高等數學（下冊）

前言

　　科學的研究任務有兩條，正如莊子所說：“判天地之美，析萬物之理。”判天地之美，就是發(fā)現和鑒賞宇宙的和諧與韻律；析萬物之理，就是探索宇宙的規(guī)律。這樣，我們才能做到人與宇宙的和諧共處。而哲學、數學、自然科學和社會科學是當今指導社會發(fā)展的四大科學門類，其中，哲學和數學以及它們之間的交互影響是人類文化中最深刻的部分。DemollinS說得好：“沒有數學，人們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度；而沒有兩者，人們什么也看不透?！薄　∥⒎e分學是高等數學中最基本、最重要的組成部分，是許多現代數學分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數學模型之一。Engels（恩格斯，德國哲學家，馬克思主義創(chuàng)始人之一）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學方法論以及對人們進行文化熏陶的極好素材。希望通過高等數學課程的學習，能夠達到這樣的目的，正如北京大學張順燕教授在《數學的美與理》中所說的：“給你打開一個窗口，讓你領略另一個世界的風光——數學的博大精深，數學的廣闊用場；給你一雙數學家的眼睛，豐富你觀察世界的方式；給你一顆好奇的心，點燃你胸中求知的欲望；給你一個睿智的頭腦，幫助你進行理性思維；給你一套研究模式，使它成為你探索世界奧秘的望遠鏡和顯微鏡；給你提供新的機會，讓你在交叉學科中尋找樂土，利用你的勤奮和智慧去做出發(fā)明和創(chuàng)造。”

內容概要

本教材汲取眾多國內外優(yōu)秀教材的長處，融人編者多年的教學經驗，以提高學生的綜合數學能力、培養(yǎng)學生的數學文化素養(yǎng)為宗旨，結合輕工類的特色，突出實際應用的訓練，注重考研能力的培養(yǎng)。創(chuàng)設雙語教學的環(huán)境，并使學生受到數學科學發(fā)展歷程和數學文化的熏陶?！　”窘滩姆稚稀⑾聝蓛?。下冊內容包括空間解析幾何，多元函數的微分學，重積分，曲線和曲面積分，無窮級數，常微分方程。其中，帶“*”的內容可根據學時或分層教學的需要選講。　　本教材可作為高等學校輕工類各專業(yè)教材，也可用于學生自學和教師參考。

書籍目錄

前言 第7章 空間解析幾何與向量代數 　7.1 空間直角坐標系 　　7.1.1 空間直角坐標系 　　7.1.2 空間兩點間的距離 　7.2 向量的線性運算及向量的坐標 　　7.2.1 向量的概念 　　7.2.2 向量的線性運算 　　7.2.3 向量的坐標表達式 　　7.2.4 向量的模、方向角、投影 　7.3 數量積 向量積 混合積 　　7.3.1 向量的數量積 　　7.3.2 向量的向量積 　　7.3.3 向量的混合積 　7.4 曲面及其方程 　　7.4.1 曲面方程的概念 　　7.4.2 平面方程 　7.5 空間曲線及其方程 　　7.5.1 空間曲線 　　7.5.2 空間直線及其方程 　　7.5.3 二次曲面 　模擬考場七 　數學家史話 一宵奇夢定終生——Descartes 第8章 多元函數微分法及其應用 　8.1 多元函數的極限與連續(xù) 　　8.1.1 平面點集與”維空間 　　8.1.2 多元函數的概念 　　8.1.3 多元函數的極限 　　8.1.4 多元函數的連續(xù)性 　8.2 偏導數 　　8.2.1 偏導數定義及其求法 　　8.2.2 偏導數的幾何意義 　　8.2.3 高階偏導數 　8.3 全微分 　　8.3.1 全微分的定義 　　8.3.2 可微分的條件 　　8.3.3 全微分在近似計算中的應用 　8.4 多元復合函數求導法則 　　8.4.1 復合函數 　　8.4.2 復合函數的求導法則 　　8.4.3 全微分的形式不變性 　　8.4.4 復合函數的高階偏導數 　8.5 隱函數的求導公式 　　8.5.1 一個方程的情形 　　8.5.2 方程組的情形 　8.6 多元函數微分學的幾何應用 　　8.6.1 一元向量值函數及其導數 　　8.6.2 空間曲線的切線與法平面 　　8.6.3 曲面的切平面與法線 　8.7 方向導數與梯度 　　8.7.1 方向導數 　　8.7.2 梯度 　　8.7.3 數量場與向量場 　8.8 多元函數的極值及其求法 　　8.8.1 多元函數的極值及最大值、最小值 　　8.8.2 條件極值(conditional extremum)Lagrange乘數法 　模擬考場八 　數學家史話 無冕之王——Hilbert 第9章 重積分 　9.1 二重積分的概念與性質 　　9.1.1 二重積分的概念 　　9.1.2 二重積分的性質 　9.2 直角坐標系下二重積分的計算 　　9.2.1 積分區(qū)域的類型 　　9.2.2 二重積分的計算 　　9.2.3 利用對稱性計算二重積分 　9.3 二重積分的極坐標計算和換元法 　　9.3.1 利用極坐標計算二重積分 　　9.3.2 二重積分的換元法 　9.4 三重積分的概念及其計算 　　9.4.1 三重積分的定義 　　9.4.2 直角坐標系下三重積分的計算 　9.5 利用柱面和球面坐標計算三重積分 　　9.5.1 利用柱面坐標計算三重積分 　　9.5.2 利用球面坐標計算三重積分 　9.6 重積分的應用 　　9.6.1 曲面的面積 　　9.6.2 重心 　　9.6.3 轉動慣量 　　9.6.4 空間立體對質點的引力 　　　模擬考場九 　數學家史話 數學大師——Riemann 第10章 曲線積分和曲面積分 　10.1 對弧長的曲線積分 　　10.1.1 對弧長的曲線積分的定義 　　10.1.2 對弧長曲線積分的性質 　　10.1.3 對弧長曲線積分的計算 　　10.1.4 對弧長的曲線積分的應用 　10.2 對坐標的曲線積分 　　10.2.1 對坐標的曲線積分的定義與性質 　　10.2.2 對坐標的曲線積分的計算 　　10.2.3 對坐標的曲線積分的應用 　10.3 Green公式 　　10.3.1 Green公式 　　10.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件 　　10.3.3 二元函數的全微分求積 　10.4 對面積的曲面積分 　　10.4.1 對面積的曲面積分的定義 　　10.4.2 對面積的曲面積分的性質 　　10.4.3 對面積的曲面積分的計算 　　10.4.4 對面積的曲面積分的應用 　10.5 對坐標的曲面積分 　　10.5.1 對坐標的曲面積分的定義和性質 　　10.5.2 對坐標的曲面積分的計算法 　　10.5.3 兩類曲面積分之間的聯系 　10.6 Gauss公式 　　10.6.1 Gauss公式 　　10.6.2 用Gauss公式計算曲面積分 　模擬考場十 　數學家史話 數學天才——Gauss 第11章 無窮級數 　11.1 無窮級數的概念和性質 　　11.1.1 常數項級數的概念 　　11.1.2 級數收斂與發(fā)散的定義 　　11.1.3 收斂級數的基本性質 　　11.1.4 級數收斂的必要條件 　11.2 正項級數審斂法 　　11.2.1 比較審斂法 　　11.2.2 比值審斂法 　　11.2.3 根值審斂法 　11.3 一般常數項級數 　　11.3.1 交錯級數 　　11.3.2 絕對收斂與條件收斂 　11.4 冪級數 　　11.4.1 函數項級數的概念 　　11.4.2 冪級數及其收斂域 　　11.4.3 冪級數的運算 　11.5 函數展開成冪級數 　　11.5.1 Taylor級數 　　11.5.2 函數展開為冪級數 　　11.5.3 函數冪級數展開式的應用 　11.6 Fourier級數 　　11.6.1 三角級數及三角函數系的正交性 　　11.6.2 函數展開成Fourier級數 　　11.6.3 正弦級數和余弦級數 　　11.6.4 非周期函數的Fourier級數 　　11.6.5 周期為21周期函數的Fourier級數 　模擬考場十一 　數學家史話 數學天才——Abel 習題答案 附錄 幾種常見的曲面

章節(jié)摘錄

　　空間解析幾何的產生是數學史上一個劃時代的成就，法國數學家DesCartes（笛卡兒）和Fermat（費馬）均于17世紀對此做了開創(chuàng)性的工作。我們知道，代數方法的優(yōu)越性在于推理的程序化，由此，人們就產生了用代數方法研究幾何問題的思想，這就是解析幾何的基本思想。借助于代數方法研究幾何問題，需要建立代數與幾何間的聯系，最基本的就是數與點的聯系，其橋梁就是坐標系。通過坐標系，可以把數學中的數與形有機地結合起來，從而可以用代數方法研究幾何問題，這就是所說的解析幾何，當然也可以用幾何方法去研究代數問題?！　≡谄矫娼馕鰩缀沃?，通過平面直角坐標系，可以建立平面上的點與一對有次序數的對應、平面上圖形與方程的對應；由平面曲線在坐標軸上的投影，可建立平面曲線變量間的函數關系，并可確定各個變量的變化范圍?！　⑸鲜龇椒ㄍ茝V，就可得空間解析幾何的相關研究內容，從而建立空間點與對應的三元有序數組、空間內的圖形與方程的對應、空間內的圖形與各坐標面或各坐標軸上的投影的對應。通過本章的學習，可以使大家掌握空間直角坐標系的建立、向量的概念及基本運算、常見空間曲面或曲線的方程和圖形、空間圖形在坐標面上的投影等方面的知識，為以后學習多元函數微積分、研究空間圖形打下基礎。

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