非線性波動(dòng)方程的現(xiàn)代方法

前言

　　對(duì)于數(shù)學(xué)研究與培養(yǎng)青年數(shù)學(xué)人才而言，書籍與期刊起著特殊重要的作用。許多成就卓越的數(shù)學(xué)家在青年時(shí)代都曾鉆研或參考過(guò)一些優(yōu)秀書籍，從中汲取營(yíng)養(yǎng)，獲得教益。　　20世紀(jì)70年代后期，我國(guó)的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)書刊的出版由于"文化大革命"的浩劫已經(jīng)被破壞與中斷了10余年，而在這期間國(guó)際上數(shù)學(xué)研究卻在迅猛地發(fā)展著。1978年以后，我國(guó)青年學(xué)子重新獲得了學(xué)習(xí)、鉆研與深造的機(jī)會(huì)。當(dāng)時(shí)他們的參考書籍大多還是50年代甚至更早期的著述。據(jù)此，科學(xué)出版社陸續(xù)推出了多套數(shù)學(xué)叢書，其中《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專著》叢書與《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》更為突出，前者出版約40卷，后者則逾80卷。它們質(zhì)量甚高，影響頗大，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)研究、交流與人才培養(yǎng)發(fā)揮了顯著效用?！　　冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》的宗旨是面向大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)學(xué)生、研究生以及青年學(xué)者，針對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域與研究方向，作較系統(tǒng)的介紹。既注意該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，又反映其新發(fā)展，力求深入淺出，簡(jiǎn)明扼要，注重創(chuàng)新?！　〗陙?lái)，數(shù)學(xué)在各門科學(xué)、高新技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等方面取得了更加廣泛與深入的應(yīng)用，還形成了一些交叉學(xué)科。我們希望這套叢書的內(nèi)容由基礎(chǔ)數(shù)學(xué)拓展到應(yīng)用數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)交叉學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域?！　∵@套叢書得到了許多數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期的大力支持，編輯人員也為其付出了艱辛的勞動(dòng)。它獲得了廣大讀者的喜愛。我們誠(chéng)摯地希望大家更加關(guān)心與支持它的發(fā)展，使它越辦越好，為我國(guó)數(shù)學(xué)研究與教育水平的進(jìn)一步提高做出貢獻(xiàn)。

內(nèi)容概要

　　本書的主旨是利用調(diào)和分析的現(xiàn)代理論（特別是Fourier限制型估計(jì)、可微函數(shù)空間的Littlewood-Paley刻畫、Fourier局部化技術(shù)等）研究非線性波動(dòng)方程的適定性與散射理論。除了第一版中涉及的在共形變換或其他變換群下的不變量、經(jīng)典Morawetz估計(jì)、Strichartz估計(jì)、非線性波動(dòng)方程弱解的正則性與唯一性、光滑解與能量解的適定性、臨界波方程的散射性理論之外，在第二版中增加了如下兩個(gè)方面的內(nèi)容：其一是采用時(shí)空乘子方法結(jié)合加權(quán)的Sobolev-Hardy型不等式，建立不依賴于非線性項(xiàng)及空間維數(shù)的Morawetz型估計(jì)，通過(guò)能量的局部化及線性波的分離、Bourgain的能量歸納技術(shù)，證明了臨界及次臨界Klein-Gordon方程的散射性理論；其二是對(duì)于具雙Schrodinger結(jié)構(gòu)的高階Klein-Gordon方程（即Beam方程，它的特點(diǎn)是既沒(méi)有有限傳播速度，也沒(méi)有獨(dú)立的質(zhì)量守恒），通過(guò)引入不同形式的容許關(guān)系，建立局部與整體的Strichartz估計(jì)。利用Tao的頻率局部化方法建立廣義的幾乎有限傳播速度，進(jìn)而建立高階Klein-Gordon方程能量散射理論。本書的特點(diǎn)是將調(diào)和分析方法與現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方法有機(jī)結(jié)合，反映這一核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新研究成果與研究進(jìn)展，特別是利用Bourgain的能量歸納技術(shù)與Tao的頻率局部化方法，給出了非線性波動(dòng)方程、Klein-Klein型方程（含高階情形）的經(jīng)典研究的統(tǒng)一處理。　　本書可供理工科院校數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)大學(xué)生、研究生、教師以及相關(guān)的科技工作者閱讀參考。

書籍目錄

《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序 第二版序言 第一版序言 第1章 乘子方法、不變量及守恒積分 　1.1 Laplace方程與共形變換群 　1.2 乘子方法與一般的變換群 　1.3 非線性波方程以及Klein-Gordon方程的不變量 　1.4 Lagrange方法及其在波(含色散波)方程中的應(yīng)用 第2章 弱解的時(shí)空可積性、唯一性及正則性 　2.1 預(yù)備知識(shí)、線性估計(jì)及應(yīng)用 　2.2弱解的存在性 　2.3 解的唯一性與正則性 第3章 半線性波動(dòng)方程的光滑解 　3.1 問(wèn)題、結(jié)果及證明的歸結(jié) 　3.2 能量估計(jì)與次臨界的情形 　3.3 衰減估計(jì)與臨界的情形 　3.4 高維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題解的正則性 第4章 臨界波方程能量解的整體適定性與散射性 　4.1 能量解的Morawetz估計(jì)及整體適定性 　4.2 能量解的整體時(shí)空估計(jì)及散射理論 　4.3 波方程與Klein-Gordon型方程能量解及相關(guān)問(wèn)題 第5章 非線性次臨界Klein-Gordon方程與SchrSdinger方程的散射理論 　5.1 引言 　5.2 新型的Morawetz估計(jì) 　5.3 整體時(shí)空估計(jì)Ⅰ 　5.4 整體時(shí)空估計(jì)Ⅱ 　5.5 散射性理論 第6章 非線性臨界Klein-Gordon方程解的散射理論 　6.1 引言 　6.2 時(shí)空范數(shù)導(dǎo)致的能量聚積現(xiàn)象 　6.3 局部時(shí)空估計(jì) 　6.4 整體時(shí)空估計(jì) 　6.5 散射性理論 第7章 非線性Klein-Gordon型方程解的局部衰減與低正則性 　7.1 非線性Klein-Gordon方程解的局部衰減 　7.2 高階非線性Klein-Gordon方程解的局部衰減 　7.3 非線性波動(dòng)方程的低正則性 第8章 非線性高階Klein-Gordon方程的散射性理論 　8.1 引言 　8.2 Strichartz估計(jì)與適定性理論 　8.3 散射理論的機(jī)制 　8.4 頻率局部化技術(shù) 　8.5 幾乎有限傳播速度 　8.6 散射性理論 附錄 函數(shù)空間嵌入定理及其記憶方法 　A.1 函數(shù)空間中嵌入定理的基本內(nèi)容與證明思路 　A.2 Sobolev嵌入定理與尺度變換原理 　A.3 用純光滑尺度來(lái)理解插值、乘子、嵌入等關(guān)系 　A.4 Morrey型空間與John-Nirenberg型位勢(shì)估計(jì) 　A.5 Sobolev嵌入定理在PDEs中的應(yīng)用舉例 參考文獻(xiàn) 名詞索引 《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》已出版書目

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