有限元方法

前言

有限元方法在20世紀(jì)50年代誕生于結(jié)構(gòu)力學(xué)，至今它已在眾多領(lǐng)域取得了巨大的成功。現(xiàn)在，它是求解微分方程的成熟、有效的數(shù)值方法。在有限元方法的創(chuàng)立和發(fā)展過程中，我國學(xué)者作出了重要的貢獻(xiàn)。馮康的有關(guān)工作是開創(chuàng)性的，獨(dú)立于美國和歐洲之外創(chuàng)立并發(fā)展了有限元方法。有限元方法的基本思想是根據(jù)變分原理，利用有限元空間上的離散解近似無窮維空間V上的連續(xù)解。構(gòu)造有限元空間的典型步驟如下：（1）將連續(xù)解的定義域Ω剖分成若干個子區(qū)域，稱每個子區(qū)域?yàn)橐粋€單元；（2）在每個單元上，選取一個由多項(xiàng)式構(gòu)成的m維空間和m個節(jié)點(diǎn)參數(shù)，要求空間中的每個多項(xiàng)式都可以由一組節(jié)點(diǎn)參數(shù)值唯一確定，函數(shù)或?qū)?shù)在單元某些點(diǎn)的值可以作為節(jié)點(diǎn)參數(shù)；（3）以某種方式連接各單元上的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，進(jìn)而得到定義在Ω上的分片多項(xiàng)式空間Vh，稱這樣得到的Vh為有限元空間。在有限元方法的數(shù)學(xué)理論中，有下面著名的結(jié)果：當(dāng)Vh是V的子空間時，有限元解對連續(xù)解的逼近性取決于有限元空間Vh對V的逼近性。由有限元的插值理論可以得到有限元空間的逼近性質(zhì)。

內(nèi)容概要

本書系統(tǒng)地論述了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論。本書以橢圓偏微分方程的邊值問題為例，介紹了協(xié)調(diào)有限元方法以及非協(xié)調(diào)等非標(biāo)準(zhǔn)有限元方法的數(shù)學(xué)描述、收斂條件和性質(zhì)、有限元解的先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì)以及有限元空間的基本性質(zhì)，其中包括作者多年來的部分研究成果。    本書可以作為從事科學(xué)與工程計(jì)算的科研和工程技術(shù)人員的參考書，也可以作為高等院校計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)碩士研究生的教材。

書籍目錄

《信息與計(jì)算科學(xué)叢書》序前言第1章變分原理　1.1　Sobolev空間　1.2　Poisson方程　1.3　重調(diào)和方程　1.4　抽象變分問題　1.5　Galerkin方法和Ritz方法第2章  有限元和有限元空間　2.1　區(qū)域的剖分　2.2　有限元　2.3　有限元空間　2.4　二階橢圓問題：單純形有限元　2.5　二階橢圓問題：矩形有限元　2.6　四階橢圓問題：單純形有限元　2.7　四階橢圓問題：矩形有限元　2.8　2m階橢圓問題：MWX元第3章　有限元插值理論  3.1　仿射變換和仿射簇  3.2　仿射連續(xù)性和尺度不變性  3.3　插值誤差  3.4　逆不等式  3.5　有限元空間的逼近精度  3.6　一般單元的插值誤差第4章　協(xié)調(diào)有限元方法  4.1　Poisson方程  4.2　薄板彎曲問題  4.3　后驗(yàn)誤差估計(jì)第5章　非協(xié)調(diào)有限元方法  5.1　非協(xié)調(diào)有限元　5.2　弱連續(xù)性　5.3　二階橢圓邊值問題　5.4　四階橢圓邊值問題　5.5　2m階橢圓邊值問題　5.6　后驗(yàn)誤差估計(jì)第6章  非協(xié)調(diào)有限元的收斂性　6.1　廣義分片檢驗(yàn)　6.2　分片檢驗(yàn)　6.3　分片檢驗(yàn)的反例　6.4　F—E—M檢驗(yàn)　6.5　超逼近性　6.6　奇異的收斂現(xiàn)象第7章　擬協(xié)調(diào)有限元方法　7.1　二階問題：RQC4元　7.2　重調(diào)和方程　7.3　秩條件　7.4　逼近性　7.5　誤差估計(jì)　7.6　后驗(yàn)誤差估計(jì)第8章　非傳統(tǒng)有限元方法　8.1  自由格式　8.2　兩個單元　8.3　收斂分析　8.4　一般情形　8.5　后驗(yàn)誤差估計(jì)第9章　雙參數(shù)方法　9.1　DSP方法　9.2　DSP方法的收斂性　9.3　Poisson方程的DSP元　9.4　薄板彎曲問題的DSP元　9.5　后驗(yàn)誤差估計(jì)第10章  有限元空間的性質(zhì)　10.1　基本假設(shè)　10.2　嵌入性質(zhì)　10.3　緊致性質(zhì)　……第11章  二階問題有限元的L∞誤差估計(jì)笛12童  薄板彎曲有限元的L∞誤差估計(jì)參考文獻(xiàn)索引

章節(jié)摘錄

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