臻g相比較的一類標(biāo)準(zhǔn)空間?！　囊粋€(gè)給定的空間構(gòu)造新的空間的第二種方法是依賴于把所給定的空間x分成等價(jià)類，并且此時(shí)將每一個(gè)等價(jià)類看成新構(gòu)造的空間的一個(gè)點(diǎn)。粗糙地說，即我們“疊合”x的某些子集的點(diǎn)，得到一個(gè)新的點(diǎn)集，然后再指定“商”拓?fù)?。例如，?shí)數(shù)的所有mod整數(shù)的等價(jià)類對(duì)這種拓?fù)渌玫降目臻g就是平面的單位圓的一個(gè)“模型”?！　∵@兩種構(gòu)造空間的方法都是為了使得某些函數(shù)連續(xù)而引出的。因此，我們開始先定義連續(xù)性并且證明關(guān)于它的一些簡(jiǎn)單命題。

圖書封面

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