常微分方程及其應(yīng)用

前言

　　常微分方程是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門應(yīng)用性較強的基礎(chǔ)課，一般在二年級開設(shè)，64學(xué)時左右，常微分方程課程對訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、應(yīng)用意識和分析與解決實際問題的能力有著極為重要的作用?！　∧壳皣鴥?nèi)常微分方程的教材基本上與60、70年代的體系和內(nèi)容相比沒有太大的變化，主要是通過解的存在唯一性、線性方程解的基本理論、漸近性態(tài)分析等內(nèi)容訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)的抽象思維能力，通過敘述求解各種類型方程的解析解讓學(xué)生學(xué)會求解一些微分方程的基本方法。相比而言，國外近年來出版的常微分方程教材與60、70年代的相比有很大的變化，主要體現(xiàn)在兩個方面：①通過大量的實際問題突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立常微分方程模型解決各種實際問題；②大量的使用計算機，用Maple、Matlab、Mathematica等數(shù)學(xué)軟件進行圖示、求解析解、進行數(shù)值計算、進行推理以提高課堂教學(xué)的效果。　　在多年從事常微分方程課程教學(xué)的過程中，我們對我國的教育體制、教學(xué)方式、教材的優(yōu)缺點、學(xué)生的特點有了較深人的了解，也收集到了一批國外的優(yōu)秀教材，在教學(xué)中積累了豐富的素材，其中大部分已經(jīng)整理成講稿，包括一些十分精彩的應(yīng)用實例和計算機程序。這些講稿通過復(fù)印或磁盤文件拷貝給學(xué)生后收到了很好的效果。在這些經(jīng)驗和素材的基礎(chǔ)上，我們編寫了這本教材?！冻Ｎ⒎址匠碳捌鋺?yīng)用》是常微分方程理論、方法與應(yīng)用有機結(jié)合的一本教材。它保持我國現(xiàn)行教材中理論性強、方法多樣、技巧和實例豐富等特點，再結(jié)合國外教材中強調(diào)建模、應(yīng)用和計算機等特點，理論、方法、建模、應(yīng)用、計算機互相滲透與補充。不僅使學(xué)生受到嚴格的數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練，而且使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的巨大作用，了解通過數(shù)學(xué)模型去解決實際問題的全過程。既使學(xué)生學(xué)會求解各類微分方程解析解、數(shù)值解的方法，又讓他們掌握用計算機分析求解的思想與過程。本教材的目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會①求解各類微分方程的方法；②常微分方程的基本理論；③常微分方程定性穩(wěn)定性方法初步，從微分方程提取盡可能多的信息；④近似方法、數(shù)值方法及其計算機實現(xiàn)；⑤建立微分方程模型解決實際問題；⑥在應(yīng)用問題中使用各種數(shù)學(xué)軟件包。

內(nèi)容概要

　　《常微分方程及其應(yīng)用（第2版）》是常微分方程理論、方法與應(yīng)用有機結(jié)合的一本教材，保持了我國現(xiàn)行教材理論性強、方法多樣、技巧和實例豐富等特點。并結(jié)合國外教材強調(diào)建模、應(yīng)用和計算機等特點，形成理論、方法、建模、應(yīng)用、計算機互相滲透與補充的新體系。不僅能夠訓(xùn)練學(xué)生嚴密的數(shù)學(xué)思維方式，而且可以引導(dǎo)學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題。既講述求解各類微分方程解析解、數(shù)值解的方法，又介紹用計算機進行理論分析、求解方程和給出圖形顯示的過程?！冻Ｎ⒎址匠碳捌鋺?yīng)用（第2版）》的主要內(nèi)容包括求解各類微分方程的方法，常微分方程的基本理論、近似方法及其實現(xiàn)，以及建立微分方程模型解決實際問題?！　　冻Ｎ⒎址匠碳捌鋺?yīng)用（第2版）》可作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)專業(yè)的常微分方程課程教材，也可作為理工科學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實驗等課程的參考書。

書籍目錄

第二版前言第一版前言第1章 引論1.1 微分方程的概念和實例1.1.1 導(dǎo)出微分方程的一些實際例子1.1.2 微分方程的概念1.1.3 微分方程的發(fā)展習(xí)題1.11.2 解的存在唯一性1.2.1 例子和思路1.2.2 存在唯一性定理及其證明1.2.3 存在唯一性定理的說明及例子習(xí)題1.21.3 一階微分方程的向量場1.3.1 向量場1.3.2 積分曲線的圖解法習(xí)題1.3復(fù)習(xí)題1第2章 一階微分方程2.1 線性方程2.1.1 線性齊次方程2.1.2 線性非齊次方程2.1.3 Bemoulli方程2.1.4 線性微分方程的應(yīng)用舉例習(xí)題2.12.2 變量可分離的方程2.2.1 變量可分離方程的求解2.2.2 齊次方程2.2.3 變量可分離方程的應(yīng)用習(xí)題2.22.3 全微分方程2.3.1 全微分方程的定義與充要條件2.3.2 全微分方程的積分2.3.3 積分因子習(xí)題2.32.4 變量替換法2.4.1 形如dy/dx=f（ax+by+c）的方程2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程2.4.3 其他變換舉例2.4.4 Riccati方程習(xí)題2.42.5 一階隱式微分方程2.5.1 可解出y或x的方程與微分法2.5.2 不顯含x或y的方程與參數(shù)法2.5.3 奇解與包絡(luò)習(xí)題2.52.6 近似解法2.6.1 逐次迭代法2.6.2 Taylor級數(shù)法2.6.3 Euler折線法習(xí)題2.62.7 一階微分方程的應(yīng)用2.7.1 曲線族的等角軌線2.7.2 放射性廢物的處理問題2.7.3 我國人口的發(fā)展預(yù)測習(xí)題2.7復(fù)習(xí)題2第3章 二階及高階微分方程3.1 可降階的高階方程3.1.1 不顯含未知函數(shù)z的方程3.1.2 不顯含自變量￡的方程3.1.3 全微分方程和積分因子3.1.4 可降階的高階方程的應(yīng)用舉例習(xí)題3.13.2 線性微分方程的基本理論3.2.1 線性微分方程的有關(guān)概念3.2.2 齊次線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)3.2.3 非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)習(xí)題3.23.3 線性齊次常系數(shù)方程3.3.1 復(fù)值函數(shù)3.3.2 常系數(shù)齊次線性方程3.3.3 某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法習(xí)題3.33.4 線性非齊次常系數(shù)方程的待定系數(shù)法3.4.1 非齊次項為多項式的情形3.4.2 非齊次項為多項式與指數(shù)函數(shù)之積的情形3.4.3 非齊次項為多項式與指數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)之積的情形習(xí)題3.43.5 高階微分方程的應(yīng)用3.5.1 機械振動3.5.2 RLC電路習(xí)題3.5復(fù)習(xí)題3第4章 微分方程組4.1 微分方程組的概念4.1.1 微分方程組的實例及有關(guān)概念4.1.2 函數(shù)向量和函數(shù)矩陣4.1.3 微分方程組解的存在唯一性定理習(xí)題4.14.2 微分方程組的消元法和首次積分法4.2.1 微分方程組的消元法4.2.2 微分算子與線性微分方程組4.2.3 微分方程組的首次積分法習(xí)題4.24.3 線性微分方程組的基本理論4.3.1 線性齊次方程組解的結(jié)構(gòu)4.3.2 非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)習(xí)題4.34.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組4.4.1 系數(shù)矩陣A有單特征根時的解4.4.2 系數(shù)矩陣A具有重特征根時的解4.4.3 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)習(xí)題4.44.5 常系數(shù)非齊次線性微分方程組4.5.1 常數(shù)變易法4.5.2 線性變換法4.5.3 待定系數(shù)法習(xí)題4.54.6 微分方程組應(yīng)用舉例4.6.1 兩個彈簧和物體的豎直運動4.6.2 復(fù)雜電路的計算4.6.3 人造衛(wèi)星的軌道方程習(xí)題4.6復(fù)習(xí)題4第5章 非線性微分方程組5.1 非線性方程研究的例子與概念5.1.1 例子5.1.2 自治微分方程與非自治微分方程、動力系統(tǒng)5.1.3 基本定義習(xí)題5.15.2 自治微分方程組解的性質(zhì)5.2.1 自治系統(tǒng)軌線的特點5.2.2 自治系統(tǒng)解的基本性質(zhì)習(xí)題5.25.3 平面線性系統(tǒng)的奇點及相圖……第6章 Maple簡介與應(yīng)用參考文獻

章節(jié)摘錄

　　第1章 引論　　常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學(xué)、物理、電子技術(shù)、自動控制、航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。本章介紹常微分方程的一般概念、導(dǎo)出微分方程的一些典型例子、常微分方程解的存在唯一性、向量場等內(nèi)容，為求解微分方程和進行理論分析做準備?！　?.1 微分方程的概念和實例　　弄清一個問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系或其變化趨勢對問題的解決往往有著至關(guān)重要的作用，但在一些較復(fù)雜的變化過程中，變量之間的函數(shù)關(guān)系無法直接得到。這時就需要在一些理論或經(jīng)驗的基礎(chǔ)上找到問題中的一些變量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，也就是先找出一個含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的方程（稱為微分方程），然后通過求解這個方程得到變量間的函數(shù)關(guān)系，或者在微分方程的基礎(chǔ)上進行數(shù)值計算和漸近性態(tài)研究，從而了解一個系統(tǒng)的發(fā)展變化規(guī)律。本節(jié)先給出一些導(dǎo)出微分方程的例子，再給出微分方程中所涉及的一些定義?！　?.1.1 導(dǎo)出微分方程的一些實際例子　　為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律，往往是要對所研究的問題進行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè)，建立起數(shù)學(xué)模型，當(dāng)問題中涉及變量的變化率時，該模型就是一個微分方程。下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程?！　±?.1.1鐳的衰變規(guī)律設(shè)鐳的衰變速率與該時刻現(xiàn)有的量成正比，并且已知t=0時，鐳元素的量為R0g，試確定在任意時刻t鐳元素的量。

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