應(yīng)用分支理論基礎(chǔ)

前言

本書第一版出版已經(jīng)好幾年過去了，證明我們關(guān)于材料的選擇和敘述的基本原理是正確的，即便是寫一本簡單的教科書也應(yīng)該對課題有個認真的介紹，當然，“簡單性”因人而異，因國家而異，“介紹”一詞甚至更不明確，開始閱讀本書僅要求線性代數(shù)和微積分的中等知識，其他預(yù)備知識，可作為近代數(shù)學“基礎(chǔ)”的內(nèi)容在書中有明確的敘述。這些內(nèi)容包括線性系統(tǒng)的Fredholm交替定理以及多維隱函數(shù)定理，應(yīng)用這些非常有限的工具、概念、結(jié)果以及逐步建立的方法的構(gòu)架可以使讀者能夠去閱讀（以及可能的寫作）非線性動力系統(tǒng)分支的科學論文，除此以外，科學的進步意味著數(shù)學的結(jié)果和方法又一次成為科學研究和發(fā)展團體的標準和常規(guī)的應(yīng)用，希望本書的這一版對此作出貢獻。本書的結(jié)構(gòu)仍保持完好無缺，大部分的更改反映了近代理論以及包括作者對軟件的開發(fā)，第三版中重要的更改可概括如下：第9章新增了一節(jié)介紹映射的折一翻轉(zhuǎn)分支，其中推導了在臨界參數(shù)值不動點具特征值士的映射依賴于參數(shù)的規(guī)范形，用流近似這個規(guī)范形，介紹了一般分支圖并討論它與原映射之間的關(guān)系，用類似的方法處理1：1強共振有相當?shù)臄U充。第8，9章介紹了屬于Coullet和Spiege的同時處理中心流形的簡化和中心流形上的規(guī)范化的近代方法，利用這個方法推導n維。工）Es和映射的余維2局部分支包括折一翻轉(zhuǎn)分支的規(guī)范形系數(shù)的明確公式，所得公式與n無關(guān)，且在原來的基下對符號和數(shù)值計算同樣適用，第5章對中心流形余維1局部分支的計算也作了校正，應(yīng)該提醒讀者的是某些系數(shù)的尺度化與前面幾版稍有不同。

內(nèi)容概要

本書詳細闡述非線性連續(xù)和離散動力系統(tǒng)中的分支理論及其在生物數(shù)學、化學反應(yīng)、神經(jīng)動力學等領(lǐng)域中的應(yīng)用。全書共分十章，主要內(nèi)容有動力系統(tǒng)介紹，拓撲等價性、分支與動力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，連續(xù)—時間系統(tǒng)平衡點的單參數(shù)和雙參數(shù)分支，離散—時間系統(tǒng)不動點的單參數(shù)和雙參數(shù)分支，n維動力系統(tǒng)的平衡點和周期軌道分支，雙曲平衡點的同宿和異宿軌道分支，連續(xù)—時間動力系統(tǒng)中的其他單參數(shù)分支和分支的數(shù)值方法。本書盡量避免高深的數(shù)學概念和理論，證明(包括使用適當?shù)挠嬎銠C軟件)詳細清楚，介紹全面，便于多方面的讀者閱讀。    本書可作為大學數(shù)學、物理、生物等專業(yè)高年級大學生和研究生的教材或參考書，也可供相關(guān)專業(yè)研究人員閱讀參考。

作者簡介

作者：(俄國)尤里·阿·庫茲涅佐夫 譯者：金成桴

書籍目錄

中文版序 譯者序 第三版序 第二版序 第一版序 第1章 動力系統(tǒng)引言   1.1 動力系統(tǒng)的定義   1.2 軌道與相圖   1.3 不變集   1.4 微分方程與動力系統(tǒng)   1.5 Poincare映射   1.6 練習   1.7 附錄A：由反應(yīng)擴散方程定義的無窮維動力系統(tǒng)   1.8 附錄B：文獻評注 第2章 動力系統(tǒng)的拓撲等價性、分支與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性   2.1 動力系統(tǒng)的等價性   2.2 一般平衡點與不動點的拓撲分類   2.3 分支與分支圖   2.4 分支的拓撲規(guī)范形   2.5 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性   2.6 練習   2.7 附錄：文獻評注 第3章 連續(xù)-時間系統(tǒng)平衡點的單參數(shù)分支   3.1 最簡單的分支條件   3.2 折分支規(guī)范形   3.3 一般折分支   3.4 Hopf分支規(guī)范形   3.5 一般Hopf分支   3.6 練習   3.7 附錄A：引理3.2的證明   3.8 附錄B：Poincare規(guī)范形   3.9 附錄C：文獻評注 第4章 離散-時間系統(tǒng)不動點的單參數(shù)分支   4.1 最簡單的分支條件   4.2 折分支規(guī)范形   4.3 一般折分支   4.4 翻轉(zhuǎn)分支的規(guī)范形   4.5 一般翻轉(zhuǎn)分支   4.6 Neimark-Sacker分支的“規(guī)范形”   4.7 一般Neimark-Saker分支   4.8 練習   4.9 附錄A：Feigenbaum普適性   4.10 附錄B：引理4.3的證明   4.11 附錄C：文獻評注 第5章 n維動力系統(tǒng)的平衡點分支與周期軌道分支   5.1 中心流形定理   5.2 依賴于參數(shù)的系統(tǒng)的中心流形   5.3 極限環(huán)分支   5.4 中心流形的計算   5.5 練習   5.6 附錄A：反應(yīng)擴散系統(tǒng)的Hopf分支   5.7 附錄B：文獻評注 第6章 雙曲平衡點的同宿軌道分支與異宿軌道分支   6.1 同宿軌道和異宿軌道   6.2 Andronov-Leontovich定理   6.3 三維系統(tǒng)中的同宿分支：Shiltnikov定理   6.4 n維系統(tǒng)中的同宿分支   6.5 練習   6.6 附錄A：四維系統(tǒng)中的焦-焦點同宿分支   6.7 附錄B：文獻評注 第7章 連續(xù)-時間動力系統(tǒng)中的其他單參數(shù)分支   7.1 非雙曲平衡點的同宿軌道余維1分支   7.2 極限環(huán)的同宿軌道分支   7.3 不變環(huán)面上的分支   7.4 對稱系統(tǒng)中的分支   7.5 練習   7.6 附錄：文獻評注 第8章 連續(xù)-時間動力系統(tǒng)平衡點的雙參數(shù)分支   8.1 平衡點的余維2分支一覽   8.2 尖分支   8.3 Bautin(廣義，Hopf)分支   8.4 Bogdanov-Takens(零-零)分支   8.5 折-Hopf分支   8.6 Hopf-Hopf分支   8.7 n維系統(tǒng)的臨界規(guī)范形   8.8 練習   8.9 附錄A：Bogdanov規(guī)范形的極限環(huán)與同宿軌道   8.10 附錄B：文獻評注 第9章 離散-時間動力系統(tǒng)不動點的雙參數(shù)分支   9.1 不動點的余維2分支一覽   9.2 尖分支   9.3 廣義翻轉(zhuǎn)分支   9.4 Chenciner(廣義Neimark-Sacker)分支   9.5 強共振   9.6 折-翻轉(zhuǎn)分支   9.7 n維映射的臨界規(guī)范形   9.8 極限環(huán)的余維2分支   9.9 練習   9.10 附錄：文獻評注 第10章 分支的數(shù)值分析   10.1 在固定參數(shù)值的數(shù)值分析   10.2 單參數(shù)分支分析   10.3 參數(shù)分支分析   10.4 延拓策略   10.5 練習   10.6 附錄A：Newton法的收斂性定理   10.7 附錄B：雙交錯矩陣積   10.8 附錄C：余維2同宿分支的探測   10.9 附錄D：文獻評注 附錄 代數(shù)、分析和幾何的基本概念   A.1 代數(shù)   A.2 分析   A.3 幾何 參考文獻 索引 《現(xiàn)代數(shù)學譯叢》已出版書目

章節(jié)摘錄

插圖：本章介紹一些基本術(shù)語，首先，定義動力系統(tǒng)并給出幾個包括符號動力系統(tǒng)的例子，然后，介紹軌道、不變集以及它們的穩(wěn)定性等概念，正如我們將看到的，當分析Smale馬蹄時，得知不變集可以具有非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。這與20世紀60年代人們發(fā)現(xiàn)的下列事實密切相關(guān)：即使一個簡單的動力系統(tǒng)也會具有“隨機”現(xiàn)象或“混沌”性態(tài)，最后，討論微分方程如何才能在有限維空間和無窮維空間定義動力系統(tǒng)。1，1動力系統(tǒng)的定義動力系統(tǒng)這個概念是確定性過程這個一般科學概念的數(shù)學形式化，許多物理、化學、生物、生態(tài)、經(jīng)濟甚至社會系統(tǒng)，它們的將來狀態(tài)和過去狀態(tài)可以用其現(xiàn)在的狀態(tài)和決定其發(fā)展的規(guī)律來刻畫到某種程度，如果這些規(guī)律不隨時間變化，那么這種系統(tǒng)的性態(tài)由初始狀態(tài)完全確定，因此，動力系統(tǒng)這個概念包含它可能狀態(tài)的集合（狀態(tài)空間）和狀態(tài)按時間的發(fā)展規(guī)律，下面先分別討論這些基本概念，再給出動力系統(tǒng)的正式定義。

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《應(yīng)用分支理論基礎(chǔ)》：現(xiàn)代數(shù)學譯叢11

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